Принятие решений в условиях неполной информации

Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики — процессов управления Кафедра математической теории экономических систем Контрольная работа по теме

" Принятие решений в условиях неполной информации"

Выполнила:

Савельева К.С.

Группа 412

Оценка:

Научный руководитель Суворова М.А.

С-Пб

1. Статистические модели принятия решений

1.1 Модели с известным распределением вероятностей состояния среды

2. Простейшая модель динамического процесса принятия решений

3. Практическая часть Список литературы

Качество процесса принятия решений находится в прямой зависимости от полноты учета всех факторов, существенных для последствий от принятых решений. статистический модель среда вероятность Орган принятия решений часто вынужден действовать в условиях неопределенности, т. е. орган приятия решений обладает меньшим количеством информации, чем это необходимо для целесообразной организации его действий в процессе принятия решений. Частичное либо снятие неопределенности может быть достигнуто за счет имеющейся либо дополнительно получаемой органом принятия решений информации.

Неопределенность в принятии решений обусловлена недостаточной надежностью и количеством информации, на основе которой орган принятия решений осуществляет выбор решения. Существуют различные виды неопределенности. Укажем наиболее часто встречающиеся виды неопределенности: 1) принципиальная неопределенность, например, в известных ситуациях квантовой механики; 2) неопределенность, вызванная недостатком информации и ее достоверности в силу технических, социальных и иных причин; 3) неопределенность, порожденная слишком высокой или недоступной платой за определенность; 4) неопределенность, порожденная органом принятия решений в силу недостатка его опыта и знаний факторов, влияющих на принятие решений; 5) неопределенность, связанная с ограничениями в ситуации принятия решений (ограничения по времени и элементам пространства параметров, характеризующих факторы принятия решений); 6) неопределенность, вызванная поведением среды или противника, влияющего на процесс принятия решения.

Таким образом, в процессах принятия решений имеется ряд ситуаций, обладающих той или иной степенью неопределенности и требующих для своего описания с целью получения решения такого математического аппарата, который бы априорно включал в себя возможность появления неопределенности.

Исторически первым таким аппаратом был аппарат теории вероятностей, в соответствии с которым неопределенность ситуации описывается некоторой нормированной мерой, характеризующей возможность появления наперед заданных случайных исходов (элементов или подмножеств некоторого множества).

К естественному продолжению вероятностных методов описания ситуаций с неполной информацией можно отнести теорию игр, в которой неопределенность порождалась конфликтом и антагонистическими интересами игроков, связанных между собой определенными правилами веления игры, и теорию статистических решений, в которой в качестве одного из игроков выбиралась пассивная среда или «природа», поведение которой характеризовалось заданными законами распределения вероятностей.

Другой класс неопределенных ситуаций охватывается аппаратом, базирующимся на понятии размытого множества, введенного Заде. Этот аппарат является адекватным для описания таких ситуаций, которые не имеют строго определенных границ.

Близким к подходу Заде является подход Ватанабе, который на базе обобщенной характеристической функции строит основы логики, описывающей некоторый класс неопределенных ситуаций.

1. Статистические модели принятия решений

Статистическая модель принятия решений, порожденная теоретико-игровой концепцией, является широко известной и распространенной моделью принятия решений во многих реальных ситуациях разового выбора вариантов, планов, кортежей, действий, альтернатив, стратегий и т. д., связанных с неопределенным влиянием среды на ситуацию их выбора, производимого органом принятия решений.

Определим основные элементы статистических моделей процессов принятия решений.

Под ситуацией принятия решений будем понимать тройку {Ф, И, F}, где Ф = {ц₁,…, ц_т}- множество решений органа управления У, И = {и₁,…, и_п} - множество состояний среды С, которая может находиться в одном из состояний и_i? И, F = { f_jk } - оценочный функционал (матрица оценочного функционала), определенный на ИхФ и принимающий значения из R¹, при этом f_{jk =} f (и_i, ц_k). В развернутой форме ситуация принятия решений характеризуется матрицей, элементами f_jk которой являются количественные оценки принятого решения ц_k? Ф при условии, что среда С находится в состоянии и_i? И.

С категорией оценочного функционала тесно связаны такие известные понятия, как эффективность, полезность, потери, риск и т. д. Выбор той или иной формы, выражения оценочного функционала зависит от цели и задач управления объектом О, наличия методик получения и расчета эффективности задач, решаемых объектом управления О и органом управления У, времени процесса подготовки и принятия решений и т. д. Будем использовать две формы выражения оценочного функционала F, определяющие полезность, ценность и т. п. или потери, убытки, риски и т. д.

