Формирование и удержание плазмы

Создание плазмы гигантским лазерным импульсом

Вычисления показывают, что лазерный импульс, передающий мощность порядка 10¹⁰ Вт жидкой или твердой частичке с размерами порядка 10² см, будет создавать горячую плазму с температурой порядка нескольких сотен эВ. В значительной степени температура плазмы падает за счет ее быстрого расширения и охлаждения, что превращает большую часть подводимой энергии в энергию направленного расширения; она может доходить до нескольких кэВ на ион. Если расширяющаяся плазма захватывается магнитным полем и ее упорядоченное движение превращается в случайное, то процесс можно использовать как способ заполнения термоядерных устройств горячей плазмой.

Одна из основных проблем управляемого термоядерного синтеза заполнение различных устройств высокотемпературной плазмой с низкой плотностью.

В одном из методов предлагается испарять маленькую частичку вещества сильным лазерным импульсом малой длительности. В работе [176, 177] проведены вычисления, которые указывают, что такой подход возможен. Рассмотрим дальнейшие вычисления в связи с этой возможностью, которые были проведены в работе [177].

Типичная плазма, образованная таким способом, будет содержать от 10¹⁰ до 10¹⁹ электронов и ядер с энергиями от сотен эВ до нескольких кэВ на частицу. Чтобы получить такую плазму, требуется лазерный импульс мощностью порядка 10⁹ 10¹² Вт в течение нескольких наносекунд, что достижимо в настоящее время.

Требования к общей энергии и необходимой мощности

Если временно пренебречь излучением, то энергия, требуемая для получения N_i ионов и N_e электронов каждый с энергией _е, равна.

W = _е(N_i + N_e), (31).

или если измерять W в джоулях, а _е в электронвольтах, то.

W = 1,610-¹⁹_е(N_i + N_e).

Таким образом, для _е = 1 кэВ и.

N_i + N_e 10¹⁷

требуется 16 Дж. Потребуем, таким образом, энергию в диапазоне от 1 до 10³ Дж. Если материал первоначально находился в жидкой или твердой форме (типичная с плотностями порядка 510²² атом/см³), а частичка имела объем от 210⁷ до 210⁴ см³ (это будет соответствовать линейным размерам частички от 610³ до 610² см) и предположить, что ядра являются протонами и имеют энергию 1 кэВ, то их скорость равна 410⁷ см/с. Отметим, что меньшая частичка удваивает свои размеры примерно за 10¹⁰ с, в то время как для большей требуется 10⁹ с. Как было показано выше, плазма, расширяясь, быстро становится прозрачной, и поэтому для эффективной передачи энергии она должна возникать примерно в течение этого времени. Маленькая частичка, для которой нужен 1 Дж, чтобы достичь желаемой энергии, потребует мощность 10¹⁰ Вт, в то время как для большей частички, требующей 10³ Дж, необходимо 10¹² Вт. Меньшие энергии, конечно, требуют и меньших мощностей еще и потому, что газ расширяется более медленно.

Проникновение

Чтобы импульс света проник в плазменный сгусток, плазменная частота должна быть ниже частоты света. Частота, испускаемая рубиновым лазером, равна 4,3510¹⁴ Гц. Плазменная частота определяется [178, 179] выражением.

_p = 8,910³n_e^0,5, (32).

где n_e — плотность электронов.

Приравняв эти частоты, получим n_e = 2,410²¹ электронсм³. Это несколько меньше, чем плотность электронов в твердом теле или жидкости (электронная плотность в жидком водороде 410²² см³). Таким образом, если вблизи 10 эВ достигается высокая степень ионизации, плазма будет отражать свет. Но как только объем увеличится в 10 раз или около того (это потребует около 10⁸ с для водорода при 10 эВ), свет будет опять проникать в сгусток. Стоит плазменной частоте упасть ниже частоты света, и часть света, проникающая в сгусток, быстро возрастает. Если предположить, что сгусток имеет резкую границу и луч падает нормально к ней, то часть, проникающая в сгусток, дается выражением.

где ?_p и? частоты плазмы и света. Для? = l, 05?_p эта формула дает f = =0,7. Если граница сгустка диффузна в масштабе длины волны света (?=6,910⁵ см), проникновение даже более эффективно. Если же свет ударяет по сгустку косо, проникновение затруднено. Оно возможно, если только.

(34).

где k_|| параллельная поверхности составляющая волнового вектора. Если падение происходит под углом 45°, критическая плотность уменьшается в 2 раза.

Поглощение

Чтобы свет нагрел сгусток, он должен быть поглощен прежде, чем пройдет насквозь. Основной процесс поглощения для полностью ионизованной плазмы связан с электрон-ионными столкновениями, т. е. сопротивлением индуцированным токам (этот процесс иначе называется «тормозным поглощением» и является обратным по отношению к тормозному излучению электронов при рассеянии ионами). Обратная величина длины поглощения за счет таких столкновений для волн частоты? есть.

(kT — в эВ, = _Т/_рр_мин). Здесь Z и n_i заряд и плотность ионов; q₀, m_e, n_е заряд, масса и плотность электронов; с скорость света; ?_T тепловая скорость электронов; p_мин минимальный параметр столкновения для столкновения электрона с ионом (p_мин равен большей из величин Zq₀²/kT или h (m_ekT)^½). Если? равна ?_p, то есть спитцеровская величина [178, 179].

Член (1 — _p²/)^0,5 важен только при? ? ?_p, и поэтому полагаем его равным единице. В любом случае этот член только увеличивает К. Для водорода при 1 кэВ, n_e = 2,410²¹ см³,? ?= 4,3510¹⁴ Гц и ln ?= 10 находим К = 40 см^-1. Таким образом, свет будет поглощен в сгустке размером 2,510² см.

Излучение

Излучение из плазмы есть излучение черного тела на тех частотах, для которых длина поглощения меньше радиуса плазмы, в то время как для частот, на которых длина поглощения велика по сравнению с радиусом, излучение является тормозным. Максимум распределения Планка получается для частоты.

. (36).

Для kT = 1 кэВ ?_max = 7,210¹⁷ Гц, или в 2000 раз больше частоты лазера.

Таким образом, из выражения (35) следует, что плазма прозрачна для этих частот и его излучение в основном тормозное. Для тормозного излучения количество излученной энергии _ти из 1 см³ за 1 с определяется выражением [178].

_ти = 4,8610³¹Zn_e²T^0,5 Вт/см³, (37).

где Т выражено в кэВ.

Для водорода при 1 кэВ и плотности 2,410²¹ см³ эта формула дает.

?_ти??= 2,810¹² Вт/см³. (38).

Объем в 10⁴ см³, содержащий 2,410¹⁷ протонов, излучает мощность 2,810⁸ Вт, которая мала по сравнению с оценочной требуемой мощностью ~ 10¹⁰ Вт. Для материалов с большим Z тормозное излучение значительнее. Вычисляя излучение на основе тормозного механизма, не принято во внимание излучение связанных электронов и рекомбинационное. Эти процессы становятся более важными с ростом Z, но остаются незначительными для Z, меньших или равных 3 4 при температурах плазмы в сотни эВ. Для температур ниже 100 эВ даже излучением черного тела можно пренебречь.

Время термализации для ионов и электронов определяется [178, 179] соотношением.

, (39).

где Т выражено в кэВ, А атомный вес. Для водорода при плотностях 2,410²¹ см³, при 1 кэВ и ln? = 10 находим.

t_ie= 4,410¹⁰ с, (40).

т.е. время того же порядка, что и длительность нагрева. При более низкой температуре t_ie короче, так что оказывается, что вплоть до этой температуры (~ 1 кэВ) электроны и ионы остаются в тепловом равновесии. Если попытаться нагреть плазму до более высокой температуры, то электроны нагреются, а ионы нет. Если иметь лазер большей частоты, так чтобы можно было нагревать при более высоких плотностях, то равновесие может установиться при более высоких температурах.

Теплопроводность и перенос энергии

Основной процесс выравнивания температуры в плазме это электронная теплопроводность.

Так как сгусток прозрачен для испускаемого им излучения, то оно приводит к потерям энергии, но не к тепловой проводимости. Уравнение для диффузии тепла [178] можно написать в виде.

(41).

где k_е — коэффициент электронной теплопроводности, равный.

эрг/(градсмс).

Здесь Т выражено в кэВ, а теплоемкость.

