Задание. 
Экономико-математические методы и модели

• 1) Номер варианта задания совпадает с порядковым номером учащегося по списку в журнале.
• 2) Задание состоит из двух частей: в задании 1 графическим методом найти максимум и минимум функции Z при заданных ограничениях; в задании 2 построить математическую модель и решить задачу графическим методом. При выполнении задания использовать программу «Графический метод» пакета Lab.emm.
• 3) Отчёт по выполнению лабораторной работы выполняется в тетради для лабораторных работ. Содержание отчёта:

Номер и название лабораторной работы.

Цель работы.

Условие задачи.

Решение задачи. Решение должно сопровождаться пояснениями (см. пример). Графики следует выполнять на отдельном листе тетради.

Ответ. Если задача имеет экономическое содержание, то в ответе должна быть представлена экономическая интерпретация полученного результата.

Магазин потребительской кооперации для продажи товаров двух товарных групп (хлеб и хлебобулочные изделия; кондитерские изделия) использует следующие ресурсы: время и площадь торговых залов. Затраты ресурсов на продажу одной стоимостной единицы товаров каждого вида, издержки обращения (затраты на хранение и перевозку товаров), величина спроса, величина прибыли от реализации. Необходимо определить оптимальный план товарооборота, обеспечивающий магазину максимальную прибыль. Ресурсы должны быть использованы полностью.

Табл. 1.

Швейному ателье заказано изготовление трёх видов моделей мужских костюмов: А, Б и В в количестве соответственно 52, 32 и 16 единиц, для пошива которых требуются куски ткани длиной соответственно 2,1; 1,9; и 2,3 м. Необходимо раскроить рулоны ткани длиной 30 м на выкройки. Известны 5 способов раскроя одного рулона ткани. Количество выкроек, получаемых из одного рулона ткани при каждом способе раскроя, приведено в таблице 2. Определить, какое количество рулонов ткани нужно раскроить каждым способом, чтобы отходы были минимальными.

Табл.2.

Z = 3X2 +X3 +2X4−2.

• 2X1 +3X2 +X3+2X4 =22
• 2X1 +2X2 +X3+X4=16
• 4X1 +X2 -X5=5

Xi?0 (i=1, 2, 3, 4, 5).

Крупная нефтяная компания осуществляет капиталовложения в размере 150 млн. ден. ед. на строительство двух крекинг-установок, А и В с различными производственно-экономическими показателями. Не менее 40 млн. ден. ед. этих средств должны быть выделены на строительство крекинг-установки А, прибыль с капиталовложения составляет 12%. Размер капиталовложений на строительство крекинг-установки В должен составлять не менее 32% средств, выделенных на строительство крекинг-установок, А и В, прибыль с капиталовложения составляет 7%.

Требуется сформировать оптимальный план капиталовложений, т. е. установить, какую часть капиталовложений следует выделить на строительство крекинг-установки А, а какую выделить на строительство крекинг-установки В с тем, чтобы получить максимальную прибыль.

Z= X2 — X1.

X1 -X2 +X3 = 4.

X1 -2X2 +X4 = 2.

X1 +X2 +X5 = 5.

Xi?0 (i=1, 2, 3, 4, 5).

Для нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять не менее 80 усл. ед. белков, не менее 45 усл. ед. жиров, не менее 60 усл. ед. углеводов, не менее 36 усл. ед. минеральных веществ. Для составления суточной диеты предлагается два вида продуктов питания, А и В с различным содержанием названных питательных веществ. В единице продукта, А содержится 10 усл. ед. белков, 10 усл. ед. жиров, 1 усл. ед. углеводов, 5 усл. ед. минеральных веществ; а в единице продукта В содержится соответственно 3, 12, 4, 8 усл. ед. тех же питательных веществ. Стоимость единицы продуктов питания, А и В равна соответственно 16 и 14 ден. ед. Требуется составить из продуктов, А и В суточную диету, которая содержала бы белков, жиров, углеводов, минеральных веществ не менее минимальных научно обоснованных норм и вместе с тем требовала бы минимальных затрат.

Z = 2x + y.

• 3x — 4y 4
• -x + 6y 8

x>0; y>0.

