Решение уравнений.
Решение уравнений

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Так как точка лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости и пересекается с ней в точке, то для нахождения расстояния от точки до плоскости достаточно найти расстояние между точками и: Где, , — координаты точки, через которую проходит прямая;, , — координаты направляющего вектора этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости, имеет вид: Вычислим площадь… Читать ещё >

Решение уравнений. Решение уравнений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Задача 1.

1) решить уравнение по формулам Крамера;
2) решить уравнение с помощью обратной матрицы;

3) решить уравнение методом Гаусса:

Решение:

1) решить уравнение по формулам Крамера:
1. Подсчитаем сначала главный определитель системы.

уравнение матрица вектор орт Так как, то делаем вывод, что система имеет единственное решение.

2. Теперь вычислим вспомогательные определители:

3. Используя формулы Крамера, находим неизвестные, и :

Ответ:, , .

2) решить уравнение с помощью обратной матрицы:
1. Обозначим через — матрицу коэффициентов при неизвестных, — матрицу-столбец неизвестных, — матрицу-столбец свободных членов:

Тогда система линейных уравнений в матричном виде запишется:

Если матрица невырожденная, то она имеет обратную матрицу .Для нахождения решения системы уравнений нам надо найти обратную матрицу для. Вычислим определитель и алгебраические дополнения элементов матрицы .

Главный определитель:

Так как, то матрица — невырожденная и имеет обратную матрицу .

2. Теперь определяем и обратную матрицу .

Найдем (в матрице вычеркиваем 1 строку и 1 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 1 строку и 2 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 1 строку и 3 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 2 строку и 1 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 2 строку и 2 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 2 строку и 3 столбец):

Найдем (вматрице вычеркиваем 3 строку и 1 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 3 строку и 2 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 3 строку и 3 столбец):

3. Найдем обратную матрицу:

По формуле находим решение данной системы в матричной форме:

4. Ответ:, , .
3) решить уравнение методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу системы, выделив в ней основную с помощью тождественных преобразований, найдем ранг этих матриц:

от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 5; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 3.

2-ую строку делим на -9.

от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2; к 3 строке добавляем 2 строку, умноженную на 7.

3-ую строку делим на 3.

от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 2.

, .

Ответ:, , .

Задача 2.

Даны координаты вершин треугольника ABC: А (-10; 5), В (2; -4), С (0; 10). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол B в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой CD — диаметр; 6) уравнение медианы АF и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 7) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 8) координаты точки М, расположенной симметрично точке, А относительно прямой CD.

Решение:

1) длину стороны АВ
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты

Прямая AB:

Угловой коэффициент.

Прямая BC:

Угловой коэффициент.

3) угол B в радианах с точностью до двух знаков.

Найдем тангенс угла Bмежду прямыми и по формуле:

4) уравнение высоты CD и ее длину.

Т.к. CDперпендикулярнаAB, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е. связаны формулой ,.

тогда.

Уравнение прямой CD, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент можно записать в виде:

Если задано уравнение прямой AB:, то расстояние CD от точки до прямой AB можно найти, используя следующую формулу:

5) уравнение окружности, для которой CD — диаметр Найдем координаты точки D — это пересечение прямыхCD и AB:

т. е.

Найдем координаты середины отрезка CD, который является центром окружности:

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом r (:

6) уравнение медианы АF и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD.

Медиана AF проходит через точкуА (-10; 5) и середину F отрезка ВС.

Уравнение прямойAF:

ПрямаяAF пересекается с CD в точке :

7) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ Т.к. прямаяPK параллельна AB, то их угловые коэффициенты равны:

Уравнение прямой KP, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент можно записать в виде:

8) координаты точки M, расположенной симметрично точке, А относительно прямой CD.

Точка симметрична точке относительно прямой. Поскольку прямая перпендикулярна прямой, а точка — точка пересечения этих прямых, то, следовательно, точки и принадлежат прямой и — есть середина отрезка .

Ответ:

1) длина стороны АВ=15;
2) уравнения стороны АВ:

угловой коэффициент.

уравнения стороны ВС:

угловой коэффициент.

3).

4) уравнение высоты CD, ее длина — 10
5) уравнение окружности, для которой CD — диаметр

6) уравнение медианы АF и координаты точки Kпересечения этой медианы с высотой CD:

7) уравнение прямой KP, проходящей через точку К параллельно стороне АВ.

8) координаты точки М, расположенной симметрично точке, А относительно прямой CD ,.

Задача 3.

Привести уравнение к каноническому виду, построить кривую.

Решение:

В уравнении кривой коэффициент при слагаемыхx²и xy равен нулю, значит данное уравнение описывает параболу ,.

Приведем исходное уравнение к видууравнения параболы:

ветви параболы направлены влево, вершина расположена в точке (x₀, y₀), т. е. в точке (2;0).

параметр ,.

Координаты фокуса:

Уравнение директрисы:

Задача 4.

Привести уравнение к каноническому виду, построить кривую.

Решение Приведем данное уравнение к простейшему виду:

Это есть каноническое уравнение гиперболы с центром в точке, оси гиперболы будут:

где и — действительная и мнимая полуось гиперболы.

В общем виде, т. е. в системе координат, смещенной на вектор (-2;-2).

— эксцентриситет гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы:

Задача 5.

даны координаты вершин пирамиды :

Требуется:

1) записать векторы в системе орт и найти их длины;

2) найти угол между векторами ;
3) найти проекцию вектора на вектор
4) найти площадь грани ;
5) найти объем пирамиды .

Решение:

1) записать векторы в системе орт и найти их длины;

Найдем координаты векторов, отняв из координат концов векторов одноименные координаты начала.

Запишем полученные векторы в виде линейной комбинации векторов.

По формуле найдем длины векторов:

2) найти угол между векторами ;

Определим косинус угла между двумя векторами:

3) найти проекцию вектора на вектор

Найдем проекцию вектора на вектор, как скалярное произведение этих векторов, деленное на длину вектора .

4) найти площадь грани ;

Вычислим площадь треугольника. Она будет равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и, т. е. половине модуля векторного произведения этих векторов.

5) найти объем пирамиды .

Объём пирамиды равен.

т. е.

Задача 6.

Найти:

1) уравнение плоскости Q, проходящей через точки A, B и C;
2) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М, перпендикулярно плоскости Q;
3) точки пересечения прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, xOz, yOz;
4) расстояние от точки М до плоскости Q.

Решение:

1) уравнение плоскости Q, проходящей через точки A, B и C;

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, ,, имеет вид:

Подставим координаты точек, ,. В результате получим.

2) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М, перпендикулярно плоскости Q;

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:

где, , — координаты точки, через которую проходит прямая;, , — координаты направляющего вектора этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости, имеет вид: