Свойства вейвлета. 
Свойства вейвлет-преобразования

Локализация. Вейвлет должен быть непрерывным, интегрируемым, иметь компактный носитель и быть локализованным как во времени (в пространстве), так и по частоте. Если вейвлет в пространстве сужается, то его «средняя» частота повышается, спектр вейвлета перемещается в область более высоких частот и расширяется. Этот процесс должен быть линейным — сужение вейвлета вдвое должно повышать его «среднюю» частоту и ширину спектра также вдвое.

Вейвлетную функцию можно считать хорошо локализованной при выполнении условий:

?(t)? C/(1+|t|)1+?, ?(f)? C/(1+|f|)1+?, С=const, при? > 0.

Нулевое среднее значение, т. е. выполнение условия для нулевого момента:

?(t) dt = 0,.

что обеспечивает выделение локальных особенностей сигналов в пределах вейвлетного носителя на уровне региональных изменений и тренда, нулевое усиление постоянной составляющей сигналов, нулевое значение частотного спектра вейвлета при ?=0, и локализацию спектра вейвлета в виде полосового фильтра с центром на определенной (доминирующей) частоте ?0. Для анализа мелкомасштабных флюктуаций и особенностей высокого порядка, как правило, требуются и нулевые значения определенного количества последующих моментов:

tm??(t) dt = 0.

Такие вейвлеты называются вейвлетами m-го порядка.

Ограниченность. Необходимое и достаточное условие:

||?(t)||2 =?|?(t)|2 dt <

Оценка ограниченности и локализации может выполняться с использованием выражений:

|?(t)| < 1/(1+|t|n), или |?(щ)| < 1/(1+|щo|n),.

где ?o — средняя частота вейвлета. Число n должно быть как можно больше.

Автомодельность базиса или самоподобие. Форма всех базисных вейвлетов? ab (t) должна быть подобна материнскому вейвлету ?(t), т. е. должна оставаться одной и той же при сдвигах и масштабировании (растяжении/сжатии), иметь одно и то же число осцилляций.

Отображение преобразования. Результатом вейвлет-преобразования одномерного числового ряда (сигнала) является двумерный массив значений коэффициентов С (a, b). Распределение этих значений в пространстве (a, b) — временной масштаб, временная локализация, дает информацию об изменении во времени относительного вклада в сигнале вейвлетных компонент разного масштаба и называется спектром коэффициентов вейвлет-преобразования, масштабно-временным (частотно-временным) спектром или просто вейвлет-спектром (wavelet spectrum).

Спектр C (a, b) одномерного сигнала представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Способы визуализации спектра могут быть самыми различными. Наиболее распространенный способ — проекция на плоскость ab с изолиниями (изоуровнями), что позволяет проследить изменения коэффициентов на разных масштабах во времени, а также выявить картину локальных экстремумов этих поверхностей («холмов» и «впадин»), так называемый «скелет» (skeleton) структуры анализируемого процесса. При широком диапазоне масштабов применяются логарифмические координаты (log a, b). Пример вейвлетного спектра простейшего сигнала при его разложении вейвлетом Mhat.

По вертикальным сечениям (сечениям сдвига b) вейвлет-спектр отражает компонентный состав сигнала (из данного комплекта вейвлетов) в каждый текущий момент. По смыслу преобразования, как скалярного произведения сигнала с вейвлетом, ясно, что значения коэффициентов в каждой текущей временной точке по масштабным сечениям тем больше, чем сильнее корреляция между вейвлетом данного масштаба и поведением сигнала в окрестностях этой точки. Соответственно, сечения по параметру 'а' демонстрируют изменения в сигнале компоненты данного масштаба 'a' со временем.

Вейвлетные составляющие сигнала в сечениях его спектра не имеют ничего общего с синусоидами, и представлены, как правило, сигналами достаточно сложной и не всегда понятной формы, что может затруднять их наглядное представление и понимание.

Вейвлетные функции. Выбор анализирующего вейвлета определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала. С учетом характерных особенностей различных вейвлетов во временном и в частотном пространстве, можно выявлять в анализируемых сигналах те или иные свойства и особенности, которые незаметны на графиках сигналов, особенно в присутствии шумов. При этом задача реконструкции сигнала может и не ставится, что расширяет семейство используемых регулярных вейвлетных функций, в том числе неортогональных. Более того, вейвлет может конструироваться непосредственно под ту локальную особенность в сигнале, которая подлежит выделению или обнаружению, если ее форма априорно известна.

При анализе сигналов вейвлетами четного типа (симметричными или близкими к симметричным) гармоническим сигналам обычно соответствуют яркие горизонтальные полосы вейвлетных пиков и впадин на доминирующих частотах вейвлетов, совпадающих с частотой гармоник сигналов. Нарушения гладкости сигналов фиксируются вертикальными полосами, пики в сигналах выделяются максимумами, а впадины — минимумами вейвлетных коэффициентов. Напротив, вейвлеты нечетного типа более резко реагируют на скачки и быстрые изменения в сигналах, отмечая их максимумами или минимумами в зависимости от знака дифференциалов. Чем резче выражены особенности сигналов, тем сильнее они выделяются на спектрограммах.