Нефтеперерабатывающий завод выпускает 3 вида бензина: А, Б и В. При его изготовлении используются полуфабрикаты Р1 — алкилат, Р2 — крекинг-бензин, Р3 — бензин прямой перегонки и Р4 — изопентон, объёмное соотношение которых в бензине, А соответственно составляет 2:3:5:2, в бензине Б — 3:1:2:1, в бензине В — 2:2:1:3. Размеры допустимых затрат полуфабрикатов ограничены соответственно величинами 230; 250; 210; 400 тысяч литров. Стоимость одной тысячи литров бензина А, Б и В соответственно равна 16; 14; 18 (ден. ед.). Требуетсянайти сбалансированный по ресурсам план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход. Полуфабрикаты Р1 и Р3 должны быть использованы полностью.

Тракторный завод производит два вида продукции: трактора марки МТЗ — 80 и Т -100. Мощность цеха № 1 (по сборке тракторов марки МТЗ — 80) составляет 400 штук за плановый период, мощность цеха № 2 (по сборке тракторов марки Т -100) — 300 штук за плановый период. Механические цеха завода оснащены взаимозаменяемым оборудованием, и одна группа цехов может производить либо детали для 600 тракторов марки МТЗ — 80, либо детали для 400 тракторов марки Т -100, либо любую допустимую их комбинацию. Другая группа механических цехов может выпускать детали либо для 480 тракторов марки МТЗ — 80, либо для 640 тракторов марки Т -100, либо любую допустимую их комбинацию. Прибыль от продажи одного трактора марки МТЗ — 80 составляет 2 тыс. ден. ед., а от продажи одного трактора марки Т -100 — 4 тыс. ден. ед. Найти оптимальный план производства тракторов различных марок, который обеспечит тракторному заводу наибольшую сумму прибыли.

Z =5X1- 2X2 -6X3 +4X4 +2X5.

• 2X1 -X2 +X3 +2X4 =12
• 3X1 +2X2 -2X3 +5X4+X5 =30
• -X1 + 3X2 +5X3 +X4=16

Xi?0 (i=1, 2, 3, 4, 5).

Z= 2X1- X2 +X3 -3X4+4X5.

X1 -X2 +3X3−18X4+2X5 =-4.

• 2X1 -X2 +4X3−21X4+4X5 =22
• 3X1 -X2 +8X3−43X4+11X5=38

Xi?0 (i=1, 2, 3, 4, 5).

Для полноценного кормления сельскохозяйственных животных хозяйство использует два вида корма: первый вид — концентрированные корма, второй вид — сочные корма. Суточный рацион включает не более 60 кг первого вида корма и не более 90 кг второго вида корма. Рацион должен содержать не менее 48 кормовых единиц, 0,9 кг белка, 55 г кальция и 30 г фосфора. В табл. 3 приведены данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого корма и себестоимость этих кормов. Определить оптимальный рацион исходя из условия минимума его себестоимости.

Табл.3.

Z = 3x + y.

x — 2y 3.

2x + y 1.

x>0; y>0.

Фабрика выпускает модельную обувь. Для её изготовления куски кожи длиной 100 см необходимо разрезать на заготовки трёх типов длиной соответственно 17, 37 и 53 см для производства 100 пар обуви. На каждое изделие требуется по 3 заготовки первого и второго типов и две заготовки третьего типа. Известно пять способов раскроя одного куска кожи. Количество заготовок, нарезаемых из одного куска кожи при каждом способе раскроя, приведено в табл. 4. Определить, какое количество кусков кожи нужно разрезать каждым способом для изготовления 100 пар обуви, чтобы отходы от раскроя были наименьшими.

Табл.4.

Z = 2X1+ X2 +6X3 -12X4−9X5.

X1 +X2 +7X3−3X4−7X5 =13.

X1 +2X2 +13X3−2X4−14X5 =20.

X1 +3X2 +20X3+6X4−23X5=19.

Xi?0 (i=1, 2, 3, 4, 5).

По сельскохозяйственному предприятию имеются следующие данные о валовом сборе, ценах реализации и урожайности зерновых культур на двух участках площадью 400 га.

Табл.5.

