Способы задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f (x), где f (x) — с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Виды функций и их свойства

Постоянная функция — функция, заданная формулой у=b, где b —некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат.

Прямая пропорциональность — функция, заданная формулой у=kx, где к0. Число kназывается коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

y=kx — нечетная функция При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой.

3)Линейная функция — функция, которая задана формулой y=kx+b, где kиb —действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

Область определения — множество всех действительных чисел Функция y=kx+b общего вида, т. е. ни чётна, ни нечётна.

При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность — функция, заданная формулой y=k/х, где k0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

Область определения — множество всех действительных чисел кроме нуля.

y=k/x — нечетная функция Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+) и на промежутке (-;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-;0) и на промежутке (0;+).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x²

Свойства функции y=x²:

Область определения — вся числовая прямая.

y=x² — четная функция На промежутке [0;+) функция возрастает На промежутке (-;0] функция убывает Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x³

Свойства функции y=x³:

Область определения — вся числовая прямая.

y=x³ —нечетная функция Функция возрастает на всей числовой прямой Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем — функция, заданная формулой y=xⁿ, где n — натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п. 2. При n=2;3 получаем функции y=x²; y=x³. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n — произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=xⁿобладает теми же свойствами, что и функция y=x². График функции напоминает параболу y=x², только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n.

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=xⁿобладает теми же свойствами, что и функция y=x³. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем — функция, заданная формулой y=x ^-n, где n — натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п. 4.

Пусть n — нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=x ^-nобладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n — четное число, например n=2.

Свойства функции y=x ^-2:

Функция определена при всех x0.

y=x ^-2 — четная функция Функция убывает на (0;+) и возрастает на (-;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=х

Свойства функции y=х:

Область определения — луч [0;+).

Функция y=х — общего вида Функция возрастает на луче [0;+).

10)Функция y=³х

Свойства функции y=³х:

Область определения — вся числовая прямая Функция y=³х нечетна.

Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=ⁿх

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=х. При нечетном n функция y=ⁿх обладает теми же свойствами, что и функция y=³х.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем — функция, заданная формулой y=x^r, где r — положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x^r:

Область определения — луч [0;+).

Функция общего вида Функция возрастает на [0;+).

На рисунке изображен график функции y=x^5/2. Он заключен между графиками функций y=x² и y=x³, заданных на промежутке [0;+).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x^r, где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x^2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x^r, где 0.

13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем —функция, заданная формулой y=x ^-r, где r — положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x ^-r:

Обл. определенияпромежуток (0;+).

Функция общего вида Функция убывает на (0;+).

14)Обратная функция

Если функция y=f (x) такова, что для любого ее значения y_o уравнениеf (x)=y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция fобратима.

Если функция y=f (x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f (x), надо график функции y=f (x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция — функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y (x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

функция возрастание убывание.