Оценка раскрытия трещины

Определение раскрытия трещины на основе центра поворота При помощи представленного на рис. 79 центра поворота можно описать COD у образца, в котором под действием изгибной нагрузки возникает полная текучесть.

Рис. 79. Центр поворота образца для испытаний на трехточечный изгиб и компактного образца

Полагают, что относительно этого центра происходит поворот половинок образца как твердых тел. Здесь b1 — остаточная длина сечения. Расстояние от вершины трещины до центра поворота можно представить как rb1=r (b-l), где r — коэффициент поворота. Раскрытие трещины на поверхности образца равно Vg и определяется датчиками раскрытия. Исходя из простых геометрических соображений, можно найти раскрытие трещины в вершине.

.

Образцы для изгиба приняты за стандартные для определения предельных значений COD в лабораторных условиях. При этом по результатам измерения перемещений с помощью датчиков раскрытия оценивают COD по специальным формулам. При составлении таких формул принимали во внимание также эффект, который вносит упругая деформация как в области маломасштабной текучести, так и в области полномасштабной текучести.

Решение при помощи МКЭ Точное определение COD при помощи МКЭ оказывается затруднительным. COD представляет собой раскрытие трещины в вершине. Для его точного определения необходимо использовать решение, учитывающее большие деформации. В обычных программах МКЭ полагают, что деформации являются малыми. При этом считают, что узлы в вершине трещины фиксированы. Поэтому в месте расположения таких узлов раскрытие трещины оказывается равным нулю. Чтобы по результатам такого решения оценить COD, приходится использовать различные приемы.

Экстраполяция. Предположим, что можно исключить из рассмотрения один-два узла, которые располагаются в окрестности вершины трещины. При этом перемещения других узлов, расположенных на трещине, укладываются почти на одну прямую линию. Если для такой линии выполнить экстраполяцию до вершины трещины, то можно получить соответствующую оценку для COD (рис. 80).

Рис. 80. Раскрытие трещины в вершине при трехточечном изгибе при полной текучести

Такой подход оказывается возможным для образцов, величина COD которых может быть выражена при помощи центра поворота. Это обычно образцы для испытаний на трехточечный изгиб, компактные образцы, а также образцы с одним краевым надрезом. При дальнейшей экстраполяции прямая линия пересечется с осью, содержащей трещину. Можно считать, что точка пересечения является центром поворота.

На рис. 80 показаны перемещения поверхности трещины у образца на трехточечный изгиб. По оси абсцисс отложен параметр (l-x)/l. Нулевое значение этого параметра соответствует поверхности образца, а единичное — вершине трещины. Из рисунка видно, что если исключить два узла, считая от вершины трещины, то раскрытия трещины будут укладываться почти на прямые линии. Если для этих прямых провести экстраполяцию, показанную штриховыми линиями, то при (l-x)/l=1 можно определить соответствующие значения COD. Продолжение этих линий до пересечения с осью абсцисс позволит найти коэффициенты поворота. Полученные таким образом коэффициенты поворота r в диапазоне маломасштабной текучести принимают малые значения, а с ростом деформации коэффициент поворота становится почти постоянным и равен 0.3.

Использование специальных элементов. В окрестности вершины трещины могут быть использованы показанные на рис. 81 секторные элементы. Функцию перемещения для этих элементов можно записать в виде.

.

.

Рис. 81. Секторные элементы

Когда узлы i и 1 в вершине трещины совпадают, деформация внутри элемента имеет особенность вида 1/r. С развитием деформации складывается такая ситуация, при которой перемещение узла i отличается от перемещения узла 1. Ранее совпадавшие узлы расходятся. Тогда перемещение в вершине трещины можно представить как функцию параметра .

J-интеграл Определение J-интеграла Понятие J-интеграла было введено с целью исследования свойств концентрации деформаций, которые происходят в окрестности вершины трещины в материале, поведение которого носит нелинейный характер.

Рассмотрим однородное тело, которое может обладать линейным и нелинейным поведением, и не имеет массовых сил (рис. 82).

