Изучение закона Бойля-Мариотта

Оборудование: установка для изучения газовых законов, электронный манометр.

Цель работы: определить значение универсальной газовой постоянной.

Краткая теория.

Молекулярная физика — раздел физики, в котором изучаются строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении. Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются результатом совокупного действия огромного числа молекул.

Термодинамика — раздел физики, изучающий наиболее общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими состояниями.

Термодинамическая система — совокупность макроскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией как между собой, так и с другими телами (внешней средой).

Состояние системы задается термодинамическими параметрами (параметрами состояния) — совокупностью физических величин, характеризующих свойства термодинамической системы. К термодинамическим параметрам относятся: давление р, температура Т, удельный объём, внутренняя энергия U и т. п.

Параметры состояния системы могут изменяться. Любое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из термодинамических параметров, называется термодинамическим процессом.

Макроскопическая система находится в термодинамическом равновесии, если ее состояние с течением времени не меняется (предполагается, что внешние условия рассматриваемой системы при этом не изменяются).

Идеальный газ — идеализированная модель газа. В идеальном газе силы взаимодействия между частицами (атомами, молекулами) пренебрежимо малы; собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда; столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие. К идеальному газу близки разреженные реальные газы при температурах, далёких от температуры их конденсации.

Температура — физическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия макроскопической системы. В настоящее время применяются две температурные шкалы — термодинамическая и Международная практическая. В Международной практической шкале температура замерзания и кипения воды при давлении 1,1 310⁵ Па соответственно 0 и 100 ⁰С (реперные точки). Термодинамическая шкала определяется по одной реперной точке — тройной точке воды (температура, при которой лед, вода и насыщенный пар при давлении 609Па находятся в термодинамическом равновесии). Термодинамическая температура этой точки равна 273,15 К. Градус Цельсия равен градусу Кельвина.

Температура Т=0К называется нулем кельвин. 0 К недостижим, хотя приближение к нему сколь угодно близко возможно.

Удельный объем — это объем единицы массы. Когда тело однородно, т. е. его плотность =const, то.

Так как при постоянной массе удельный объем пропорционален общему объему, то макроскопические свойства однородного тела можно характеризовать объемом тела.

v=N/N_A ,.

где N — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), составляющих тело (систему); N_A — постоянная Авогадро.

Закон Авогадро: 1 моль любого газа при одинаковых температуре и давлении занимает одинаковый объем.

При нормальных условиях: 22,414•10^-3 м³/моль, 273,15 и 1,1 325•10⁵ Па.

1 моль различных веществ содержит одно и то же число молекул, называемое постоянной Авогадро:

N_A =6,0210²³ моль^-1.

Молярная масса вещества

.

где — масса однородного тела (системы); — количество вещества этого тела.

Состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением p, объемом V и температурой T. Между этими параметрами существует связь, называемая уравнением состояния:

.

Французский физик Б. Клапейрон вывел уравнение состояния идеального газа:

Русский ученый Д. И. Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, и рассчитал значение постоянной в уравнении (1).

Для газа, имеющего общую массу m и молярную массу M, получим уравнение состояния идеального газа, называемое также уравнением Клапейрона — Менделеева:

или, (2).

где — масса газа; — его молярная масса; =8,31 Дж/(мольК) — молярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура; v — количество вещества.

Еще одна форма записи уравнения Клапейрона — Менделеева.

p=nkT, (3).

где — концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы, N — число частиц газа, k — постоянная Больцмана.

Изотермический процесс - процесс, протекающий при постоянной температуре.

Закон Бойля-Мариотта: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:

pV = const при T = const, m = const.

Описание установки На Рисунке 2 представлена установка для изучения закона Бойля-Мариотта: 1 — стеклянный кожух, 2 — шприц, 3 — электронный манометр, 4 — электронный термометр.

закон бойль мариотт термодинамический Выполнение работы и обработка результатов измерений.

• 1. Соберите экспериментальную установку как показано на Рисунке 2.
• 2. Поместите газовый шприц в кожух согласно инструкции по эксплуатации. Шприц должен обеспечивать герметичность. Смажьте плунжер машинным маслом, чтобы предотвратить утечку воздуха при высоком давлении. Плунжер должен быть покрытым сплошной пленкой масла на протяжении всего эксперимента.
• 3. Установите начальный объем воздуха в шприце .
• 4. Соедините выпускное отверстие шприца с электронным манометром при помощи короткой кремниевой трубки.
• 5. Постепенно увеличивайте объем воздуха в шприце с шагом 1 мл и записывайте показания электронного манометра. Когда объем достигнет значения 70 мл, закончите измерения.
• 6. Используя метод наименьших квадратов (см. приложение А), рассчитайте температуру по формуле:

.