Для конструирования таких вейвлетов часто используются производные функции Гаусса, которые имеют наилучшую локализацию как во временной, так и в частотной областях. В общей форме уравнение базового вейвлета:

?n (x) = (-1)n+1 dn[exp (-x2/2)]/dxn, n? 1, (2.1.1).

Уравнения базовых вейвлетов для первых четырех производных:

• ?1(x) = -x exp (-x2/2), ?2(x) = (1-x2) exp (-x2/2),
• ?3(x) = (3x-x3) exp (-x2/2), ?4(x) = (-4×4+6×2−3) exp (-x2/2),

Уравнения нормированных базисов для временных сигналов:

?(t, a, b) = (Kn/) ?n (x), x=(t-b)/a, K1=1.062, K2=0.867, K3 =0.548, K4=0.293.

Для сужения базовой формы вейвлетов применяется также упрощенная форма:

?n (x) = (-1)n+1 dn[exp (-x2)]/dxn, n? 1, (2.1.1').

WАVE-вейвлет вычисляется по первой производной (n=1) и приведен на рис. 2.1.3 во временной и частотной области для трех значений масштабных коэффициентов 'а'. Форма вейвлета относится к нечетным функциям и, соответственно, спектр вейвлета является мнимым. Уравнение вейвлета по (2.1.1') с единичной нормой:

. (2.1.2).

Приведен пример применения вейвлета для анализа двух однотипных сигналов, один из которых осложнен шумами с мощностью на уровне мощности самого сигнала. Как следует из рисунка, контурная масштабно-временная картина вейвлетных коэффициентов, а равно и ее сечения на больших значениях масштабных коэффициентов 'а' (малых доминирующих частотах вейвлетов) очень точно и уверенно фиксирует положение вершины информационного сигнала сменой знака коэффициентов С (a, b).

МНАТ-вейвлет (Mexican hat — мексиканская шляпа) вычисляется по второй производной (n=2). Вейвлет симметричен, спектр вейвлета представлен только действительной частью и хорошо локализован по частоте, нулевой и первый моменты вейвлета равны нулю. Применяется для анализа сложных сигналов. Уравнение вейвлета по (2.1.1'):

. (2.1.3).

Модель сигнала образована суммой сигналов разной структуры. Сигналы у1-у2 представляют собой функции Гаусса разного масштабного уровня, сигнал у3 — прямоугольный импульс, сигнал у4 задан в виде тренда с постоянным значением дифференциала. На контурном графике вейвлет-коэффициентов можно видеть выделение всех трех основных структур сигнала при полном исключении тренда. Особенно четко выделяются границы скачков прямоугольной структуры. Справа на рисунке приведена полная трехмерная картина вейвлет-преобразования.

Рис. 1.

Вейвлет широко используется в двумерном варианте для анализа изотропных полей. На его основе возможно также построение двумерного неизотропного базиса с хорошей угловой избирательностью при добавлении к сдвигам и масштабированию вейвлета его вращения.

Рис. 2.

При повышении номера производной функции (2.1.1) временная область определения вейвлета несколько увеличивается при существенном повышении доминирующей частоты вейвлета и степени его локализации в частотной области. Вейвлеты n-го порядка позволяют анализировать более тонкие высокочастотные структуры сигналов, подавляя низкочастотные компоненты.

Сравнение рисунков показывает существенное повышение чувствительности вейвлета к высокочастотным составляющим сигнала на малых масштабных коэффициентах.

Результаты вейвлет-преобразования, как скалярного произведения вейвлета и сигнальной функции, содержат комбинированную информацию об анализируемом сигнале и самом вейвлете. Получение объективной информации о сигнале базируется на свойствах вейвлет-преобразования, общих для вейвлетов всех типов. Рассмотрим основные из этих свойств. Для обозначения операции вейвлет-преобразования произвольных функций s (t) будем применять индекс TW[s (t)].

Линейность.

TW[?· s1(t)+?·s2(t)] = ?· TW[s1(t)]+?·TW[s2(t)]. (2.2.1).

Для векторных функций из этого следует, что TW векторной функции есть вектор с компонентами TW каждой из компонент анализируемого вектора в отдельности.

Инвариантность относительно сдвига. Сдвиг сигнала во времени на t0 приводит к сдвигу вейвлет-спектра также на t0:

TW[s (t-to)] = C (a, b-to). (2.2.2).

Инвариантность относительно масштабирования. Растяжение (сжатие) сигнала приводит к сжатию (растяжению) вейвлет-спектра сигнала:

TW[s (t/аo)] = (1/ао)· C (a/ао, b/аo). (2.2.3).

Дифференцирование.

dn{TW[s (t)]}/dtn = TW[dn (s (t))/dtn]. (2.2.4).

TW[dn (s (t))/dtn] = (-1)ns (t) [dn (?(t))/dtn] dt. (2.2.5).

Отсюда следует, что безразлично, дифференцировать ли функцию или анализирующий вейвлет. Если анализирующий вейвлет задан формулой, то это может быть очень полезным для анализа сигналов. Проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала s (t) с игнорированием крупномасштабных полиномиальных составляющих (тренда и регионального фона) можно дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Это свойство особенно полезно, когда сигнал задан дискретным рядом.