Рис. 82. Щелевой надрез и произвольный контур, охватывающий его вершину

Положим, что в таком теле имеется двумерное деформационное поле, все компоненты напряжений которого определяются только двумя декартовыми координатами x=x1 и y=x2. Это может быть плоская деформация, плоское напряженное состояние. Рассматриваемое тело имеет надрез, который состоит из свободных поверхностей, параллельных оси х, и дуги Гt. Прямую трещину можно отнести к предельному случаю, при котором радиус кривизны дуги обращается в нуль. Для этого тела плотность энергии деформации можно определить как.

.

Тогда J-интеграл можно определить в виде.

.

где Г — контур, окружающий вершину разреза. Интегрирование начинается с нижней поверхности надреза вдоль контура Г против часовой стрелки и заканчивается на верхней поверхности надреза. Здесь Т — поверхностный вектор силы, и — вектор перемещения на контуре Г, а ds — малый его элемент.

Доказано, что для произвольной замкнутой кривой Г* справедливо.

.

Рассмотрим два контура Г1 и Г2 (рис. 83).

Рис. 83. Два контура интегрирования, охватывающие вершину надреза

Начнем перемещаться вдоль контура Г1 от нижней поверхности надреза против часовой стрелки к верхней поверхности. Затем перейдем ко второму контуру Г2 и от верхней поверхности надреза переместимся к нижней поверхности, двигаясь по часовой стрелке. По нижней поверхности надреза вернемся в начальную точку контура Г1, пройдя замкнутый путь. Поскольку в рассматриваемом случае образуется один замкнутый контур, интеграл по этому контуру обращается в нуль. На участках, которые расположены на поверхностях надреза и являются параллельными оси х, Т=0 и dy=0. На основании этого можно записать.

.

Это означает, что сумма интегралов: интеграла по контуру Г1 (интегрирование против часовой стрелки) и интеграла по контуру Г2 (интегрирование по часовой стрелке) равна нулю. Если провести интегрирование по контурам Г1 и Г2, обходя контуры против часовой стрелки, то значения интегралов, соответствующих этим контурам, будут равны. Следовательно, можно считать, что J-интеграл не зависит от пути интегрирования.

Энергетическая трактовка J-интеграла Два частных случая. Для двух приведенных на рис. 84 конфигураций можно весьма просто найти J-интеграл.

Рис. 84. Бесконечные полосы с полубесконечными надрезами

Такие конфигурации не особо важны в реальных задачах. Однако ими удобно пользоваться для объяснения зависимости, связывающей J-интеграл с интенсивностью изменения потенциальной энергии. На рис. 84 (а) показана полубесконечная полоса шириной h с разрезом, параллельным оси x. На верхнюю и нижнюю поверхности полосы действуют внешние силы таким образом, что вектор перемещений u является постоянным (поворот отсутствует). Остановимся на рассмотрении показанного штриховой линией контура Г. Положим, что в направлении оси х этот контур распространяется до бесконечности. Для частей контура, расположенных на верхней и нижней поверхностях, можно считать, что dy=0 и u/x=0. Поэтому вклад этих частей в J-интеграл оказывается нулевым. Помимо этого следует иметь в виду, что W=0 и u/x=0 при х= -. Поэтому вклад в J-интеграл на таком участке также отсутствует. Следовательно, можно считать, что значение J-интеграла определяется вкладом, который имеет место при х= +. Если принять во внимание, что на этом участке u/x=0, то.

.

где W — постоянная плотность энергии деформации при х= + .

На рис. 84, б представлен случай, при котором рассматривается такая же конфигурация, но с другими внешними нагрузками. При х= - действуют моменты М, отнесенные к единице толщины. Таким образом, можно считать, что при х= - возникает чистый изгиб. При этом все компоненты напряжений за исключением х, можно положить равными нулю. Рассмотрим показанный штриховой линией контур Г. Ввиду того, что при х= + параметры W и Т обращаются в нуль, вклад в J-интеграл отсутствует. Как и в предыдущем примере, на верхней и нижней поверхностях надреза dy и Т равны нулю и вклада в J-интеграл нет. Следовательно, в рассматриваемом случае величина J может быть получена при х= - в результате интегрирования в направлении высоты балочного участка. На этом участке dy= - ds, Ty = 0 и Tx = -x. Если учесть этот вклад для верхней и нижней балок, то можно установить следующее.

