Первичный эконометрический анализ. 
Основные свойства выборки

Цель работы:

• 1. По имеющимся результатам наблюдений для каждого показателя определить основные статистические характеристики (среднее, медиану, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса, коэффициент вариации, используя стандартные функции Excel — СРЗНАЧ (), МЕДИАНА (), ДИСП (), СТАНДОТКЛОН (), СКОС () и ЭКСЦЕСС () соответственно), сделать предварительные выводы о свойствах выборки.
• 2. Провести разбиение выборок на классы однородности, построить кумулятивные линии эмпирического распределения и гистограммы. Проанализировать полученные графики.
• 3. Сформулировать и проверить гипотезу согласии выборочных данных с нормальным распределением на основе критерия ч2-Пирсона. Сделать выводы. 4. Нанести исходные данные на координатную плоскость и сделать обоснованное предварительное заключение о наличии (отсутствии) связи между всеми парами факторов, а также о ее характере (положительная или отрицательная) и форме (линейная или нелинейная).
• 5. Рассчитать парные коэффициенты корреляции для каждой пары показателей. Построить корреляционную матрицу. Используя t-критерий Стьюдента, проверить значимость полученных коэффициентов корреляции. Сделать выводы о тесноте связи между факторами.
• 6. Для каждой пары показателей вычислить частный коэффициент корреляции и проверить его на значимость. Для значимых коэффициентов построить 95% доверительные интервалы. Сделать выводы.
• 7. Вычислить все возможные множественные коэффициенты корреляции. Сделать выводы.
• 8. По результатам работы сделать общие выводы и сформулировать рекомендации для Робинзона.

Ход работы Имеется ограниченный ряд наблюдений случайной величины :

где 1 количество выпитого Робинзоном пива (в процентах от объема фляги),.

• 2 количество убитых уток (в штуках),
• 3 средняя температура воздуха в день охоты (в градусах Цельсия).

Определяем основные статистические характеристики СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ — статистический обобщенный показатель какой-либо величины.

Среднее значение вычисляем по формуле i.

Среднее значение для X1 говорит о том, что в среднем Робинзон выпивает 62% пива от объема фляги. Среднее значение для X2 говорит о том, что в среднем в день он убивает 8 уток. А среднее значение температуры (X3) колеблется около С.

МЕДИАНА — это то значение выборки, которое находится в середине вариационного ряда.

Медиану вычисляем по формуле.

пирсон корреляция выборка статистический где: — искомая медиана.

— нижняя граница интервала, который содержит медиану.

— величина интервала.

— сумма частот или число членов ряда.

— сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному.

— частота медианного интервала.

ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ — дисперсия эмпирического распределения.

Выборочная дисперсия S2==.

S12.	S22.	S32.
787,15.	23,05.	36,74.

Выборочные среднеквадратические отклонения.

КОЭФФИЦИЕНТ АССИМЕТРИИ— величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины.

Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле:

,.

— 0,16.	0,03.	— 0,30.

Исходя из полученных значений асимметрии, первая и третья выборки X1 и X3 имеют левую асимметрию, а выборка X2 — правую.

КОЭФФИЦИЕНТ ЭКСЦЕССА (коэффициент островершинности) — мера остроты пика распределения случайной величины.

Коэффициент эксцесса вычисляется как:

.

— 0,52.	— 0,17.	— 0,65.

Графики данных выборок расположены ниже графика нормального распределения, т.к. коэффициенты эксцесса — отрицательные.

КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ — это безразмерная величина, которая указывает величину вариации (среднеквадратического отклонения) на единицу среднего значения.

V1.	V2.	V3.
0,455.	0,544.	0,187.

Наиболее стабильный показатель — это температура, V3 стабильнее V2 в 2,9 раз, а V1 в 2,4 раза.

2) Расчет критерия 2- Пирсона По правилу Штюргеса количество классов определяются k=1+3,32 lg n=1+3,32 lg 50=6.

По выборке Х1:

b= В (наблюдаемая абсолютная частота).

• 0; 16,667) B= 4
• 16,667; 33,334) B=4
• 33,334; 50,001) B=8
• 50,001; 66,668) B=9
• 66,668; 83,355) B=12
• 83,355; 100] B=13

• 2расч.=8,14
• 2крит.=7,81
• 2расч.> 2крит. гипотеза о том, что наблюдаемые частоты распределены нормально, отвергается. А значит, существует связь приближенная к линейной.

По выборке Х2:

b= B.