Будем говорить, что оценочный функционал F имеет положительный ингредиент, если орган управления У при принятии решения исходит из условия достижения. В этом случае положительный ингредиент будем обозначать F = F⁺ = { f_jk }. Для отрицательного ингредиента F орган управления У при принятии решения исходит из условия достижения. В этом случае F = F^— = { f_jk }.

Определение оценочного функционала в форме F⁺, как правило, используется для выражения категорий полезности, выигрыша, эффективности, вероятностей достижения целевых событий и т. д., в противоположность этому F^— применяется для выражения потерь, проигрыша, сожалений, ущерба, риска и т. д. Под информационной ситуацией I будем понимать определенную степень градации неопределенности выбора средой С своих состояний из заданного множества И, которой располагает орган управления управления У в момент принятия решения.

Определим классификатор информационных ситуаций, характеризующих «поведение» среды С в процессе принятия решения при выборе своих состояний и_i И. Пусть I₁ — первая информационная ситуация, характеризующаяся заданным распределением априорных вероятностей на элементах множества И; I₂ — вторая информационная ситуация, характеризующаяся заданным распределением вероятностей с неизвестными параметрами; I₃ — третья информационная ситуация, характеризующаяся заданными системами линейных отношений порядков на компонентах априорного распределения состояний среды С; I₄ — четвертая информационная ситуация, характеризующаяся неизвестным распределением вероятностей на элементах множества И; I₅ — пятая информационная ситуация, характеризующаяся нечетким множеством состояний среды С; I₆ — шестая информационная ситуация, характеризующаяся антагонистическими интересами среды С в процессе принятия решений.

Под критерием принятия решения к? К будем понимать алгоритм, который определяет для каждой ситуации принятия решений {Ф, И, F} и информационной ситуации I единственное оптимальное решение ц₀? Ф либо множество таких решений Ф? Ф, которые будем называть эквивалентными по данному критерию принятия решения.

Иными словами, критерий принятия решений можно рассматривать как операцию предпочтения на множестве решений Ф с учетом элемента неопределенности возможных состояний и_i? И среды С, упорядочивающую совокупность решений Ф в транзитивную последовательность в порядке предпочтительности.

Информационная ситуация I характеризуется совокупностью критериев принятия решений К_Ii ={к_si} (i = 1,…, 6).

Например, для первой информационной ситуации составными критериями являются критерии: Байеса, максимальной вероятности, модальный, минимальной дисперсии и т. д.

При заданной ситуации принятия решений {Ф, И, F} проблема принятия решения состоит в том, что орган принятия решения У должен выбрать одно решение, оптимальное по выбранному органом управления критерию принятия решения. Проблема принятия аксиоматических решений характеризуется в основном тремя факторами: {I, К_I, А}, где I — информационная ситуация; К_I — множество критериев принятия решений, соответствующих информационной ситуации I; А — система аксиом анализа критериев принятия решений.

Под аксиоматическим подходом при анализе критериев принятия решения понимается метод выделения наиболее приемлемых аксиом (постулатов), которые позволяют органу управления У исследовать проблемы принятия решений при неопределенности в смысле поиска подходящего критерия принятия решения.

1.1 Модели с известным распределением вероятностей состояния среды

Рассмотрим модели с известным распределением вероятностей состояния среды. Пусть информационная ситуация I ₁ характеризует случай, когда орган принятия решения У располагает знанием априорного распределения вероятностей р = (р₁,…, р_n), р_j = P{и = и_j }, У р_j = 1 на элементах и_i? И состояний среды С. Эта ситуация является самой распространенной информационной ситуацией, идентифицирующей «поведение» среды С в большинстве практических задач принятия решений в условиях «риска». Ее введение в процессы принятия решений позволили эффективно использоватьконструктивные методы теории вероятностей в разработке целого научного направления — теории статистических решений.

В практических задачах расчет априорного распределения р состояний среды С, как правило, осуществляется либо путем обработки обширного статистического материала, либо аналитическими методами, основанными на формулировке гипотез поведения среды с последующим использованием основных аксиом, теорем и методов теории вероятностей.

Как один, так и второй изложенные выше пути являются приближенными, поскольку на практике в связи с рядом ограничений (по стоимости, затратам, времени и пространству) возникают трудности получения и обработки статистического материала, кроме того, формулируемой системе гипотез поведения среды присуща соответствующая неполнота, а при использовании «рабочих» гипотез приходится делать соответствующие допущения (например, о независимости событий) в ущерб физики процесса с целью осуществления расчета р. Это априорное распределение принято называть объективной вероятностью.

