Лекция 1. Некоторые исторические сведения о возникновении и развитии теории вероятностей

Теория вероятностейэто математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с именами Гюйгенса (1629−1695), Паскаля (1623−1662), Ферма (1601−1665) и Я. Бернулли (1654−1705).В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, поставленными азартными играми и не укладывающимися в рамки математики того времени, привели постепенно к таким важным понятиям, как вероятность и математическое ожидание. При этом, конечно, выдающиеся ученые, занимаясь задачами азартных игр, предвидели и фундаментальную роль науки, изучающей случайные явления. Они были убеждены в том, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. Формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи, сводился исключительно к элементарным арифметическим и комбинаторным методам.

Требования со стороны естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдений, задачи теории стрельбы, проблемы статистики) привели к необходимости дальнейшего развития теории вероятностей и привлечения аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов сыграли Муавр (1667−1754), Лаплас (1749−1827), Гаусс (1777−1855), Пуассон (1781−1840). С середины XIX столетия и приблизительно до двадцатых годов ХХ столетия развитие теории вероятностей связано в значительной мере с именами русских ученых — Чебышева П. Л (1821−1894), Маркова А. А. (1856−1922), Ляпунова А. М. (1856−1918).Этот успех русской науки был подготовлен деятельностью Буняковского В. Я. (1804−1889), широко использовавшего исследования по применению теории вероятностей в статистике, в особенности в страховом деле и демографии.

Современное развитие теории вероятностей характеризуется всеобщим подъемом интереса к ней, а также расширением круга ее практических приложений. Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей является экономика. Многие экономические показатели (производительность труда, заработная плата, выработка на одного рабочего за смену, страховой запас, резервные мощности, государственные резервы, спрос на товары производителя и др.) являются случайными величинами. Прогнозирование экономических явлений осуществляется на основе эконометрического моделирования, регрессионного анализа, трендовых и сглаживающих моделей, опирающихся на теорию вероятностей. Результаты теории вероятностей используются для организации производства (статистический контроль в производстве). Большое значение имеет разработка статистических методов управления качеством продукции в процессе производства. Для инженерного дела серьезную роль приобрела теория надежности, широко использующая методы теории вероятностей.

Мы определили в самом начале теорию вероятностей как науку, изучающую случайные явления. Какой смысл вкладывается в понятие «случайное явление» мы рассмотрим несколько позже, а сейчас ограничимся некоторыми замечаниями. В обыденных представлениях, житейской практике считается, что случайные события представляют собой нечто крайне редкое, идущее вразрез установившемуся порядку вещей, закономерному развитию событий. Случайные события, как они понимаются в теории вероятностей, обладают рядом характерных особенностей; в частности, все они происходят в массовых явлениях, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий. Теория вероятностей не занимается изучением уникальных событий, которые не допускают повторений .

теория вероятность математический дискретный Случайные события. Стохастический эксперимент, пространство элементарных исходов Исходными понятиями теории вероятностей являются понятия стохастического эксперимента, cлучайного события и вероятности случайного события. Стохастическими называются эксперименты, возможные исходы которых известны, но заранее предугадать, какой из них будет иметь место нельзя. Все возможные исходы эксперимента называют пространством элементарных исходов и обозначают =.

Таким образом, рассматриваемому эксперименту поставлено в соответствие некоторое множество, точками которого являются взаимоисключающие элементарные исходы. Результатом эксперимента является один и только один исход. Рассмотрим примеры.

• 1. Производится эксперимент: один раз бросают монету. Множество, где буква Г означает появление герба, буква Р-появление решки.
• 2. Один раз бросают игральный кубик. Возможные исходы этого эксперимента — выпадение числа очков, равного 1, 2, 3, 4, 5, 6, т. е.

{1, 2, 3, 4, 5, 6} .

3. Монету бросают дважды, Здесь ГГ означает, что оба раза появится герб,.

ГР-при первом бросании появится герб, а при второмрешка,.

РГ-при первом бросании появится решка, при второмгерб,.

РР-оба раза появится решка.

4. Монету бросают до первого появления герба. Возможные исходы эксперимента:

Г-герб выпадет с первого раза,.

РГ-герб выпадет при втором бросании,.

РРГ-герб выпадет при третьем бросании и т. д.

Теоретически эксперимент может продолжаться бесконечно долго. Пространством элементарных событий такого эксперимента является бесконечное множество.

5. Два лица, А и В условились встретиться в интервале времени [0,T]. Обозначим.

x — время прихода лица А_,

_Y — время прихода лица В.

Геометрически это пространство представляет квадрат, изображенный на Рис. 1.

Множество называют пространством элементарных исходов (событий).

Приведенные примеры показывают, что множество может быть дискретным и непрерывным. К дискретным относятся конечные или счетные множества элементарных исходов, к непрерывным — множества типа континуума (любой конечный или бесконечный интервал на числовой прямой является примером множества типа континуума).

Пространство элементарных исходов зависит от условий, в которых производится случайный эксперимент. В дальнейшем будем рассматривать условия, при которых исходы эксперимента равновозможны, т. е. никакой.

исход эксперимента не имеет объективного преимущества перед другими.

В рассмотренных выше примерах предполагается, что эксперименты производятся в идеальных условиях (идеальная монета бросается на идеально гладкую поверхность и т. д.).