Агрегатные индексы. 
Теория статистики

Построение индексов на основе особых приемов обусловлено тем, что весьма часто на практике результаты или итоги отдельных явлений (социальных и экономических) не обладают соизмеримостью. Так, например, крупные холдинги могут одновременно производить продукцию двойного назначения (военную и гражданскую), а также выпускать отдельные группы товаров (в частности, продукцию машиностроения, продовольственную продукцию, бытовую химию и т. п.). Соответственно, если имеются данные об объеме произведенной продукции только в натуральном измерении, то динамику производства всей продукции непосредственно оценить нельзя, поскольку нельзя складывать объемы разнородной продукции.

Для получения общего итога объемы продукции разного вида приводят к единой общей мере. Например, используют стоимостную оценку произведенной продукции. Тогда общий итог выразится как.

где г/, и р, — физический объем и цена г-го вида продукции соответственно; п — количество видов продукции.

Такой переход от одних единиц измерения к другим в теории индексов называется соизмерением, а вводимый в индекс сомножитель — соизмерителем. Соизмерителями могут быть различные качественные показатели, среди которых можно выделить такие, как: затратоотдача производства продукции, трудоемкость производственных процессов, себестоимость единицы продукции или совокупности произведенного объема продукции. Наиболее распространен соизмеритель в виде цены продукции, который используется при определении сводного индекса физического объема продукции.

Делением стоимости произведенной продукции текущего периода на стоимость произведенной продукции в предыдущем или базисном периоде рассчитывается общий индекс стоимости продукции или товарооборота:

Если стоимость продукции в текущем периоде выросла по сравнению с базисным периодом, тогда общий индекс стоимости продукции будет составлять значение больше единицы (1_/щ >1), если сократилась, тогда индекс будет характеризоваться значением меньше единицы (I_pq < 1). Общий индекс стоимости продукции или товарооборота дает информацию об изменении стоимости продукции в текущем периоде, но сравнению с базисным (предыдущим). Если рассчитать разность между числителем и знаменателем общего индекса стоимости продукции (8.1), то можно получить абсолютное изменение стоимости продукции в текущем периоде в сравнении с базисным (предыдущим) периодом:

Индекс стоимости продукции (I_pq) показывает ее изменение в результате совместного влияния двух факторов: цен и объема (количества) выпускаемой на предприятии продукции.

Чтобы оценить влияния на изменение стоимости продукции только одного фактора (цены или физического объема), необходимо устранить (элиминировать) влияние другого фактора (цены или объема). Эта задача решается фиксированием в числителе и знаменателе формулы (8.2) одного из факторов на уровне одного и того же (текущего или базисного) периода.

Если продукция сравниваемых периодов оценивается по одним и тем же ценам, то индекс стоимости продукции преобразуется в агрегатный индекс физического объема (I_q) и отражает влияние на изменение стоимости продукции только одного фактора — физического объема.

Для преобразования индекса стоимости продукции могут быть использованы цены как базисного, так и текущего периода. В первом случае в соответствии с формулой (8.2) получаем следующий агрегатный индекс физического объема:

где в числителе отражена расчетная стоимость продукции текущего периода в ценах базисного периода, а в знаменателе — реальная стоимость продукции базисного периода. Этот индекс называется индексом Ласпейреса (был предложен в 1864 г.).

В случае когда в качестве соизмерителя используются цены текущего периода, агрегатный индекс физического объема выглядит следующим образом:

где в числителе отражена реальная стоимость продукции текущего периода, а в знаменателе — расчетная стоимость продукции базисного периода в ценах текущего периода. Этот индекс называется индексом Пааше (был предложен в 1874 г.).

Последовательность записи символов, обозначающих объем производства продукции (q) и ее стоимость (р), в агрегатных индексах может быть произвольной. Однако общепринято первым сомножителем в индексных отношениях записывать обозначение индексируемой величины, а на втором — обозначение соизмерителя.

Рассчитанные по формулам (8.3) и (8.4) агрегатные индексы физического объема, как правило, отличаются по величине, но всегда отражают одну и ту же тенденцию в изменении объема производимой продукции: рост или сокращение.

Агрегатный индекс физического объема свидетельствует об изменении стоимости продукции при условии постоянства цен. Получаемая разность числителя и знаменателя формул (8.3) и (8.4) показывает абсолютное изменение стоимости продукции за счет изменения ее физического объема, т. е. при условии постоянства цен. Это изменение рассчитывается следующим образом:

Результаты расчетов по этим формулам, как правило, будут отличаться, но всегда будут отражать одну и ту же тенденцию в изменении физического объема продукции.

И в российской, и в мировой практике статистических наблюдений и учета оценка изменений объемов производства проводится преимущественно на основании агрегатного индекса Ласпейреса. Агрегатный индекс физического объема относится к числу индексов количественных показателей.

Типичным индексом качественных показателей является агрегатный индекс цен. Этот индекс получим преобразованием формулы (8.1) следующим образом. В данном случае индексируемой величиной является цена, а соизмерителем — физический объем продукции.

Зафиксировав объем продукции на уровне базисного периода, получим агрегатный индекс цен Ласпейреса:

Зафиксировав объем продукции на уровне текущего периода, получим агрегатный индекс цен Паате:

Оба индекса, не совпадая количественно, всегда показывают одну и ту же тенденцию в изменении цен. Начиная с 1991 г. органы государственной статистики России определяют изменение общего уровня цен на основе индекса Ласпейреса. Именно по этой формуле рассчитывается индекс потребительских цен, являющийся важнейшим показателем инфляции.

Агрегатный индекс цен показывает, как изменились стоимость продукции под влиянием изменения только ее цены, какой была бы эта стоимость в текущем периоде, если бы физический объем производства продукции не менялся.

Разница между числителем и знаменателем формул (8.7) и (8.8) показывает абсолютную величину изменения стоимости продукции за счет роста (или сокращения) уровня цен. Эта разница рассчитывается по формулам Расчет по этим формулам ласт разные количественные результаты, но тенденция с их помощью буден выявлена одна и та же: рост или сокращение стоимости произведенной продукции за счет цен.

«Идеальный» индекс Фишера (физического объема, цен и других экономических показателей), названный по имени американского экономиста, представляет собой среднюю геометрическую из агрегатных индексов Ласпейреса и Пааше. Индекс цен в этом случае выглядит так:

Этот индекс на практике используется довольно редко в силу сложности расчета и трудности интерпретации.

Агрегатные индексы физического объема и цен являются факторными по отношению к индексу стоимости продукции (товарооборота). Эти три индекса образуют индексную систему, и связь между ними выражается следующим равенством:

Равенство (8.10) выполняется при условии, что индекс цен является индексом Пааше, а индекс физического объема — индексом Ласпейреса, или наоборот. Справедливость этого равенства следует из формул (8.1), (8.3) и (8.8). Действительно:

Общий прирост стоимости продукции (товарооборота) складывается из прироста ее за счет изменения цен и за счет изменения физического объема:

Справедливость этого равенства следует из формул (8.2), (8.5) и (8.9). Действительно:

С помощью соотношений (8.10) и (8.11) можно количественно оценить влияние каждого из факторов (цены и физического объема) на изменение стоимости продукции.

Доля прироста (уменьшения) стоимости произведенной продукции за счет изменения физического объема определяется так:

Доля прироста (уменьшения) стоимости произведенной продукции за счет изменения цены продукции определяется так:

Индексная система (8.10) позволяет по двум известным индексам найти значение третьего — неизвестного. Например, если известны индексы 1_}Щ и I_qy то расчет неизвестного в данном случае индекса цены может быть проведен следующим образом: 1_р = I_pq: I_(j.

Аналогичную индексную систему представляют собой общий индекс затрат (I_zq) и агрегатные индексы себестоимости единицы продукции (1₂) и физического объема (I_q): l_zq = I_z • I_q.

Рассмотрим расчет агрегатных индексов цен и физического объема на следующем примере.

Пример 8.1.

Имеются данные о производстве продукции на предприятии за 2014 и 2015 гг.

На основе приведенных в таблице данных необходимо:

• 1) рассчитать индивидуальные индексы физического объема;
• 2) рассчитать агрегатные индексы объема продукции Ласпейреса и Пааше;
• 3) рассчитать агрегатный индекс цен Пааше;
• 4) показать связь между индексами стоимости, цены и физического объема продукции;
• 5) определить абсолютный прирост стоимости всей произведенной продукции за счет роста физического объема и за счет роста цеп продукции завода.

Первый шаг решения — это расчет индивидуальных индексов физического объема, результаты решения представлены в таблице (графа 6). Результаты расчета свидетельствуют о том, что производство продукции, А за год выросло в 1,044 раза (на 4,4%), продукции В — в 1,028 (па 2,8%), а объем продукции Б в 2015 г. составил 0,983 от объема этой продукции в 2014 г. (сократился на 1,7%).

Второй шаг — расчет индексов Ласпейреса и Пааше. По формуле (8.3) рассчитываем индекс физического объема Ласпейреса:

Индекс показывает, что объем произведенной продукции за год вырос в среднем на 1,32%.

За счет роста физического объема стоимость произведенной продукции выросла следующим образом (см. формулу (8.5)):

Агрегатный индекс физического объема Пааше рассчитываем, но формуле (8.4):

Индекс показывает, что объем произведенной продукции за год вырос в среднем на 1,38%.

За счет роста объема стоимость произведенной продукции выросла следующим образом (см. формулу (8.6)):

Третий шаг — расчет агрегатного индекса цен. Агрегатный индекс цен Пааше рассчитываем по формуле (8.8):

Следовательно, цепы на произведенную продукцию за год выросли в среднем в 1,1 раза (на 10,8%). При этом стоимость продукции за счет роста цен выросла следующим образом (см. формулу (8.9)):

Четвертый и пятый шаг — показываем связь между индексами и рассчитываем абсолютный прирост стоимости всей произведенной продукции.

Прежде всего рассчитываем изменение общей стоимости произведенной продукции. Изменение общей стоимости произведенной продукции (за счет изменения объема производства и цен) определяется на основе сводного индекса стоимости по формуле (8.1):

Таким образом, за счет двух названных факторов стоимость продукции выросла за год на 12,3%, в том числе за счет роста физического объема в 1,0132 раза и за счет роста цен в 1,1083 раза, или:

Изменение общей стоимости продукции в абсолютном выражении определяется по формуле (8.2):

При этом в соответствии с формулой (8.11):

Следовательно, 89,3% (5626: 6299 • 100%) прироста стоимости произведенной продукции достигнуто за счет роста цен и 10,7% (673: 6299 • 100%) — за счет увеличения физического объема производства.