Степень расширения. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

Базис и степень расширения

Напомним, что векторным пространством над полем Р называется множество элементов V, называемых векторами, на котором определена операция сложения векторов, определено умножение произвольного вектора, а е V на произвольный элемент а е Р со значением аа е V, причем выполнены следующие условия:

• 1) система (V, +) является коммутативной группой;
• 2) выполняется равенство ассоциативности: (ab)а = а (Ьа) для любых а, ЪеР и, а <= V;
• 3) выполняются равенства дистрибутивности: (а + Ь) а = = аа + Ьа и а (а + (3) = аа + а (3 для любых а, Ъ е Р и а, (3 е V;
• 4) для единицы 1 поля Р и любого вектора, а е V имеет место равенство 1а = а.

Базисом векторного пространства V над полем Р называется максимальная линейно независимая система векторов.

Любые два базиса векторного пространства содержат одинаковое количество векторов. Векторное пространство называется конечномерным, если оно имеет конечный базис. Конечномерное векторное пространство называется n-мерным, если его базис состоит из п векторов. Примером бесконечномерного векторного пространства является пространство многочленов от переменной х над полем Р, оно имеет бесконечный базис {1,х, х²,… }.

Легко видеть, что расширение F поля Р является векторным пространством над полем Р. В этом случае элементы поля F называются векторами, а элементы поля Р — скалярами.

Определение 4.6. Пусть поле F является расширением поля Р. Если система векторов S с F является базисом векторного пространства F над полем Р, то S будем называть базисом расширения F, а количество векторов базиса S — степенью расширения F поля Р. Степень расширения F поля Р обозначается |Р: Р| (читается: степень поля F относительно поля Р). Если степень расширения бесконечна, то пишут |Р: Р| = а если степень расширения конечна, то расширение F называется конечным и пишут |Р: Р| < или более точно |Р: Р| = п.

Рассмотрим примеры.

• 1. Пусть F = {а + bJ3 | a, b е Q}. Тогда поле F является расширением поля Q с базисом расширения S = {1, л/З}, а степень расширения |Р: Q | =2.
• 2. Пусть ^{G =} |^) |/(x), g (x)eQ[x], g (x)*oj. Тогда поле G

является расширением поля Р с бесконечным базисом S = {1, л, л², …} и |G: Q| =.

• 3. |R: Q| = оо.
• 4. |С: М| = 2 и базис расширения S = {1, i}.
• 5. F-{а + Ь12 + с%/3 + d/6 а, Ъ,с,dе Q}, |F: Q| = 4 и одним из базисов расширения является S = {1, V2,7з, V6}.

Определение 4.7. Расширение F поля Р называется алгебраическим, если всякий элемент поля F является алгебраическим над полем Р.

Теорема 4.2. Всякое конечное расширение поля является алгебраическим.

Доказательство. Пусть поле F является конечным расширением поля Р и базис пространства F над полем Р состоит из п векторов. Известно, что в этом случае всякая система п + 1 векторов линейно зависима. Возьмем произвольный элемент а е F. Система {а⁰ = 1, а, а²,…, а" } содержит п + 1 векторов, а значит, линейно зависима. Следовательно, существуют элементы а₀, а_ь …, а_п е Р, среди которых есть отличные от нуля, такие что а₀ ? 1 + а_а(х + … + а_па^п = 0. Но это означает, что элемент, а является корнем ненулевого многочлена а, рс^п + + … + а₀, т. е.

а — алгебраический элемент над полем Р. Теорема доказана.