Однако, в ряде статистических процессов принятия решений ввиду сложности «поведения» среды С, отсутствия сбора и обработки статистического материала, использования аналитических методов и т. д., орган принятия решений У, опираясь на свой опыт либо на мнение группы экспертов, при расчете р предпочитает использовать понятие вероятности, развитое на основе представления о степени уверенности относительно данного фактора, признака, симптома, характеризующего свойства «поведения» среды. Такое определение априорного распределения р получило название субъективной вероятности.

Существует несколько критериев принятия решений в информационной ситуации I₁, которые характеризуются заданием распределения вероятностей р_j = P{и = и_j }, У р_j = 1 состояний и_i? И среды С.

Пусть задана ситуация принятия решения {Ф, И, Р}, в которой оценочный функционал F = { f_jk } принадлежит к классу F^— либо F⁺, множества Ф и И заданы в виде Ф ={ц₁,…, ц_т}, И = {и₁,…, и_п}.

Критерий Байеса. Сущность этого критерия заключается в максимизации математического ожидания оценочного функционала. Согласно критерию Байеса оптимальными решениями ц_ko? Ф (или множеством таких оптимальных решений) считают такие решения, для которых математическое ожидание оценочного функционала достигает наибольшего возможного значения:

В⁺(р, ц_ko) = тах В⁺(р, ц_k) = тах [У р_j f_jk⁺] ⁼ У р_j f_jko⁺

ц_kєФ Если максимум достигается на нескольких решениях из Ф, множество которых обозначим через Ф, то такие решения будем называть эквивалентными.

Величина В⁺(р, ц_k) = У р_j f_jk⁺ называется байесовым значением оценочного функционала для решения ц_k? Ф. Критерий Байеса — наиболее распространенный критерий в информационной ситуации I_1. Он дает возможность в данной информационной ситуации исследовать проблему синтеза для определения оптимального решения по распределениям вероятностей р = (р₁,…, р_п) на множестве состояний среды С.

Если оценочный функционал задан в форме Р, то вместо операции mах математического ожидания используется min. Если оценочный функционал задан в сожалениях или рисках, то соответствующую величину В^--(р, ц_k) принято называть байесовым риском для решения ц_k? Ф.

Также существуют следующие критерии: критерий максимизации вероятности распределения оценочного функционала, критерий минимума дисперсии оценочного функционала, модальный критерий, критерий минимума энтропии математического ожидания оценочного функционала.

2. Простейшая модель динамического процесса принятия решений

Рассмотрим динамический N-шаговый процесс функционирования управляемого объекта О и органа управления У среды С. Будем предполагать, что на каждом этапе l (1 < l < N) органу управления У известно следующее:

1. Множество А^l={а^l₁,…, а^l_ml} возможных состояний объекта О, в одно из которых может переходить объект из любого состояния на предыдущем (l — 1)-м этапе.

2. Множество Ф^l={ц^l₁,…, ц^l_тl} решений, которые может принять орган управления У, где под ц^l_к понимается решение органа управления на l-м этапе о переводе объекта О в состояние а^l_к, причем на 1-м этапе орган управления У может принять только одно решение из множества Ф^l .

3. Множество И^l = {и^l₁,…, и^l_п} возможных состояний среды С на l-м этапе.

4. Априорное распределение р^l ={ р^l₁,…, р^l_п } вероятностей состояний среды С на множестве И^l, т. е. р^l_j = Р {и^l = и^l_j }.

5. Матрицы F (а^l-1) = {f ^l_jk (а^l-1)}^nl,ml_j,k=1 значений оценочного функционала F для всех возможных состояний а^l-1? А^l-1 (при этом будем предполагать, что F = F^—, т. е. значения оценочного функционала имеют отрицательный ингредиент).

6. Условное распределение вероятностей g^l_i (а^l-1, ц^l_k) = Р а^l-1 -> а^l-1 перехода объекта О в состояние а^l_i? А^l из состояния а^l-1? А^l-1, если принято решение ц^l_к? Ф^l.

7. Характеристики источников J^O и J^C информации по объекту О и среде С.

Для органа управления У цель динамического процесса принятия решений состоит в переводе управляемого объекта О из данного начального состояния а⁰ в заданное множество А^N конечных состояний {а ^N } посредством выбора органом управления У последовательности «оптимальных» решений ц¹,…, ц^N (ц^l? Ф^l при l = 1,2,…, N) на основе исходных данных, задаваемых в модели, и показаний источников J^O и J^C информации по объекту О и среде С в соответствии с критерием принятия решений.

Частным случаем динамического процесса принятия решений является однородный процесс, в котором на каждом этапе N-шагового процесса заданы одно и то же множество состояний объекта О, множество решений органа управления У и множество состояний среды С соответственно, т. е.

