3 Замена переменных в двойном интеграле

Рассмотрим две прямоугольные системы координат х0у и u0v.

И пусть в каждой из координатных плоскостей существуют квадрируемыя компакты Р и Q соответственно. Рассмотрим отображение g: QP, которое является вектор-функцией двух переменных, т. е.. Пусть g удовлетворяет следующим условиям:

g — взаимно однозначное отображение Q на Р.

Пусть g i есть непрерывные функции на Р и Q соответственно.

Кампаненты функции g непрерывные вместе со своими частными производными, ,, на Q. Матрица: называется матрицей Якоби отображения g, а детерминант этой матрицы I=I (u, v)= - называется якобианом отображения g.

Определение 3.1.Отображение g, квадрируемого компакта Q на квадрируемый компакт Р, удовлетворяющее условиям -, причём якобиан неравен нулю, называют регулярным отображением Q на Р.

Можно доказать, что при регулярном отображении:

• 1) образом непрерывной кривой является непрерывная кривая;
• 2) образом области является область;
• 3) образом границы является граница.

Теорема 1. Пусть функция z=f (х, у) есть непрерывная на квадрируемом компакте Р плоскости х0у. Пусть g есть регулярное отображение квадрируемого компакта Q плоскости u0v на квадрируемы компакт Р плоскости х0у. Тогда имеет место равенство:

. (1).

Отметим, что формула (1) называется формулой замены переменной в двойном интеграле. Замечание 1. Связь между декартовой и полярной системами координат осуществляется с помощью равенств: x = r, y = r. Таким образом, отображение компакта Q из полярной системы координат в компакт Р плоскости х0у осуществляется при помощи вектор-функции g (r,. Якобиан этого отображения:

I=I ()=,.

поэтому формула (1) имеет вид:

(2).

Замечание 2. Очевидно, что площадь области Р в соответствии с равенством (11) § 1 в полярных координатах вычисляется по формуле:

(3).