Исследование решений операторно-дифференциальных уравнений в частных производных высшего порядка

В [1] рассмотрено решение нелинейного операторно-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка методом дополнительного аргумента.

Основы метода дополнительного аргумента систематически изложены в монографии М. И. Иманалиева [2].

Постановка задачи.

Рассматривается нелинейное операторно-дифференциальное уравнение в частных производных вида:

где: n, mОN, TОR++ - некоторое заданное число,.

такой оператор, что при любой функции u возникает функция, зависящая только от t. Для строгости в определениях операторов будем записывать: функция каких переменных получается; на функцию скольких переменных действует оператор (по аналогии с записью интегралов); связанные переменные в этой функции. Например:

F (t;u (t, x):x)=1+ u (t, Ѕ); G (t;u (s, x):s, x)=t2 + u (ј, Ѕ);

H (u (s, x):s, x) = (если интеграл сходится).

В частности, если n=m=1, то операторно-дифференциальное уравнение (1) принимает вид (с краткой записью производных):

Обозначим через — класс функций, непрерывных и ограниченных вместе со своими производными до к-го порядка.

Рассмотрим уравнение (1) с начальными условиями:

(2).

где: заданные функции такие что, для них выполняются следующие условия.

(3).

(4).

Введем следующие обозначения.

Представим основные этапы применения метода дополнительного аргумента в виде лемм. При этом будем пользоваться обозначением:

(6).

Исследуется решение задачи (1) — (5) в пространстве функций Заметим, что для всякой функции имеет место соотношение u (t, x) ОLip (L|x), поскольку производная ux (t, x) ограничена.

Основные результаты.

Лемма 1. Для справедливо тождество.

(7).

Доказательство. Из (7) имеем следующее:

Обозначим.

Тогда имеем:

Переписываем эту оценку в виде.

(8).

Из интегрального неравенства (8) для неотрицательной функции, в котором переменные играют роль параметров, вытекает тождество и справедливость (7).

Введя обозначение в (6) имеем.

(9).

Если имеет место равенство.

(10).

то из (9) вытекает соотношение.

. (11).

Будем использовать стандартное обозначение метода дополнительного аргумента:

Введем оператор

(12).

Лемма 2. Если имеют место равенства (10),.

(13).

(14).

то функция является решением задачи (1) — (5), и наоборот.

Доказательство. Обозначая через.

запишем уравнение (1) в виде.

. (15).

Введем функции.

Тогда уравнение (14) принимает вид:

(16).

Уравнение (16) с условиями (2) — (5) с помощью метода дополнительного аргумента сводится к решению интегро-дифференциального уравнения.

. (171).

В самом деле, дифференцируя уравнение (171), получаем уравнение (16).

Полагая в (171), получаем.

Если функция — решение уравнения.

(172).

то она является решением задачи (171), (2), (3), (4), (5).

Дифференцируя уравнение (172) по t и по x, получаем справедливость интегро-дифференциального уравнения (171).

Продолжая этот процесс, предположим, что.

является решением следующего уравнения:

Покажем, что функция.

(17m).

удовлетворяет интегральному уравнению и начальным условиям (2) — (5).

В этом можем убедиться, дифференцируя (17m) по t и x.

Таким образом, введя функции, из (15) вывели (17m).

Обратно, применяя m раз оператор для уравнения (17m), получаем справедливость (15), (2), (3), (4),(5).

Теперь из (17m) выведем (13). Для этого введем дополнительные функции:

Тогда уравнение (17m) принимает вид:

. (18).

Уравнение (18) с условиями (2)-(5) с помощью метода дополнительного аргумента сводится к решению интегрального уравнения нелинейный дифференциальный интегральный уравнение.

. (191).

В самом деле, дифференцируя (191), получаем.

.

В силу (11) доказано выполнение (18). Полагая t=0 в (191),.

получаем.

Если функция — решение уравнения.

(192).

то она является решением уравнения (191) с условиями (2) — (5).

Дифференцируя (192) по t и по x, получаем.

В силу (11) доказана справедливость (191).

Продолжая этот процесс, предположим, что.

(19n-1).

является решением следующего уравнения:

Покажем, что уравнение (13) удовлетворяет интегральному уравнению (19n-1) и начальным условиям (2) — (5).

Из (13) имеем.

