Полярная система координат

Полярная система координат задается полюсом (О), который является началом координат, и ориентированной полуосью (полярной осью), берущей свое начало из точки О (полюса). Полярными координатами точки P называются радиус-вектор — расстояние от точки P до точки О (полюса), и полярный угол — угол между полярной осью и прямой OP.

Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси по часовой стрелке, и отрицательным при отсчете против часовой стрелки.

Расстояние между объектами в пространстве, обозначенные в полярной системе координат точками A (A, A) и B (B, B), рассчитывается по следующей формуле:

Переход от декартовых координат к полярным и обратно выполняется по следующим формулам, если принять начало координат за полюс, а ось абсцисс за полярную ось:

x = cos, y = sin.

Использование полярных координат целесообразно только в некоторых случаях. Так, например, при работе с электронно-справочной картой Санкт-Петербурга, разработанной фирмой «ИНГИТ», координаты объектов можно определяются только в полярной системе координат. Карта охватывает городскую зону Санкт-Петербурга и ряд пригородов. Полярная ось в этом программном продукте всегда ориентирована строго на север, а положение полюса пользователь можно задать самостоятельно. Радиус-вектор и полярный угол объекта высвечиваются в правом верхнем углу карты при совмещении курсора с местоположением объекта.

Пример. С помощью электронно-справочной карты автодорожной карты Санкт-Петербурга (ИНГИТ, вер. 3.0, 1995) определим полярные координаты двух точек — пл. Александра Невского и стрелка Васильевского острова. Полюс совпадает с местоположением Петропавловского собора, полярная ось ориентирована строго на север. Получаем следующие значения:

Для вычисления расстояния значения полярного угла следует перевести из градусы в радианы. Значение радиана: 180 / 57,3. Получаем:

A = 127 48 A = (127 + 48/60) /57,3 = 127,8 / 57,3 = 2,2304.

В = 219 10 В = (219 + 10/60) /57,3 = 219,17 / 57,3 = 3,8249.

Далее рассчитываем расстояние между точками, А и В, используя для Санкт-Петербурга поправочный коэффициент K = 1,24:

dAB = 1,24 (40 602 + 9642 — 2 4060 964 cos (2,2304 — 3,8249))0,5 = 5202 м По электронной карте расстояние от пл. Александра Невского до стрелки В.О. (при движении по Невскому проспекту) составляет 5200 м. Погрешность в расчетах составляет 4%.

Задача 10. По электронно-справочной карте и автодорожной Санкт-Петербурга (ИНГИТ, версия 3.0, 1995) получаем полярные координаты следующих точек:

Определить расстояния между указанными точками, используя формулы расчета расстояний в полярной и декартовой системе координат. Для расчетов в декартовой системе следует воспользоваться формулами перевода полярных координат в декартовые прямоугольные координаты. В качестве поправочного коэффициента использовать значение K = 1,24. Сравнить полученные результаты с данными, полученными в ходе расчетов длины маршрутов по электронной карте:

Возьмите автодорожный атлас Санкт-Петербурга и постарайтесь найти объяснение, почему погрешность при оценке расстояний пункта C так сильно отличается от погрешности в оценке расстояний других пунктов.

Сферическая система координат Сферическая система координат позволяет определить положение точки в пространстве с помощью трех координат: r — длина радиуса-вектора, — долгота, — широта. Положительные направления отсчета показаны на рисунке … На этом рисунке изображена точка P, которая расположена на поверхности сферы с радиусом r. Запись P (,) означает, что точка P имеет долготу и широту .

Пределы, в которых могут изменяться сферические координаты: 0 r < ?, —, -/2 /2. Изменяя сферические координаты в этих пределах, можно охватить все точки пространства.

Теперь рассмотрим задачу, когда надо найти кратчайшее расстояние между точками A (A, A) и B (B, B), расположенных на поверхности сферы с радиусом r, при условии, что движение от точки, А до точки В возможно только по поверхности сферы. Расчет расстояния производится по формуле:

dAB = K r arccos (sin A sin B + cos A cos B cos |A-B|).

где K — коэффициент, учитывающий «кривизну» дорог, r — радиус-вектор (радиус Земли), и — широта и долгота точек, А и В.

Пример. Допустим, что в точке, А (5545, 3730) располагается Москва, а в точке В (60 00, 30 30) — Санкт-Петербург. Требуется определить кратчайшее сферическое расстояние между этими двумя точками.

Координаты точек, А и В заданы в градусах. Для расчета расстояния d-AB требуется перевести эти значения в радианы (значение радиана: 180 / 57,3):

A = 55 45 180 / = 55,75 / 57,3 = 0,9729; A = 37 30 180 / = 37,5 / 57,3 = 0,6545; B = 60 00 180 / = 60,0 / 57,3 = 1,0471; B = 30 30 180 / = 30,5 / 57,3 = 0,5323.

Средний радиус Земли составляет r = 6371,032 км. Поправочный коэффициент примем как в США: K = 1,17. Расчет производим по выше приведенной формуле:

dAB = 1,17 6371 arccos (sin 0,9729 sin 1,0471 + cos 0,9729 cos 1,0471 cos |0,6545−0,5323|) = 1,17 6371arccos (0,82 650,8660+0,56 290,50010,9925) = 734,22 км В дорожных атласах указывается, что расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по трассе М10 составляет 704 км. Таким образом, погрешность в расчетах составила (734 — 704) / 704 100% = 4,3%.