эрг/(см³град).

Из этого уравнения, полагая ln? = 10, находим расстояние l, на которое тепло продиффундирует за время t:

. (42).

Для водорода с плотностью 2,410²¹ см³ при температуре 1 кэВ.

l² = 3,0510⁵t. (43).

Для t = 10⁹ с l = 1,7510² см, т. е. того же порядка, что и радиус плазмы. Более низкие температуры и более высокие Z и плотности уменьшают l.

В начальных стадиях импульса на поверхности плазмы может получиться сильный локальный нагрев. Так как коэффициент поглощения сильно зависит от температуры, такие области быстро станут прозрачными и свет будет проникать глубже в плазму. Расширение поверхностного слоя также уменьшает коэффициент поглощения. К тому же в плазме благодаря высокой локальной температуре и давлению образуются ударные волны. Эти ударные волны весьма эффективно участвуют как в переносе энергии из горячих точек, так и в нагревании плазмы, через которую они проходят, обеспечивая таким образом другой способ выравнивания температуры. Составляющие этих процессов зависят от того, как сгусток освещен (однородно по всей поверхности или локально), и общий анализ их достаточно сложен. Поскольку наша цель состоит лишь в том, чтобы показать возможность использования этого метода для образования плазмы, мы не будем делать здесь такого анализа. Вместо этого мы просто предполагаем, что сгусток нагревается однородно. К концу времени поглощения это будет разумное приближение, так как в это время свет проникает во всю плазму и электронная теплопроводность довольно большая.

Очевидно, что требуется более детальный анализ температурного профиля внутри плазмы, однако здесь будем предполагать, что весь сгусток находится при одинаковой температуре.

Расширение и охлаждение плазмы

Для температур выше 100 эВ и плотностей порядка 10²¹ см³ от атомов любого материала с малыми Z (Z 5), по существу, полностью оторваны все электроны, так как тепловая энергия при этом порядка энергии связи даже для наиболее сильно связанных электронов. Вследствие этого плазма ведет себя как идеальный газ из электронов и ионов и, как уже указывалось, быстро расширяется. Аппроксимируя этот процесс, как это сделано в работе [176], предполагая однородными плотность и температуру и приравнивая работу, совершаемую давлением, увеличению кинетической энергии, связанной с радиальным расширением, получим.

или, (44).

где Р давление, а некая эффективная средняя общая масса плазмы.

Если предположить, что плотность плазмы однородна и скорость увеличивается линейно от центра к периферии, то, где M действительная масса.

Давление.

(45).

где N_i и N_e общее число ионов и электронов, содержащихся в сгустке. Окончательно температура определяется из уравнения сохранения энергии.

где V_w скорость, с которой лазер подает энергию в вещество. Левая часть уравнения представляет собой скорость изменения тепловой энергии плазмы, в то время как первый член в правой части есть скорость, с которой энергия идет на расширение. Здесь не учтено излучение, хотя его без особых трудностей можно вычислить из V_w.

Если предположить, что V_w = const и начальная скорость расширения равна нулю, то эти уравнения после интегрирования дают.

(47).

(48).

где r₀ начальный радиус плазмы и m_i масса иона.

Для достаточно больших времен, таких, что V_wt^з/N_im_i >> r₀², можно аппроксимировать эти выражения следующим образом:

(49).

. (50).

Для малых времен, когда расширение незначительно, имеем.

. (51).

Сравнение уравнений (50) и (51) показывает, что для больших времен 0,75 энергии идет на расширение и 0,25 на нагревание плазмы.

Расширяясь, плазма быстро становится прозрачной для лазерного света, так как из уравнения (35) следует, что коэффициент К пропорционален. Определим время, за которое плазма становится прозрачной, приравнивая Kr единице. При этом найдем зависимость от входной мощности, начальной электронной плотности и радиуса сгустка, используя равенства (49), (50) и соотношения.

, ,. (52).

Подстановка выражений в Kr = 1 дает.

. (53).

Полагая? = 4,3510¹⁴, m_i = 1,6610²⁴А, ln = 10, уравнение (53) можем переписать в виде.

где r₀ выражено в см, a V_w в Вт. Разрешая (54) относительно t, находим.

с. (55).

Энергия, передаваемая одной частице, равна.