Найти оптимальные размеры посевных площадей пшеницы и ржи на участках 1 и 2 для получения максимальной валовой продукции в денежном выражении.

Сплав состоит из серебра, меди и примесей. Для составления сплава используются три вида сырья. Стоимость различных видов сырья и процентное содержание в нём соответствующих компонентов сплава представлена в табл. 6. Определить оптимальный состав шихты. Критерий — минимальная себестоимость.

Табл.6.

Завод производит три вида продукции: П1, П2 и П3 на оборудовании трех типов: М1, М2 и М3 и реализует тысячу произведённой продукции каждого вида по цене соответственно 75, 25 и 60 ден. ед. В табл. 7 приведены данные по фонду рабочего времени и производительности каждого типа оборудования. Найти оптимальный план выпуска продукции, обеспечивающий заводу максимальный доход. Фонд рабочего времени оборудования типа М3 должен быть израсходован полностью.

Табл.7.

Фабрика производит продукцию двух видов: П1 и П2 на станках М1 и М2,. Плановый период составляет 8 месяцев. Плановое задание — 56 т продукции вида П1 и 87 т продукции вида П2. Данные о мощностях каждого типа станка и стоимость изготовления одной тонны каждого из видов продукции на станках М1 и М2 в единицу времени приведены в табл. 8. Требуется составить оптимальный план работы станков, а именно: найти, сколько времени каждый из станков М1 и М2 должен быть занят изготовлением каждого из видов продукции П1 и П2, чтобы стоимость всей продукции оказалась минимальной и в то же время был бы выполнен заданный план как по времени, так и по номенклатуре.

Табл.8.

Хозяйство планирует засеять два земельных участка площадью в 10 000 и 63 000 га зерновыми и кормовыми культурами. В табл. 9 приведены данные о средней урожайности культур по участкам, плановый объём реализации, реализационные цены. Определить структуру посевных площадей, обеспечивающую хозяйству максимальную прибыль.

Табл.9.

На двух маршрутах используется два типа грузовых машин. В табл.10 задано количество грузовых машин каждого типа (сотен ед.), месячный объём грузоперевозок каждой машиной на каждом маршруте и соответствующие эксплуатационные расходы, плановый месячный объём грузоперевозок по маршрутам. Требуется распределить машины по маршрутам так, чтобы суммарные эксплуатационные расходы были минимальными.

Табл.10.

Трикотажная фабрика использует для производства двух моделей женских костюмов, А и Б чистую шерсть, силон и нитрон. Табл. 11. содержит данные о запасах пряжи каждого вида, количестве пряжи, требуемой для изготовления 100 костюмов каждой модели (в кг), а также о прибыли, получаемой от их реализации. Найти оптимальный план выпуска костюмов, максимизирующий прибыль, при условии, что запасы шерсти должны быть использованы полностью.

Табл.11.

Для повышения урожайности сельскохозяйственных культур предприятие использует комбинированные минеральные удобрения двух видов: А и Б. В табл. 12 приведены данные о процентном содержание указанных компонентов в каждом виде удобрения, цена одной весовой единицы каждого вида удобрения и минимальное количество компонентов, вносимых на 1 га почвы. Найти оптимальный план закупки необходимого количества удобрений, минимизирующий расходы по закупке.

С завода на склад необходимо перевезти два вида однородной продукции П1 и П2. Для перевозки можно заказать три типа транспорта — Т1, Т2 и Т3. В таблице 13 приводятся данные об объёме перевозимой продукции каждого вида, о количестве продукции каждого вида, вмещаемой на единицу транспорта определённого типа, эксплуатационные расходы единицы транспорта (в ден. ед.). Найти оптимальный план перевозки продукции, минимизирующий транспортные расходы.

Табл.13.

Завод приобретает станки двух типов: А1 и А2, для чего выделено 40 тыс. ден. ед. Площадь, на которой будут размещены станки, не должна превышать 48 м². Данные о производительности, требуемой для размещения площади и стоимости каждого типа приобретаемого станка приведены в табл. 14. Станков типа А1 можно заказать не более 6 ед. Найти оптимальный вариант приобретения станков, обеспечивающий максимальную общую производительность нового участка.

табл. 14.