.

Величина характеризует плотность дополнительной энергии. Таким образом, при чистом изгибе, когда на единицу толщины действует момент М, величину J можно записать в виде.

.

где b (М) — дополнительная энергия, отнесенная к единицам длины и толщины балок.

J-интеграл при маломасштабной текучести. Положим, что в теле имеется узкий надрез или трещина, которая представляет собой предельный случай надреза. Под действием внешних сил в окрестности вершины надреза возникает маломасштабная текучесть (рис. 85).

Рис. 85. (а) маломасштабная текучесть у вершины трещины или надреза в упругопластическом теле; (б) асимптотическая аппроксимация при замене конечного тела на бесконечное с полубесконечным надрезом

Под действием симметричной нагрузки, приложенной к участку, где расположена трещина или надрез, в материале возникают деформации, которые носят плоский характер. Остановимся сначала на решении задачи линейной упругости в предположении, что надрез представляет собой острую трещину (или разрез). Воспользуемся полярными координатами r и, начало которых находится в вершине трещины. Напряжение, действующее в вершине трещины, можно представить так.

+ (слагаемые, не имеющие отношения к трещине).

Положим, что в рассматриваемом материале могут возникать упругопластические деформации. При действии достаточно малых внешних сил у вершины трещины возникает пластическая область, которая достаточно мала по сравнению с длиной разреза и другими размерами образца. Таким образом, остановимся на случае маломасштабной текучести (рис. 85, а). Можно предположить, что особенность напряжений вида r-½ является определяющей с внешней стороны пластической области и располагается на некотором удалении от вершины надреза, причем на таком участке, который достаточно близок к вершине сравнительно с длиной разреза. Рисунок 85, а соответствует конфигурации, с которой приходится иметь дело в действительности. Такую конфигурацию можно заменить более простой (рис. 85, б), представляющей собой бесконечное тело, имеющее разрез полубесконечной длины. В таком случае вместо граничных условий, характеризующих рис. 85, а, используют асимптотическое граничное условие.

.

Полученное решение оказывается справедливым с математической точки зрения только при очень низких внешних силах. Если провести сопоставление с полным решением, при котором учитывается пластичность, то можно, однако, установить, что решение, основанное на использовании изложенного выше подхода, оказывается приемлемым до нагрузок, составляющих значительную часть (примерно половину в обычных условиях) нагрузки, при которой возникает полная текучесть. Воспользуемся таким подходом и проведем оценку J-интеграла. С этой целью для случая рис. 85, б примем, что контур Г представляет собой большую окружность радиуса r. Тогда можно записать следующее:

.

Согласно инвариантности, можно считать, что при любом радиусе r величина J не изменяется. Это позволяет считать, что возможен предельный переход при r. Зависимость W от деформации является зависимостью второго порядка. В таком случае члены в.

+ (слагаемые, не имеющие отношения к трещине),.

имеющие особенность r-½, в основном и определяют величину J. Вклад, который вносят другие члены, можно при переходе к пределу не принимать во внимание. Если выполнить операцию интегрирования предпоследнего уравнения, полагая, что существует поле плоской деформации, то для маломасштабной текучести можно установить следующее соотношение:

.

Для бесконечной пластины, имеющей разрез длиной 2l, в которой на значительном удалении от разреза действуют равномерно распределенные растягивающие напряжения, можно установить, что KI = (l)-½. Следовательно, в случае маломасштабной текучести.

.

Для плоского напряженного состояния вместо (1−2) следует подставить единицу. Аналогично можно поступить и при нагрузке общего вида. Можно воспользоваться коэффициентами KI, KII, KIII, которые представляют соответственно отрыв, поперечный и продольный сдвиг. Если существует поле, в котором сосуществуют эти три параметра, то при маломасштабной текучести получим.

.

Таким образом, J-интеграл эквивалентен интенсивности освобождения упругой энергии G в области маломасштабной текучести.

Связь J-интеграла с интенсивностью освобождения упругой энергии. Рассмотрим двумерное упругое тело с надрезом (рис. 86).

