О выборе разностной схемы для квазиодномерных уравнений течения газовой смеси

Решение задач, связанных с расчетом течений вязких сжимаемых газов, представляет собой одну из наиболее сложных областей вычислительной гидромеханики. В настоящее время существуют сотни публикаций на эту тему как теоретического, так и прикладного характера. Накопленный за последние четыре десятилетия опыт позволяет сформулировать основные трудности, выявляющиеся в вычислительном процессе [196], [238], и требования, предъявляемые к расчетным алгоритмам. Представленные ниже рассуждения не претендуют на полноту обзора соответствующих работ и представляют собой результат обобщения субъективного опыта их автора в области численных методов вычислительной гидромеханики. Важнейшим свойством разностных схем, влияющим на точность вычислений, является их консервативность [231]. Для широкого класса схем свойство консервативности является необходимым условием сходимости [220], [222]. Наилучшие свойства демонстрируют полностью консервативные разностные схемы [208]. Анализ свойств разностных схем методом Фурье показывает [265], что вследствие ошибок аппроксимации производных и конечности сетки для каждой Фурье-гармоники сеточного решения возникают ошибки в амплитуде и фазе комплексного коэффициента усиления гармоники. Установлено [196], что для хорошего описания разрывов фазовые ошибки должны иметь четвертый и более порядок малости. В то же время для амплитудных ошибок во многих случаях достаточно обеспечивать второй порядок малости. Кроме амплитудных и дисперсионных ошибок, неизбежны ошибки, связанные с появлением локальной немонотонности сеточного решения вблизи областей резких градиентов. Эти ошибки обусловлены принципиальной невозможностью представления на сетке коротковолновых гармоник с длиной волны меньше двух ячеек. Расчет процессов диффузии связан с использованием аппроксимаций вторых производных в уравнениях переноса с не менее чем вторым порядком аппроксимации по пространственной координате и времени. Использование разностных схем первого порядка аппроксимации по времени вносит в расчет схемную вязкость (искусственную диффузию), пропорциональную шагу по времени и существенно искажающую диссипативные свойства исходного уравнения. Искажаются также его дисперсионные свойства, так как в первом дифференциальном приближении уравнения [238], [249] появляются слагаемые с пространственными производными третьего порядка с коэффициентами, пропорциональными At. Таким образом, для корректного учета диффузии желателен порядок аппроксимации 0(At², h²). Расчет конвекции при течении смесей сжимаемых газов с большими скоростями связан в первую очередь с корректным расчетом сильных разрывов, включая фронты ударных волн и контактные разрывы. Расчет сильных разрывов связан с необходимостью минимизации амплитудных и фазовых ошибок и ошибок Гиббса, проявляющихся в диссипативном размывании фронтов и убывании амплитуды разрывов, искажении скорости их распространения и появлении немонотонных изменений профиля параметра за разрывом и перед ним. Для их ликвидации необходимо обеспечение монотонности конечно разностного алгоритма. С. К. Годуновым [119] доказано, что не существует линейных методов второго и более порядка точности, которые гарантировали бы монотонность алгоритма. Применительно к уравнению конвекции эффективное обеспечение монотонности сеточного решения в зоне разрыва достигается использованием нелинейных монотонных методов, таких как метод коррекции потоков переноса (method of flux-corrected, transport, FCT), [253], [254], [255], [256], [55], и метод уменьшения полной вариации (Total Variation Diminishing, TVD) [258] и др. Применительно к уравнениям газовой динамики эффективные монотонные методы строятся так же, как методы повышенной точности, использующие идею метода Годунова, то есть решение задачи Римана при расчете потоков между ячейками сетки [104]. В рамках настоящей работы алгоритм FCT был выбран как средство обеспечения монотонности численного моделирования сильных разрывов в идеальном газе и областей высоких градиентов в вязких газах. При численном моделировании уравнения переноса, включающего как конвективный, так и диффузионный члены, все вышеприведенные выводы в основном сохраняются. Однако усложнение структуры уравнения создает новые возможности для его численного решения. В частности, А. А. Самарским [220] предложен способ монотонной аппроксимации оператора переноса, заключающийся во внесении возмущающего множителя, зависящего от сеточного числа Рейнольдса в диффузионный член. В [119] на базе такой аппроксимации построена неконсервативная неявная разностная схема последовательных прогонок с явной аппроксимацией давления в уравнении движения. Получаемые с ее помощью профили в областях сильных разрывов строго монотонны, но диффузионные свойства достаточно велики, что приводит к существенному размазыванию профилей на сетке, особенно в областях контактных разрывов. Все описанные выше проблемы сохраняются при построении разностных схем для системы уравнений газовой динамики [238], [222]. При этом при решении систем взаимосвязанных уравнений использование неявных схем требует применения матричной прогонки [219]. При решении уравнений газовой динамики с использованием FCT-процедуры встречается дополнительная сложность, заключающаяся в необходимости согласования формул коррекции потоков для массы, импульса, энергии и прочих рассчитываемых параметров. В [56] построены полностью консервативные схемы метода FCT со сбалансированной аппроксимацией потоков. Полная консервативность в сочетании с согласованием потоков и коррекцией потоков по методу FCT в варианте [267] позволяет с высокой точностью рассчитывать тестовую задачу — распространение ударной волны по холодному фону с экспоненциально возрастающей плотностью. В этом случае обычный алгоритм FCT [34] не дает возможности правильно рассчитать пиковое значение плотности за ударной волной, в то же время полностью консервативная схема дает профили, близкие к точным, на весьма грубой сетке. Отметим, что полностью консервативные разностные схемы в переменных Эйлера являются, как правило, трехслойными [249]. В [116] показано, что в весьма широком семействе двухслойных схем нет полностью консервативных. В то же время в [105] удалось построить полностью консервативные двухслойные схемы для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. При этом пространственные производные аппроксимируются с временнымми весами, являющимися функциями решения. В [55] приведены полностью консервативные алгоритмы коррекции потоков, использование которых может обеспечить монотонность полностью консервативных разностных схем. В заключение еще раз остановимся на свойствах явных и неявных разностных схем. Течения в каналах ГЖТМС, например в силовых газовых приводах [119], носят следующий характер. Возникающий в начальный момент нестационарный процесс быстрого течения рабочего тела, в период которого существенна сжимаемость и наличие сильных разрывов, быстро сменяется переходным периодом сравнительно медленного течения, переходящего в трансзвуковое, а затем превращающееся в медленное дозвуковое, когда газ можно считать практически несжимаемым. При расчете медленных течений [196], [238] предпочтительно использование неявных разностных схем, не связанных ограничением на шаг по времени по условию КФЛ. В [262] построен вариант неявного метода FCT, названный BIC-FCT [196], в котором явный этап-предиктор дополнен определением коррекции давления путем решения неявного уравнения и последующей явной коррекцией импульса и энергии. Это позволяет снять ограничение, устанавливаемое условием КФЛ, в результате чего неявная процедура оказывается более экономичной, чем явная при расчете медленных течений от почти несжимаемых до трансзвуковых.

Приведенные соображения послужили основанием выбора явной схемы метода LCPFCT [196] в качестве базовой для расчета конвективных процессов в газовых смесях в пределах описываемой методики.