• 0; 3,5) 5
• 3,5; 7) 10
• 7; 10,5) 18
• 10,5; 14) 8
• 14; 17,5) 6
• 17,5; 21 3

• 2расч.=3,67
• 2крит.= 7,81
• 2расч.< 2крит. гипотеза о том, что наблюдаемые частоты распределены нормально, не отвергается. Значит, отсутствует линейная связь.

По выборке Х3:

b= B.

• 20; 23,33) 6
• 23,33; 26,66) 4
• 26,66; 29,99) 3
• 29,99; 33,32) 11
• 33,32; 36,35) 10
• 36,35; 40 16

• 2расч.=21,9866
• 2крит.=7,81
• 2расч.> 2крит. гипотеза о том, что наблюдаемые частоты распределены нормально, отвергается. А значит, существует связь приближенная к линейной.
• 5. Находим парные коэффициенты корреляции для каждой пары по формуле:

1−2.	1−3.	2−3.
0,932.	0,972.	0,915.

Мы можем сделать вывод, т.к. все, то зависимость у каждой пары положительная.

Теперь строим корреляционную матрицу, используя парные коэффициенты корреляции:

R=.

Используя t-критерий Стьюдента, проверим значимость коэффициентов корреляции:

1−2.	1−3.	2−3.
17,856.	28,416.	15,691.

При ?=0,95 и число степеней свободы (N-2)=48.

tтабл=2,0106.

т.к. t12, t13, t23 tтабл, то гипотеза отвергается. Следовательно, эти коэффициенты корреляции существенно отличаются от нуля. И с вероятностью 0,95 можно считать, что факт наличия линейной зависимости между показателями является доказанным.

6. Вычислим для каждой пары частный коэффициент корреляции по формуле:

12*3.	13*2.	23*1.
0.452.	0.821.	0.107.

Мы можем сделать вывод, что зависимость 1 и 2, исключая влияние 3 признака, наиболее приближена к линейной, так же как и зависимость между 1 и 3, исключая 2 признак. А зависимость между 2 и 3, исключая 1 признак, наиболее отдалена от линейной зависимости.

Проверим значимость частных коэффициентов корреляции по формуле:

P=1.

При ?=0,95 и число степеней свободы (N-р-2)=47.

tтабл=2,0117.

т.к. t12*3, t13*2tтабл, то гипотеза отвергается, а значит, что зависимость наиболее существенная и приближена к линейной. t23*1 tтабл, значит гипотеза не отвергается.

Для значимых признаков 12*3 и 13*2 построим доверительные интервалы:

Z12.	Z13.
1,673.	2,127.

Затем найдем границы доверительных интервалов (Zmin; Zmax).

Zmin 12.	Zmax 12.
1,4321.	1,9139.

Подставив в первоначальную функцию получим:

1−2: rmin=0.892 rmax=0.957.

1−3: rmin=0.955 rmax=0.983.

Мы можем сделать выводы, что наиболее значимая зависимость, и приближена к линейной — это между пивом и утками и между пивом и температурой. А зависимость между утками и температурой является ложной, то есть имеет место ложная корреляция.

7. Вычислим множественные коэффициенты корреляции:

1*23.	2*13.	3*12.
0.953.	0.933.	0.973.

Вывод: При более подробном исследовании по критерию ч2-Пирсона не отвергнутой осталась лишь гипотеза о нормальности распределения Х2. Таким образом, с 95% уровнем доверительной вероятности можем утверждать, что выборка Х2, соответствующая количеству убитых Робинзоном уток, распределена по нормальному закону.

По предварительным выводам температура на острове Робинзона в среднем составляет 32? С, идя на охоту он в среднем убивает 8 уток и выпивает 61% фляги пива (3/5 от всей фляги).

Гистограммы показывают, что температура чаще всего 31,66−38,33 ?С, он убивает 8−9 уток и выпивает 75−91,67% содержимого фляги. Таким образом, получается, что средние значения и наибольшие частоты практически совпадают в выборках температуры и убитых уток, чего нельзя сказать о последней.

По итогам проверки гипотез, можем утверждать, что лишь выборка Х2, соответствующая количеству убитых Робинзоном уток, распределена по нормальному закону.

Вычислив парные коэффициенты корреляции, и, проверив их на значимость, все гипотезы отвергаются. И с вероятностью 0,95 можно считать, что факт наличия линейной зависимости между показателями является доказанным.

По итогам вычисления частных коэффициентов, можно сделать выводы, что зависимость между пивом и утками, исключая влияние температуры, и между пивом и температурой, исключая влияние уток, наиболее существенная и приближена к линейной. А зависимость между утками и температурой является ложной, то есть имеет место ложная корреляция.