Рис. 86. Контур интегрирования, охватывающий вершину надреза

Это тело занимает область D, имеющую границу С. Приходящаяся на единицу толщины потенциальная энергия.

.

где СТ — часть границы С, на которой задана поверхностная сила Т. Положим, что происходит переход от одного состояния к другому, который сопровождается увеличением надреза на величину l. При этом конфигурация контура Гt у вершины надреза остается прежней. В результате изменения длины надреза на l происходит изменение потенциальной энергии. После проведения всех выкладок оказывается, что J = - П/l.

Таким образом, J-интеграл может быть представлен через интенсивность освобождения упругой потенциальной энергии при изменении длины надреза. Можно считать, что J-интеграл, с одной стороны, имеет смысл интенсивности освобождения упругой энергии, а с другой — представляет собой параметр, который характеризует местное поле деформаций, возникающее в окрестности вершины разреза.

Применение J-интеграла Определение концентрации деформации у вершины трещины. Понятие J-интеграла впервые было введено Райсом и Черепановым с целью исследования свойств концентрации деформаций, которые происходят в окрестности вершины трещины в материале, поведение которого носит нелинейный характер. Примерно одновременно были опубликованы работы Хатчинсона, а также Райса и Розенгрена, в которых были рассмотрены особенности деформаций у вершин трещин, возникающих в материалах, следующих деформационной теории пластичности. Полученное решение назвали ХРР-решением, используя начальные буквы фамилий указанных авторов. Основные результаты здесь заключаются в следующем.

Связь между напряжениями и деформациями может быть представлена степенным законом упрочнения в следующем виде.

.

где П — пластическая составляющая деформации; Т — предел текучести при растяжении; Т = Т /E; и n — постоянные материала. В случае ХРР-решения считают, что для указанного выше уравнения связи в окрестности вершины трещины имеет место асимптотическое решение и что напряжение, деформация и энергия деформации имеют особенности вида r-1/(n+1), r—n/(n+1), r-1 соответственно. При этом имеет место зависимость J=IKK, где I — безразмерный коэффициент; K — пластический коэффициент интенсивности напряжений; K — коэффициент интенсивности деформаций. При n = 1.

.

имеет место линейно-упругое состояние.

Критерий разрушения Jc. Для использования J-интеграла как параметра, описывающего условия разрушения пластического тела, теоретических обоснований недостаточно. Тем не менее, эксперименты и численные расчеты показывают, что J-интеграл может быть использован в такой роли при проектировании с учетом того, что разрушение не должно произойти.

Положим, что существуют две трещины: одна в компактном образце, предназначенном для проведения испытаний в лабораторных условиях, а вторая — в крупном элементе реальной конструкции. И образец, и элемент изготовлены из одного и того же материала, обладающего высокой пластичностью. Полученные расчетным путем значения J-интеграла в случае их равенства некоторому постоянному значению JIc свидетельствуют о том, что начинается рост трещины. Следует иметь в виду, что при высокой пластичности материала, прежде чем будет достигнуто значение JIc, в компактном образце возникнет значительная пластическая деформация и уменьшится стеснение деформаций. При этом может случиться, что даже после достижения значения JIc будет происходить устойчивое распространение трещины. В крупном элементе конструкции при достижении значения JIc еще будет маломасштабная текучесть, а за пределами этого значения произойдет неустойчивое разрушение.

Результаты экспериментальных исследований, полученные для различных материалов, показывают, что существует предельное значение J, соответствующее возникновению разрушения и не зависящее от конфигурации образца. Средние значения для наиболее распространенных легированных сталей составляют 170…190 кДж/м2.

Итак, измерения COD и JIc являются попыткой охарактеризовать вязкое разрушение однозначным параметром, который может быть связан с критической величиной высвобождения энергии при разрушении массивного образца перед наступлением общей текучести. Критерий раскрытия трещины сосредоточивает внимание на области вершины трещины, и его можно прямо связать с микромеханизмами разрушения на площади около 0.01 мм2; J-интеграл связан с макроскопической работой или условиями у вершины трещины в зависимости от выбранного Г-контура. Основным недостатком, как и в случае с КIc, является то, что критическая величина параметра JIc не имеет физического обоснования.

Оценка J-интеграла.