Станкостроительный завод выпускает оборудование типов А1 и А2. Значения производственных мощностей отдельных участков и прибыль от выпуска одной единицы оборудования каждого типа приведены в табл. 15. Составить наиболее рентабельную производственную программу выпуска оборудования.

Табл.15.

Имеются пищевые продукты: М1 — масло сливочное; М2 — молоко коровье; М3 — печенье; М4 — каша. Они содержат различные питательные вещества, включая П1 — белки; П2. — жиры; П3 — углеводы; П4 — минеральные вещества. Для нормальной жизнедеятельности необходимо потребление в сутки не менее bi единиц i-того питательного вещества (i=). Cодержание питательных веществ и цены на них показаны в таблице 15. Требуется сформировать из продуктов П1 и П2 суточную диету, которая, с одной стороны, содержала бы белков, жиров, углеводов, минеральных веществ не менее минимальных научно обоснованных норм и вместе с тем требовала бы минимальных затрат.

Имеются пищевые продукты: М1 — рыба; М2 — сок яблочный; М3 — каша; М4 — творог. Они содержат различные питательные вещества, включая П1 — белки; П2. — жиры; П3 — углеводы; П4 — минеральные вещества. Для нормальной жизнедеятельности необходимо потребление в сутки не менее bi единиц i-того питательного вещества (i=). Cодержание питательных веществ и цены на них показаны в таблице 15. Требуется сформировать из продуктов П1 и П2 суточную диету, которая, с одной стороны, содержала бы белков, жиров, углеводов, минеральных веществ не менее минимальных научно обоснованных норм и вместе с тем требовала бы минимальных затрат.

Табл.17.

Фирма, специализирующаяся на производстве замороженных пищевых полуфабрикатов, выпускает три различных продукта (продукт 1 — рыбные палочки; продукт 2 — рыбные пельмени; продукт 3 — рыбные фрикадельки), каждый из которых получается путём определённой обработки рыбы и подлежит соответствующей упаковке. В начале технологического процесса необработанная рыба сортируется по размеру и качеству, после чего её распределяют по различным поточным линиям.

Фирма может закупить рыбу у двух различных поставщиков: в количестве не менее 2 тонн у первого и не менее 1,5 тонны у второго. При этом объёмы продуктов 1, 2, и 3, которые можно получить из одной тонны рыбы первого поставщика, отличаются от объёмов продуктов 1, 2 и 3, получаемых из того же количества рыбы второго поставщика. Соответствующие показатели приведены в таблице 18.

Какое количество рыбы следует купить у каждого из поставщиков?

Фирма, выпускающая неоднородную продукцию, имеет возможность реализовать от одного до четырёх различных типов производственно-технологических процессов и обладает правом выбора того или иного варианта. Технологические процессы первого и второго типов ориентированы на получение продукции А, а технологические процессы третьего и четвёртого типов — на получение продукции Б. Расходы, связанные с каждым из технологических процессов, определяются трудозатратами (измеряемыми в человеко-неделях) и количеством (в единицах веса) потребляемого в течение недели материала. Поскольку затраты, связанные с различными технологическими процессами, не одинаковы, прибыльность процессов оказывается разной даже в том случае, когда они используются для получения продукции одного и того же вида. При составлении производственного плана на неделю диапазон возможностей фирмы ограничен как за счёт людских ресурсов, так и за счёт потребляемого сырья. Производственно-экономические показатели и все имеющиеся ограничения представлены в табл. 19.

Требуетсянайти сбалансированный по ресурсам производственный план выпуска продукции на неделю, обеспечивающий фирме максимальный доход. Материал У должен быть использован полностью.

Табл.19.

Крупная свиноферма имеет возможность покупать от одного до трёх различных видов зерна и приготавливать различные виды комбикормов. Различные зерновые культуры содержат разное количество питательных компонентов (ингредиентов). Комбикорм для свиней должен удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности. Принимаются в расчёт четыре ингредиента. Все данные, относящиеся к рассматриваемой задаче, приведены в табл.20. Определить, какая из всех возможных смесей является самой дешёвой. Ингредиенты В и С в комбикорме могут содержаться в минимальном количестве.

Имеются прутки длиной 300 см, из которых нужно изготовить 130 заготовок типа А1 длиной 12 см, 142 заготовки типа А2 длиной 9 см и 134 заготовок типа А3 длиной 17 см. По технологическим причинам возможны пять способов раскроя:

Табл. 21.

Составить план раскроя, минимизирующий суммарную длину отходов.

Торговая организация осуществляет продажу товаров двух товарных групп (одежду и обувь). Затраты на хранение и перевозку товаров, величина спроса, величина прибыли от реализации одной стоимостной единицы товара каждого вида даны в таблице 1(в стоимостных единицах). Необходимо определить оптимальный план товарооборота, обеспечивающий торговой организации максимальную прибыль.

Табл. 22.

На заводах А1 и А2 изготавливается однородная продукция и доставляется в торговые точки В1 и В2. Себестоимость весовой единицы продукции завода А1 и доставки её в обе торговые точки одинакова и равна 200 ден. ед., себестоимость весовой единицы продукции завода А2 и доставки её в торговую точку В1 составляет 300 ден. ед., а в торговую точку В2 составляет 400 ден. ед. При перевозке продукции с завода А1 в любую торговую точку и при перевозке с завода А2 в торговую точку В2 используется участок дороги с ограниченной пропускной способностью: за плановый период перевезти можно не более 150 весовых ед. продукции. Для организации производства продукции на заводе А1 требуется 2 тыс. ед. капиталовложений на весовую ед. продукции, удельные капиталовложения на весовую единицу продукции, выпускаемой заводом А2 составляют 3 тыс. ден. ед.

Общая сумма капиталовложений не должна превышать 600 тыс. ден. ед. В результате реализации продукции завода А1 по цене 300 ден. ед. и завода А2 по цене 400 ден. ед. торговая точка В1 за плановый период должна обеспечить прибыль 40 000 ден.ед. Плановая прибыль торговой точки В1 должна составить 50 000 ден.ед. при реализации продукции завода А1 по цене 300 ден. ед. и завода А2 по цене 500 ден. ед. Составить оптимальный план выпуска продукции заводами А1 и А2, обеспечивающий плановую прибыль торговым точкам при условии минимизации затрат на изготовление и доставку выпускаемой продукции.

Сельскохозяйственное предприятие планирует засеять 5000 га пашни тремя культурами: пшеницей, овсом и ячменем, урожайность которых составляет соответственно 20, 50 и 100 ц с га. Для возделывания названных культур требуются затраты труда механизаторов: 0,5 чел.-дней/га для пшеницы, 1 чел.-день/га для овса и 5 чел.-дней/га для ячменя, а также затраты ручного труда: 0,5; 0,5 и 2 соответственно (в чел.-днях/га). Трудовые ресурсы предприятия составляют: 6000 чел.- дней труда механизаторов, 4000 чел.-дней ручного труда. Найти оптимальное сочетание посевов трёх культур, обеспечивающих предприятию максимальную прибыль при реализации 1 ц названных культур по цене: 10 ден. ед. за пшеницу, 5 ден. ед. за овёс и 7 ден. ед. за ячмень.

Обувная фабрика производит три вида обуви: мужскую, женскую и детскую. На каждую тысячу пар мужской, женской и детской обуви соответственно требуется клея 20, 20 и 10 кг, кожи 40, 20 и 10 м². Затраты труда составляют соответственно 50; 70 и 30 чел.-дней. Стоимость мужской, женской и детской обуви с учётом всех работ соответственно равна 20, 30 и 10 ден. ед. Запасы клея составляют 4 т, а кожи — 4200 м². Фонд рабочего времени — 10 000 чел.-дней. Найти оптимальный план производства обуви, при котором стоимость выпущенной продукции является максимальной. Запасы кожи должны быть использованы полностью.

Две снегоуборочные машины М1 и М2 разной мощности заняты уборкой снега на площадках П1 и П2 размерами соответственно 1000 и 1500 м², которые следует очистить не более, чем за 60 часов. Данные о производительности каждой снегоуборочной машины, а также стоимости работ на площадках приведены в табл. 23. Найти оптимальный план работ снегоуборочных машин в указанный период времени, минимизирующий затраты.

Табл.23.