где, , — объем, температура и давление при нормальных условиях:

• 22,414•10^-3 м³/моль,
• 273,15 ,
• 1,1 325•10⁵ Па,

— молярная масса воздуха, =2910^-3 кг/моль,.

— плотность воздуха при температуре Т (см. приложение Б),.

N_i — число измерений.

7. Используя метод наименьших квадратов (см. приложение А), вычислите значение универсальной газовой постоянной R по формуле:

.

8. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:

№ п/п	V, мл	V10-6, м3	T, К	R,

9. Постройте график зависимости давления от объема, объясните его вид.

Контрольные вопросы.

• 1. Что такое идеальный газ? При каких условиях реальный газ можно рассматривать как идеальный?
• 2. Дайте определение равновесного процесса.
• 3. Дайте определение обратимого и необратимого процессов.
• 4. Как можно охарактеризовать состояние идеального газа?
• 5. Запишите уравнение состояния идеального газа.
• 6. Дайте определение изотермического процесса. Запишите уравнение, описывающее изотермический процесс. Изобразите графики изотермического процесса в координатах (p, V), (p, T) и (V, T).
• 7. Каков физический смысл универсальной газовой постоянной?

Заключение

План оформления лабораторной работы:

• 1. Номер лабораторной работы.
• 2. Название лабораторной работы.
• 3. Цель работы.
• 4. Оборудование.
• 5. Краткая теория.
• 6. Описание установки.
• 7. Ход работы и обработка результатов измерений.

Все расчеты, необходимые для получения окончательных результатов лабораторной работы, должны быть представлены в конспекте в форме, доступной для проверки преподавателем. Все расчеты должны проводиться в международной системе единиц измерения СИ.

На основе проведенных расчетов в конспекте лабораторной работы (если это требуется) должны быть построены экспериментальные графики зависимостей физических величин, предусмотренные методическими указаниями.

Требования по оформлению графиков:

• 1) Графики строятся на миллиметровой бумаге;
• 2) на графике: оси декартовой системы, на концах осей — стрелки, индексы величин, единицы измерения, множители;
• 3) на каждой оси указывается масштаб;
• 4) под графиком указывается его полное название;
• 5) на графике должны быть отмечены экспериментальные точки.

Результаты расчета физических величин, которые должны быть получены как итог выполнения лабораторной работы. Окончательный результат должен быть представлен в виде среднего значения измеренной физической величины с указанием ее доверительного интервала.

Вывод по лабораторной работе должен включать в себя сравнение полученных результатов с теоретическими положениями.

Приложение, А Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке измерений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут среднее арифметическое из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов отклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

Пример 1.

Пример 2.

Пусть надо решить систему уравнений.

число которых более числа неизвестных x, y,.

Чтобы решить их по способу наименьших квадратов, составляют новую систему уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по обыкновенным правилам алгебры. Эти новые, или так называемые нормальные уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные уравнения на коэффициенты у первой неизвестной x и, сложив почленно, получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на коэффициенты у второй неизвестной y и, сложив почленно, получают второе нормальное уравнение и т. д. Если обозначить для краткости:

то нормальные уравнения представятся в следующем простом виде:

Легко заметить, что коэффициенты нормальных уравнений весьма легко составляются из коэффициентов данных, и притом коэффициент у первой неизвестной во втором уравнении равен коэффициенту у второй неизвестной в первом, коэффициент у первой неизвестной в третьем уравнении равен коэффициенту у третьей неизвестной в первом и т. д. Для пояснения сказанного ниже приведено решение пяти уравнений с двумя неизвестными:

Составив значения [aa], [ab], получаем следующие нормальные уравнения:

Откуда.

x = 3,55;

y =? 0,109.

При составлении обычной регрессионной модели используется та же методика, и данные коэффициенты представляют собой коэффициенты уравнения регрессии.

Уравнения (1) представляют систему линейных уравнений, то есть уравнений, в которых все неизвестные входят в первой степени. В большинстве случаев уравнения, связывающие наблюдаемые и искомые величины, бывают высших степеней и даже трансцендентные, но это не изменяет сущности дела: предварительными изысканиями всегда можно найти величины искомых с таким приближением, что затем, разложив соответствующие функции в ряды и пренебрегая высшими степенями искомых поправок, можно привести любое уравнение к линейному.

Приложение Б Зависимость плотности воздуха от температуры.

Температура,. T, 0С	Плотность воздуха,. с, кг· м?3
+35.	1,1455.
+30.	1,1644.
+25.	1,1839.
+20.	1,2041.
+15.	1,2250.
+10.	1,2466.
+5.	1,2690.
±0.	1,2920.
— 5.	1,3163.
— 10.	1,3413.
— 15.	1,3673.
— 20.	1,3943.
— 25.	1,4224.