Вычисление кривизны. 
Кривизна плоской кривой

Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M (x, y). При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y=f (x) и что функция имеет непрерывную вторую производную.

Проведём касательные к кривой в точках M и M1 с абсциссами x и x+?x и обозначим через? и ?+?? углы наклона этих касательных (рис.7).

Длину дуги? M0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначим через s; тогда? s = ?M0M1 — ?M0M, а?? s? = ?MM1. Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге? MM1 равен абсолютной величине разности углов? и ?+??, то есть равен …

Согласно определению средней кривизны кривой на участке? MM1 имеем.

.

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги? MM1 стремится к нулю:

Так как величины? и s зависят от x, то, следовательно,? можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда.

Для вычисления воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически:

.

Чтобы выразить производную через функцию y=f (x), заметим, что и, следовательно.

.

Дифференцируя по x последнее равенство, получаем.

.

И так как.

то.

.

и окончательно, так как, получаем.

.

Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.

Вычисление кривизны линии, заданной параметрически

Пусть кривая задана параметрически: x=?(t), y=?(t). Тогда.

Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем.

.

Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах

Пусть кривая задана уравнением вида? = f (?). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x =? cos ?, y =? sin? .

Если в эти формулы подставить вместо? его выражение через ?, то есть f (?), то получим x = f (?) cos ?, y = f (?) sin ?

Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является ?.

Тогда,.

.

Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах: