Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть два фотона 1 и 2 движутся навстречу друг другу со скоростями, равными v₁ = с и v₂ = с (с — скорость света) относительно условно «неподвижной» системы отсчета Земля К (см. рис.). Найдем скорость 1-го фотона в системе отсчета К, связанной со 2-ым фотоном, используя классическую формулу для сложения скоростей:

Таблица 3.

или.	классическая формула сложения скоростей в векторной форме (обозначениясм. ранее — принцип относительности Галилея).
для 1-го фотона в проекциях, v1 -скорость 1-го в К, v1 — скорость 1-го в К, v2 — скорость 2-го, т. е. скорость К в К.
найдем v1, учитывая, что v1 = v2 = с.

Таким образом, скорость одного фотона в системе отсчета, связанной со 2-ым, оказалась равной 2с, но согласно СТО ни одна частица не может двигаться со скоростью, большей скорости света.

При движении тел со скоростями, сопоставимыми со скоростью света в СТО был получена другая формула, которую называют релятивистской формулой сложения скоростей. Запишем формулы для простейшего случая движения систем в одном направлении.

u — скорость тела в неподвижной системе отсчета К.

u — скорость тела в движущейся системе отсчета К.

v — скорость системы К относительно системы К.

(мы заменили буквы по сравнению с предыдущими формулами, чтобы не использовать индексы и еще больше не загромождать формулы) Получим эти формулы.

Введем промежуточную переменную t.

Найдем производную, используя преобразования Лоренца.

Перемножим производные, учитывая, что.

произведя алгебраические действия, найдем из этого уравнения u или u.

Вычислим теперь скорость фотона из предыдущего примера по релятивистской формуле.

v₁ = u₁ = c-скорость 1-го фотона в К, v₁ = u₁ = cскорость 1-го в К, v₂ = v — скорость 2-го фотона, т. е. скорость К в К. Таким образом по релятивистской формуле скорость фотона не превышает скорость света c.

Понятие о релятивистской динамике При использовании преобразований Лоренца основной закон динамики m (dp/dt) = F оказывается инвариантным при условии, что импульс частицы записывается в виде:

— Релятивистский импульс частицы.

— основной закон релятивистской динамики Тогда основной закон релятивистской динамики формально сохраняет такой же вид, как II закон Ньютона, но между ними имеется принципиальное различие. (см. ниже) Величина m называется релятивистской массой, она зависит от скорости тела и не является инвариантом, т. е. имеет различное значение в разных ИСО.

m₀ — масса тела, называемая также массой покоя, является инвариантом и имеет одно и то же значение в любых ИСО.

В классической механике ускорение частицы и сила, вызвавшая это ускорение, всегда направлены одинаково. При скорости движения частицы сопоставимой со скоростью света, т. е. в релятивистском случае, направление ускорения и силы совпадают только в двух случаях: 1) когда сила параллельна скорости в каждый момент времени и 2) когда сила перпендикулярна скорости. В общем случае направления ускорения и силы не совпадают (см. рис).

Взаимосвязь массы и энергии в теории относительности.

Введем новые обозначения для энергии, которые чаще всего используются в СТО.

полная энергия.

кинетическая энергия (будем использовать обозначение Т) Найдем выражение для кинетической энергии в СТО, считая, что приращение кинетической энергии происходит за счет работы некоторой силы. Тело в начальный момент неподвижно и является свободным, т. е. не взаимодействует с другими телами и не обладает, таким образом, потенциальной энергией.

чтобы проинтегрировать и получить, нужно свести к одной переменной m, пока их две, и все равенства — скалярные произведения векторов, вместо переменной р появились переменные.

здесь уже нет векторных произведений т.к., но остались две переменные.

возведем в квадрат, выразим, подставим в и получим.

теперь можно проинтегрировать, т.к. осталась одна переменная m.

или.

интегрируя, получим выражение для кинетической энергии в СТО.

— релятивистская кинетическая энергия.

— энергия покоя.

— полная релятивистская энергия, т. е. энергия движущегося тела Таким образом, из СТО следует, что любое неподвижное тело обладает запасом энергии, равной. Например, в теле массой 1 кг содержится энергия Е₀ = 1910¹⁶ Дж. Этой энергией можно нагреть на 100^оС водоем с размерами 1 км 20 км 20 м. Проблема состоит в том, как выделить эту энергию. Даже при термоядерной реакции освобождается меньше 1% от полной энергии, соответствующей всей массе покоя. В классической механике понятие «энергия покоя» отсутствовало.

— выражение называется закон Эйнштейна взаимосвязи массы и энергии Согласно этому закону, общий запас энергии тела (или системы тел), из каких бы видов энергии он ни состоял (кинетическая, потенциальная, тепловая, электрическая и пр.) связан с массой тела (системы тел) этим соотношением. Иначе говоря, если изменится масса тела, изменится и его энергия, и наоборот.

Пусть кусок железа массой 1 кг нагрели на 1000^оС. Вычислим, насколько должна при этом измениться масса куска.

изменение энергии тела на должно изменить его массу на.

Q — теплота при нагревании, С — удельная теплоемкость нагреваемого вещества.

не существует таких приборов, чтобы при массе 1 кг обнаружить такое маленькое ее изменение Все формулы СТО переходят в классические при v<< c. Например, найдем кинетическую энергию тела при малых скоростях. Приближенное выражение, известное из математики.

при 1.

релятивистское выражение переходит в классическое.

Из СТО следует возможность существования частиц с нулевой массой, но они не могут быть неподвижными, а должны непрерывно двигаться, причем только со скоростью света с — это фотоны и, возможно, нейтрино.

связь энергии и импульса для частиц с нулевой массой (фотонов) m₀=0.

Некоторые формулы из СТО, которые можно вывести из приведенных выше выражений.

— связь кинетической энергии частицы с ее импульсом.

— связь полной энергии частицы с ее импульсом.

— связь полной энергии и энергии покоя с импульсом.