Типовой расчет по теории вероятностей

Задача 1.

Студенты выполняют экзаменационную работу в классе контролирующих машин. Работа состоит из трех задач. Для получения положительной оценки достаточно решить две. Для каждой задачи зашифровано пять ответов, из которых только один правильный. Студент N плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность того, что он получит положительную оценку?

Решение:

P (A) = - классическая конструкция вероятности.

m — число благоприятных исходов этого события;

n — общее число всех возможных исходов этого события.

А =.

В =.

Вероятность правильного решения задачи: P (A) =.

Вероятность неправильного решения задачи: P (В) =.

Получить положительную оценку можно дав 2 либо же 3 правильных ответа. Вероятность получить 3 правильных ответа:

P () = P (A)*P (А)*P (А) — теорема умножения независимых событий.

P () = = 0,008.

Вероятность получить 2 правильных ответа:

Студент N может получить правильный ответ в 1 и 2 задаче, или в 1 и 3, или 2 и 3, а это три варианта!

P () = P (A)*P (А)*P (В)*3.

P () = = 0,096.

Р © = P ()+ P ().

Р © = 0,008 + 0,096 = 0,104.

вероятность того, что студент получит положительную оценку.

Ответ: 0,104.

Задача 2.

Первая урна содержит 3 красных, 2 белых и 1 синий шар. Вторая урна содержит 4 белых и 2 синих шара. Бросается игральная кость. Если на ней выпало 1 или 6 очков, вынимается шар из первой урны, в противном случае из второй. Вытащен синий шар.

Какова вероятность, что он взят из второй урны?

Решение:

Классическая конструкция вероятности.

P (A) =.

m — число благоприятных исходов этого события;

n — общее число всех возможных исходов этого события Обозначим через, А событие того, что вытащен синий шар.

Можно сделать два предположения:

• 1) Вытащен синий шар из первой урны (гипотеза В1)
• 2) Вытащен синий шар из второй урны (гипотеза В2)

Искомую вероятность того, что синий шар вытащен из второй урны, найдем по формуле Байеся:

(B2) =.

По условию задачи имеем:

P (B1) =.

вероятность того, что шар вытащен из первой урны (выпало 1 или 6 очков).

P (B2) =.

вероятность того, что шар вытащен из второй урны (выпало 2,3,4 или 5 очков).

(А) =.

вероятность того, что вытащенный из первой урны шар синий).

(А) =.

вероятность того, что вытащенный из второй урны шар синий) Искомая вероятность:

(B2) = (/ () = 0, 8.

Ответ: 0,8.

Задача 3.

Караван из 4 судов пересекает минное поле, вероятность подрыва для каждого из судов считается равной 0,1.

Найти вероятность того, что не менее половины судов уцелеет.

Решение:

P = 0,1 — вероятность подрыва для одного судна.

Q = 1- 0,1 = 0,9 — вероятность того, что одно судно уцелеет не взорвется.

А =.

(А) =.

вероятность того, что уцелеет два судна по формуле Бернулли.

n = 4, m = 2:

(А) = = = 0, 049.

=.

вероятность того, что уцелеет три судна по формуле Бернулли.

() =.

— вероятность того, что уцелеет четыре судна по формуле Бернулли.

n = 4, m = 3:

() = = *0,001*0,9 = 0,0036.

() =.

вероятность того,.

n = 4, m = 4:

() = = *0,0001*1 = 0,0001.

С =.

Р© = (А)+ ()+ () = 0,049+ 0,0036+ 0,0001 = 0,0527-.

Ответ: 0, 0527.

Задача 4.

Из урны, в которой было 4 белых и 2 черных шара, переложен один шар в другую урну, в которой находилось 3 черных шара и один белый. После перемешивания из последней урны вынимают 3 шара.

Построить *… отклонение числа черных шаров, вынутых из второй урны.

Найти вероятность того, что из нее будет извлечено:

• а) по крайней мере, два черных шара;
• б) не более двух черных шаров.

Решение:

Случайная величина — число черных шаров, вынутых из второй урны, может принимать значения.

Гипотезы:

из первой урны вытащен белый шар;

из второй урны вытащен черный шар;

Вероятности гипотез (по классическому определению вероятностей):

среди трех шаров, вынутых из второй урны, черных нет (вытянуты три белых шара}.

Условные вероятности (по классическому определению вероятностей):

1) Если верна первая гипотеза — из первой урны переложили белый шар, то во второй урне есть 3 черных шара и 2 белых.

2) Если верна вторая гипотеза — из первой урны переложили черный шар, то во второй урне есть 4 черных шара и 1 белый.

Вероятность события по формуле полной вероятности равна:

{среди трех шаров, вынутых из второй урны, есть один черный шар (и соответственно два белых шара}.

Условные вероятности (по классическому определению вероятностей):

1) Если верна первая гипотеза — из первой урны переложили белый шар, то во второй урне есть 3 черных шара и 2 белых.

2) Если верна вторая гипотеза — из первой урны переложили черный шар, то во второй урне есть 4 черных шара и 1 белый.

Вероятность события по формуле полной вероятности равна:

{среди трех шаров, вынутых из второй урны, есть два черных шара (и соответственно один белый шар}.

Условные вероятности (по классическому определению вероятностей):

1) Если верна первая гипотеза — из первой урны переложили белый шар, то во второй урне есть 3 черных шара и 2 белых.

2) Если верна вторая гипотеза — из первой урны переложили черный шар, то во второй урне есть 4 черных шара и 1 белый.

Вероятность события по формуле полной вероятности равна:

среди трех шаров, вынутых из второй урны, все три черных шара (и соответственно нет белых шаров}.

Условные вероятности (по классическому определению вероятностей):

1) Если верна первая гипотеза — из первой урны переложили белый шар, то во второй урне есть 3 черных шара и 2 белых.

2) Если верна вторая гипотеза — из первой урны переложили черный шар, то во второй урне есть 4 черных шара и 1 белый.

Вероятность события по формуле полной вероятности равна:

вероятность отклонение распределение ковариация регрессия.

Закон распределения имеет вид:

	0,2.	0,6.	0,2.

Функция распределения выглядит следующим образом.

Математическое ожидание равно:

Дисперсия равна:

Среднее квадратическое отклонение равно.

Найдем вероятность того, что из второй урны будет извлечено:

а) по крайней мере, два черных шара;

б) не более двух черных шаров.

Задача 5.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид.

Найти:

• а) коэффициент А;
• б) функцию распределения F (x);
• в) математическое ожидание E (x);
• г) вероятность P ().

Решение:

.

a) Значение постоянной A определяем из свойства плотности распределения:

б) При x.

При 0tgx.

При x.

Таким образом, функция распределения F (x) имеет вид:

в) E (X) = = (x* tgx) ;

= =.

г) Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение из интервала ().

Воспользуемся формулой: P () =.

Задача 6.

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

Случайные величины Y = exp (-2X) и Z = -4X-3 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) функцию распределения случайной величины Y;

б) моменты E (Z), D (Z), K (X, Z).

Решение:

а) X распределена на, поэтому случайная величина Y = exp (-2X) распределена на.

Если X = 0; Y = 1.

Если X.

(a) = P (Y

Нижний предел интегрирования должен быть положителен, и это выполняется при заданном интервале:

at (0;1).

F ()) = ;

Для вычисления находим разность в т. — и, получаем:

(t) = - = t,.

функция распределена равномерно.

б).

= t+dt =.

E (Z) = E (-4X-5) = -4−5 = -7.

D (X) = — = 0.

D (Z) = D (-4X-5) = 0.

K (X, Z) =.

Типовой расчет по математической статистике.