Следовательно, в силу (11) доказано выполнение (19n-1).

В (14) при t=0 имеем: .

Таким образом, введя функции, из (1) вывели (14).

Обратно, применяя n раз оператор для уравнения (14), получаем справедливость (17m), (2), (3),(4).

Лемма доказана.

Лемма 3. Функция являющаяся при.

0Ј t Ј T*Ј T решением интегрального уравнения (13), будет удовлетворять (10), а функция, определенная согласно (14), удовлетворяет (11).

Доказательство. Пусть обращает интегральное уравнение (13) в тождество. Непосредственным дифференцированием из (13) выводится тождество.

.

где:

Из тождества следует равенство. Отсюда следует (9). Полагая t=t в (3), из Леммы 2 получаем (11). Лемма доказана.

Лемма 4. Если 1) оператор F — непрерывный по первой переменной;

2) он удовлетворяет условию Липшица: существует такое L>0, что для любого T*Ј T.

3) то уравнение (13) при достаточно малом T* имеет решение в.

Доказательство. Перепишем уравнение (13) в виде.

(20).

где:

Имеем при t Ј T*Ј T:

где:

Далее, при tЈ t Ј T*Ј T:

|J (t, t; v1(s, w, x): s, w) — J (t, t;v1(s, w, x): s, w)|=.

=|A (t, p (t, t, x;v1(s, t, x):s);v1(s, w, x):s, w) — A (t, p (t, t, x;v2(s, t, x):s);v2(s, w, x): s, w)|Ј.

где:

Таким образом, условия Леммы 4 выполняются и получаем, что уравнение (13) имеет решение в пространстве функций с нормой не более 2W0(T*).

Лемма доказана.

Лемма 5. Если выполняются условия Леммы 4, то решение уравнения (13) при достаточно малых t имеет непрерывные производные по всем переменным.

Доказательство. Формально дифференцируя (13) по x и обозначая V3(t, t, x)= vx (t, t, x), получаем.

Как и в доказательстве Леммы 4, доказываем, что это уравнение имеет непрерывное решение при достаточно малых t. Тогда интегрированием получаем, что функция.

V (t, t, x)=v (t, t,0)+, (22).

где: v (t, t, x) — решение уравнения (13), также удовлетворяет (13), и, следовательно, совпадает сv (t, t, x). Из (22) следует дифференцируемость v (t, t, x) по x.

Формально дифференцируя (22) по t и обозначая V2(t, t, x)= vt (t, t, x), получаем.

(23).

Как и в доказательстве Леммы 4, доказываем, что это уравнение имеет непрерывное решение при достаточно малых t. Тогда интегрированием получаем, что функция.

V (t, t, x)=x+ (24).

удовлетворяет (13), и, следовательно, совпадает с v (t, t, x). Из (24) следует дифференцируемость v (t, t, x) по t.

Из (6) видно, что правая часть (13) при заданной непрерывной функции v (t, t, x) дифференцируема поt. Отсюда следует дифференцируемость v (t, t, x) по t.

Лемма доказана.

Продолжая этот процесс, получаем справедливость соотношений.

для.

Таким образом, по индукции, из Леммы 5 следует Лемма 6. При наличии производных соответствующего порядка у всех функций j0(х), yk (x) функция v (t, t, x) имеет производные такого же порядка.

Из доказанных лемм следует.

Теорема. Если выполняются условия Леммы 4, то задача (1) — (5) имеет решение в пространстве функций для достаточно малого T*ЈT.

Пример. Рассмотрим частный случай уравнения (1), где оператор F (t;u) взят в виде функции, n=m=1:

с начальными условиями.

Рассматриваемая задача методом дополнительного аргумента сводится к интегральному уравнению.

(*).

Используя (20), из интегрального уравнения (*) имеем.

.

Отсюда получаем интегральное уравнение.

.

Интегрируя по t от 0 до t, имеем:

.

Находим.

.

Следовательно, решение поставленной задачи имеет вид:

• 1. Аширбаева А. Ж., Мамазиаева Э. А. Решение нелинейного операторно-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка методом дополнительного аргумента // Вестник Кыргызско-Российского славянского университета. — Бишкек. — 2015. — Т. 15, Вып. 5. — С. 61−64.
• 2. Иманалиев М. И. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с частными производными. — Бишкек: Илим, 1992. — 112 с.