Методика обучения решения задач на движение в 5 классе на основе метода математического моделирования

Методические рекомендации использования метода математического моделирования при решении задач на движение

Предметом исследования является использование метода математического моделирования при решении задач на движение. Как уже говорилось выше, что учащиеся в школе решают задачи в основном двумя способами: арифметическим и алгебраическим. Решение задач алгебраическим способом по характеру ориентировочной деятельности существенно отличается от обычного арифметического решения. При алгебраическом способе основное внимание решающего направлено на поиск отношения между явными и неявными значениями величин, а вычисление конкретного значения до поры до времени отступает на второй план.

Для освоения алгебраического метода решения задач учащиеся должны:

• а) уметь составлять буквенные выражения по тексту задачи, для чего уметь анализировать условия задачи, выделяя объекты исследования, величины, их характеризующие, и отношения между величинами;
• б) должны уметь переводить словесное выражение зависимости между величинами, данное в тексте задачи, на математический язык;
• в) уметь решать простейшие уравнения.

Только после формирования этих умений можно перейти непосредственно к обучению решению задач методом составления уравнения.

В 5 классе как правило дети еще плохо решают уравнения, поэтому большинство задач решается арифметическим способом при этом используются вспомогательные модели — таблица и чертеж. Еще одна из трудностей, которая возникает у учащихся при решении задач на составление равнений — это какую величину обозначить за неизвестную (букву х)? Этот вопрос возникает всегда, когда дети пытаются решить задачу алгебраическим способом.

В данной работе был выбран учебник «Математика 5» Н. Я. Виленкина.

В учебно-методический комплект (УМК), необходимый для обучения математике, включается:

• — учебник как ведущий элемент УМК;
• — дидактические материалы (задачник, рабочие тетради, карточки и т. д.);
• — книга для учителя.

Рассмотрим решение некоторых задач.

В ходе работы над данной темой, сформулированы методические рекомендации по использованию метода математического моделирования при решении задач на движение в 5 классе:

В 5 классе закрепляют полученные знания начальной школы.

S=Vt

V=S/t.

t=S/V.

• · если движение происходит из одной точки в разные стороны, то скорости и расстояния складываются;
• · если движение происходит навстречу друг другу, то скорости и пройденные расстояния складываются.

Перед решением задачу составляем таблицу. А при составлении таблицы обязательно обращаем внимание на следующее, если речь идёт о двух телах:

• 1. При составлении столбика «время»
• · вышли они одновременно или нет?
• · какое тело находилось в пути дольше и на сколько часов?
• · какое тело находилось данное время в пути или это общее время?
• 2. При заполнении столбика «расстояние»
• · какое тело прошло заданное расстояние или это общее расстояние. В зависимости от этого пройденное расстояние проставляем или напротив каждого тела, или объединяем два тела.
• · Какое тело прошло большее расстояние и на сколько, или они прошли одинаковое расстояние.

На эти же самые пункты обращаем внимание, если речь идёт не о двух телах, а об одном теле, движение которого разбито на части.

Задачи на движение.

Задача 1. Велосипедист ехал 6 часов с некоторой скоростью. После того как он проехал еще 11 км с той же скоростью, его путь стал равным 83 км. С какой скоростью ехал велосипедист?

• — Прочитайте задачу.
• — Какой процесс описан в задаче? (Процесс движения)
• — О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии) математический моделирование задача движение
• — Кто участвует в задаче? (велосипедист)
• — Что нам известно в задаче? (что одну часть путь велосипедист проехал за 6 часов, а вторая часть пути равна 11 км, весь путь = 83 км)
• — Значит, получается, что весь путь движения велосипедиста состоит из двух частей, первая часть неизвестна, вторая часть путь равна 11 км, а весь путь равен 83 км.
• — Что требуется найти в задаче? (скорость движения велосипедиста)
• — Что мы знаем про скорость? (она одинаковая на всем пути)
• -Давайте сделаем чертеж к задаче.

V=? км/ч (одинаковая).

Обозначим за х (км) первую часть пути Пусть х км проехал велосипедист за 6 часов. Тогда весь путь будет равен х+11 км и он равен 83 км. Значит, можем составить уравнение.

х+11=83.

х=83−11.

х=72 (км) путь велосипедиста за 6 часов.

• — Нам достаточно данных для определения скорости велосипедиста? (да, т. к скорость движения одинаковая на всем пути, поэтому нам достаточно найти скорость движения на первом участке)
• 72:6= 12 (км/ч) — скорость велосипедиста

Ответ: 12 км/ч Решение задач на движение двух тел в противоположных направлениях.

