Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Из определения четной и нечетной функции следует, что если ш (x) — четная функция, то Действительно, так как по определению четной функции ш (- x) = ш (x).

Аналогично можно доказать, что если ш (x) — нечетная функция, то Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ѓ(x), то произведение ѓ(x) coskx есть функция также нечетная, а ѓ(x) · sinkx — четная; следовательно,.

(21).

т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ѓ(x) sinkx есть функция нечетная, а ѓ(x) · coskx — четная, то:

(22).

т.е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной.

Ряд Фурье для функции с периодом 2l

Пусть функция ѓ(x) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2р. Разложим её в ряд Фурье. Сделаем замену переменной по формуле х = lt / р.

Тогда функция ѓ(lt / р) будет периодичной функцией от t с периодом 2р. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезкер? x? р:

где.

Возвратимся к старой переменной x:

Тогда будем иметь:

(24).

Формула (23) получит вид.

(25).

где коэффициенты a_0, a_k, b_k вычисляются по формулам (24). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l.

Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2р, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 2 l.

Пример Разложить в ряд Фурье функцию ѓ(x) с периодом 2 l, которая на отрезке [-l, l] задается равенством ѓ(x) = |x|. (Пискунов, стр. 342, рис. 383).

Решение. Так как рассматриваемая функция — четная, то.

Следовательно, разложение имеет вид.