А = { а₁,…, а_т }, Ф^l={ц₁,…, ц_т}, И = { и₁,…, и_п }.

При этом матрицы F (а) = { f _jk (а)}^n,m_j,k=1 значений оценочного функционала, выраженные в отрицательном ингредиенте F = F^—, априорное распределение р = { р₁,…, р_п } вероятностей состояний среды С и распределение g_i (а_?, ц_k) = Р ц^l = ц^l_k вероятностей условного перехода не зависят от момента этапа.

В рассматриваемой модели динамического процесса принятия решений роль источников J^O и J^C информации по объекту О и среде С состоит в определении на каждом из этапов l = 1,2,…, N состояний управляемого объекта О (в которые он перешел после получения и исполнения принятого органом управления У решения ц^l-1? Ф^l-1), а также в определении информационной ситуации состояний среды С.

3. Практическая часть

Условие задачи: Фирма SORY производит комплекты электромеханического оборудования. Стоимость одного комплекта при продаже составляет 100 тыс. $. Удельные переменные затраты равны 60 тыс. $ за комплект. В случае отказа оборудования при работе фирма проводит гарантийное обслуживание стоимостью 50 тыс. $ за комплект. В начале производства по статистическим данным в среднем происходит 4% отказов. На второй год по полученным данным за предыдущий год делается уточнение статистики отказов — 10% отказов. После проведения гарантийного обслуживания отказов не бывает. Фирма может улучшить процент качественной продукции, модифицировав ее при производстве. Стоимость модификации составляет — 3000 $. При этом число отказов уменьшается в 5 раз. Также SORY имеет дополнительное оборудование двух видов для тестирования продукции как обычной, так и модифицированной. Затраты на тест — 2000 $ в обоих случаях. Однако точность работы первого тестирующего оборудования такова: P (признать бездефектный комплект дефектным) = 0.1 P (увидеть дефект в дефектном комплекте) = 0.8. А точность работы второго тестирующего оборудования такова: P (признать бездефектный комплект дефектным) = 0.2 P (увидеть дефект в дефектном комплекте) = 0.9. Затраты на удаление дефекта составляют — 1000 $ независимо от наличия или отсутствия дефекта в комплекте. После этого отказов не бывает. Принять решение в данных условиях задачи.

Решение:

Рассмотрим двух-шаговый процесс.

На первом шаге нам известны начальные данные опираясь на которые мы можем выбрать решение из множества возможных решений:

1) производить оборудование;

2) модифицировать производство и затем производить оборудование;

3) а) произвести продукцию, а затем протестировать полученные комплекты с помощью первого тестирующего оборудования;

б) модифицировать производство, произвести продукцию, а затем протес тировать полученные комплекты с помощью первого тестирующего оборудования;

4) а) произвести продукцию, а затем протестировать полученные комплекты с помощью второго тестирующего оборудования;

б) модифицировать производство, произвести продукцию, а затем протестировать полученные комплекты с помощью второго тестирующего оборудования;

Используя в качестве оценочного функционала F = { f_i }= У p_{i *} d_i математическое ожидание дохода при каждом возможно принятом решении, т. е в данном случае функционал имеет положительный ингредиент. Принятие решения исходит из условия достижения max F. На втором шаге принимаем решение из того же множества возможных решений, но используя уже новую статистику отказов.

(реализация в экселе)

Тест 1:

Аналогично рассчитываем вероятности и при уже произведенной модификации производства:

Теперь тот же самый расчет вероятностей для второго тестирующего оборудования:

Тест 2:

После всех произведенных расчетов max F = max { 38; 36; 37,472; 34,686; 37,572; 34,686 } = 38. Тогда на первом этапе мы принимаем решение о простом производстве продукции. Далее учитывая новые данные переходим ко второму этапу:

Тест 1:

Тест 2:

После всех произведенных расчетов max F = max { 35; 36; 36,83; 34,686; 37,23; 34,686 } = 37,23

Тогда на второй год мы принимаем решение о производстве продукцию и тестирование полученных комплектов с помощью второго тестирующего оборудования.

Таким образом в нашем однородном процессе, в котором на каждом этапе 2-шагового процесса задано одно и тоже множество возможных решений на 1-ом этапе фирме лучше принять первое решение о простом производстве продукции, а на втором этапе выбрать решение 4) а) или если пронумеровываем их по порядку, то 5-ое о производстве продукцию и тестирование полученных комплектов с помощью второго тестирующего оборудования.

1. В. В. Колбин, Суворова М. А. — Принятие решений в условиях неполной информации.