Задача 2. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч. Через сколько времени пешеходы удалятся друг от друга на 30 км?.

• — Прочитайте задачу.
• — Какой процесс описан в задаче? (Процесс движения)
• — О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).
• — Кто участвует в задаче? (два пешехода)
• — Как движутся пешеходы? (в противоположных направлениях, они удаляются друг от друга)
• — Что нам известно в задаче? (скорость первого пешехода равна 4 км/ч, скорость второго пешехода равна 6 км/ч, расстояние рано 30 км)
• — Давайте сделаем чертеж к задаче

Обозначим скорость первого поезда V_{1 ,} а скорость второго поезда обозначим V₂. Расстояние между двумя поездами обозначим S.

• — Что требуется найти в задаче (время)
• — Какое время движение у пешеходов? (одинаковое)

Решим задачу с помощью уравнения.

Введем неизвестную. Какую величин примем за неизвестное? (время) Пусть х (ч) — это время движение пешеходов.

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.».

Тогда первый пешеход пойдет 4х (км), а второй 4х (км). Так как сумма этих расстояний равна 30 км, запишем уравнение.

• 6х+4х=30
• 10х=30

Х=30:10.

Х=3 (ч)-пешеходы удалятся друг от друга на 30 км через 3 часа.

Ответ: 3 часа.

Задача 3. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч. Через 3 часа пешеходы удалились друг от друга на 30 км. Определите скорость другого пешехода.

• -Внимательно прочитайте задачу
• — Какой процесс описан в задаче? (процесс движения)
• — О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).
• — О ком говорится в задаче? (о двух пешеходах)
• — Как движутся пешеходы (в противоположных направлениях)
• — Что нам известно в задаче? (скорость одного пешехода = 6 км/ч, время=3 ч, расстояние 30 км)
• — Что сказано про скорость второго пешехода? (она неизвестна, ее нужно найти)
• — Изобразим графически условие задачи.

• (До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»
• — Скорость второго пешехода обозначим за х км/ч, теперь условие задачи запишем так

Составим и решим уравнение.

• 6*3+х*3=30
• 18+3х=30
• 3х=30−18
• 3х=12

Х=12:3.

Х=4 км/ч Ответ: 4 км/ч Решение задач на встречное движение двух тел.

Задача 4. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Один из них проходит в час 6 км, а другой 4 км. Через сколько часов пешеходы встретятся и какое расстояние пройдёт каждый из них до встречи.

• -Читаем внимательно задачу.
• — Какой процесс описан в задаче? (движение)
• — О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).
• — Кто участвует в задаче? (два пешехода)
• -Как они движутся? (навстречу друг другу)
• — Что нам известно в задаче? (скорость первого пешехода 4 км/ч, скорость второго пешехода 6 км/ч, расстояние = 30 км)
• — Изобразим графически условие задачи.

— Что нам нужно найти в задаче? (время через которое встретятся пешеходы и какое расстояние пройдет каждый из них) Решим задачу с помощью уравнения. Время нахождения пешеходов в пути до встречи примем за х ч.

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.».

За это время один пешеход до встречи пройдет 4х км, а другой 6х км. Всего до встречи они пройдут (4х+6х) км. Так как это равно 30 км, то запишем уравнение:

• 6х+4х=30
• 10х=30

Х=30:10.

Х=3 (ч) Итак, один пешеход до встречи прошел 4х=4*3=12 (км), другой 6х=6*3=18 (км) Проверка.

18+12=30 (км) Ответ: 3ч, 12 км, 18 км.

Задача 5. Из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 3 ч пешеходы встретились. Скорость одного пешехода 4 км/ч. Найдите скорость другого.

• -Читаем внимательно задачу.
• — Какой процесс описан в задаче? (движение)
• — О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).
• — Кто участвует в задаче? (два пешехода)
• -Как они движутся? (навстречу друг другу)
• — Что нам известно в задаче? (скорость первого пешехода 4 км/ч,, расстояние между пунктами 30 км, время движения 3)
• — Изобразим графически условие задачи.

• — Что нужно найти в задаче? (скорость второго пешехода)
• (До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

Составим и решим уравнение:

• 4*3+х*3=30
• 12+3х=30
• 3х=30−12
• 3х=18

Х=18:3.

Х=6 (км/ч) Ответ: 6 км/ч Решение задач на движение двух тел в одном направлении.

Задача 6. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода. Первый пешеход идёт со скоростью 6 км/ч, а второй — со скоростью 4км/ч. Через сколько часов второй пешеход отстанет от первого на 10 км?

• — Читаем внимательно задачу
• -Какой процесс описан в задаче? (процесс движения)
• — О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).
• — Кто участвует в задаче? (два пешехода)
• — Как они движутся? (в одном направлении)
• — Что нам известно в задаче? (скорость первого пешехода 6 км/ч, скорость второго пешехода — 4 км/ч, расстояние на которое один пешеход отстанет второго равно 10 км)
• — Изобразим графически условие задачи.

— Что нам надо найти? (время) Решим задачу с помощью уравнения.

Какую величину обозначим за неизвестную (за х)? (время).

Составив таблицу, выясняем, что это задача на сравнение и уравнение составляем, проговорим фразу: «из большего отнимаем меньшее, получаем разницу».

• 6х-4х=10
• 2х=10

Х=10:2.

Х=5 (ч) Ответ: 5 ч.

Задача 7 . Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода. Скорость первого пешехода 6 км/ч. Через 5 ч второй пешеход отстал от первого на 10 км. С какой скоростью шёл второй пешеход?

• — Читаем внимательно задачу
• -Какой процесс описан в задаче? (процесс движения)
• — О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).
• — Кто участвует в задаче? (два пешехода)
• — Как они движутся? (в одном направлении)
• — Что нам известно в задаче? (скорость первого пешехода 6 км/ч, расстояние на которое один пешеход отстанет от второго равно 10 км, время через которое он отстанет 5 ч)
• — Изобразим графически условие задачи.

• — Что нам нужно найти в задаче? (скорость второго пешехода)
• — Что мы примем за х? (Скорость второго пешехода)
• -Запишем условие в виде
• (До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

Составим и решим уравнение:

• 6*5-х*5=10
• 30−5х=10
• 5х=20

Х=20:5.

Х=4.

Ответ: 4 км/ч.

Задача 8. Первый пешеход, идущий со скоростью 6 км/ч, догоняет второго, идущего со скоростью 4 км/ч. Через сколько часов первый пешеход догонит второго, если первоначально расстояние между ними было 10 км и они вышли одновременно?

• — Читаем внимательно задачу
• -Какой процесс описан в задаче? (процесс движения)
• — О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).
• — Кто участвует в задаче? (два пешехода)
• — Как они движутся? (в одном направлении)
• — Что нам известно в задаче? (что пешеходы вышли одновременно, скорость первого пешехода 6 км/ч, скорость второго пешехода 4 км/ч, расстояние между пешеходами 10 км, первый пешеход догоняет второго)
• — Изобразим графически условие задачи.

— Что нужно найти в задаче? (время через которое первый пешеход догонит второго) Решим задачу с помощью уравнения, что обозначим за х? (время).

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.».

Составим уравнение:

• 6*х-4*х=10
• 2х=10

Х=10:2.

Х=5.

Ответ: 5 ч Задачи на движение по водоёму Ученик с 5 класса должен знать:

• · Скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.
• · Скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения реки.
• · Скорость по озеру равна собственной скорости.
• · Собственная скорость равна половине суммы скорости по течению и скорости против течения.

Краткая запись всех задач оформляется, как, обычно, в таблицу. В начале изучения таких задач выясняем, что, когда плывём по течению, то течение нам помогает плыть, поэтому мы к собственной скорости прибавляем скорость течения. Когда плывём против течения, течение нам мешает плыть, поэтому мы из собственной скорости вычитаем скорость течения. У основной массы класса такие задачи не вызывают затруднений, поэтому, подробное решение и оформление таких задач не будем.

Задача 9. Спортсмен проплыл на лодке по течению реки за 1ч 12 км, а против течения за 1ч 18 км. Найдите скорость течения и собственную скорость лодки.

12 км/ч скорость лодки по течению.

скорость лодки в стоячей воде.

скорость лодки против течения Примем скорость течения реки за х км/ч.

Чтобы найти собственную скорость лодки, надо к скорости лодки против течения (8 км/ч) прибавить скорость течения реки (х км/ч), получим 8+х км/ч, или от скорости против течения (12 км/ч) вычесть скорость течения реки (х км/ч), получим 12-х км/ч. Так как выражение 8+х и 12-х, обозначающие собственную скорость лодки, равны между собой, то запишем.

8+х=12-х Х+х=12−8.

2х=4.

Х=2 (км/ч) Ответ: 2 км/ч.