Показатели степени некоторых числовых равенств

В предлагаемой работе рассмотрены числовые равенства вида.

Установлено, что в подобных верных числовых равенствах с натуральным показателем степени n > 1 и целых, взаимно простых (не имеющих никаких общих множителей кроме 1) основаниях степеней, входящих в него положительных слагаемыхи суммы, показатель степени n равен количеству слагаемых R этого равенства.

Теорема Верное числовое равенство вида:

(1).

числовой равенство теорема.

где: , — целые, взаимно простые основания степеней положительных слагаемых и суммы ;

n > 1 — натуральный показатель степени, существует при n = R, где: R — количество слагаемых в числовом равенстве.

Доказательство Пусть существуют удовлетворяющие условиям теоремы основания степеней, для которых числовое равенство (1) верно. Представим каждое из входящих в числовое равенство слагаемое и сумму в виде тождеств, являющихся биномами Ньютона при натуральном показателе степени n:

(2).

где: Хк, У — могут принимать любые значения, то есть, являются переменными.

Подставляя тождества (2) в числовое равенство (1), получим алгебраическое уравнение:

(3).

Поменяв местами символы сумм, и вынеся коэффициенты за символ суммы независящий от значений n и i, что равнозначно перестановке мест слагаемых в уравнении (3), получим:

Алгебраическое уравнение (4) соответствует числовому равенству (1) и справедливо при любых значениях переменных Хк, У, входящих в это уравнение.