(56).

где ?_e1 выражено в эВ, V_w в Вт.

Для дейтерия с начальным радиусом 1,510² см и V_w = 10¹⁰ Вт оказывается t = 910¹⁰ с, ?_e1 = 1,0 кэВ.

Результаты более точных вычислений для дейтериевого и литиевого сгустков показаны на рис. 4 8 (кривая 1 температура, кривая 2 энергия расширения на ион, кривая 3 радиус плазменного сгустка, а на этой кривой буквой П обозначен момент, когда плазма становится прозрачной).

Результаты в основном находятся в хорошем соответствии с приближенными формулами (49), (50), (55) и (56), хотя радиус этих сгустков увеличивается приблизительно в 2 раза, прежде чем они становятся прозрачными. Приближения, используемые при получении этих уравнений, теряют силу для сгустков, которые столь малы, что становятся прозрачными до заметного расширения.

В случае очень маленьких сгустков нельзя увеличить энергию на частицу, уменьшая размеры сгустка, что следует из (56).

Рис. 4. Нагревание и расширение сгустка водородной плазмы (начальный радиус сгустка 0,015 см, общее число атомов в сгустке 2,210¹¹, мощность лазерного импульса 10¹⁰ Bт)

Рис. 5 Нагревание и расширение Рис. 6. Нагревание и расширесгустка дейтериевой плазмы ние сгустка литиевой плазмы (начальный радиус 0,01 см; число электронов в сгустке 10¹⁶)

Рис. 7. Нагревание и расширение Рис. 8. Нагревание и расширесгустка литиевой плазмы ние сгустка литиевой плазмы (начальный радиус 0,02 см; число (начальный радиус 0,01 см, электронов в сгустке 810¹⁶) число электронов в сгустке 10¹⁶, ионов 3,3310¹⁵)

Если плазма нагревается столь быстро, что расширение несущественно, то можно оценить достижимую температуру, полагая Kr₀=1. Из уравнения (46) получаем.

где kT выражено в эВ. Для Z = l, n₀ = 2,410²¹, ??= 4,3510¹⁴ и r₀ = 10² см получаем температуру 525 эВ. Конечно, температуру можно несколько повысить по сравнению с этим значением, поскольку нагрев продолжается, но сильно превысить это значение температуры будет трудно, так как коэффициент поглощения быстро падает и скоро станет существенным расширением плазмы.

Расширение после нагревания и захват плазмы

После того как плазма становится прозрачной, она продолжает быстро расширяться и в результате охлаждается. Предположив, что поступление энергии прекращается после того, как достигнута прозрачность, находим, решая (44) (46), определяющие расширение величины:

(58).

(59).

где, и радиус, температура и радиальная скорость плазмы в момент, когда она становится прозрачной.

Откуда следует, что температура плазмы быстро падает с расширением и что за время увеличения радиуса в 10 раз температура падает до нескольких эВ, при этом вся энергия переходит в энергию радиального расширения.

Теперь следует проверить, не рекомбинирует ли плазма? При этих плотностях основной механизм рекомбинации это рекомбинация в тройных соударениях: двух электронов и одного иона. Теория такой рекомбинации для водорода была разработана Хинновом и Хиршбергом [180] и уточнена в [181, 182], где получено несколько большее значение численного коэффициента. Согласно первой из работ, скорость рекомбинации dn_e/dt определяется выражением (kT выражено в эВ).

. (60).

Характерное время рекомбинации (в секунду) равно.

. (61).

Подставив (58) и (52) в (61), получим.

(62).

где индекс 1 относится к состоянию плазмы на тот момент, когда она становится прозрачной.

Это время должно быть сравнимо со временем, требующимся для удвоения радиуса плазмы:

(63).

где _ех скорость расширения.

Приравнивая эти времена, получаем.

. (64).

При kT₁ = 300 эВ, n_e1 = 510²⁰, r₁ = 2,510², _ех = 310⁷ (энергия расширения 1 кэВ для дейтронов, примерно соответствующая величине, даваемой рис. 5) уравнение (64) дает r = 0,4 см. Таким образом, радиус увеличился примерно в 20 раз, плотность уменьшилась в 8000 раз и температура упала до 0,75 эВ.

Энергия ионизации при рекомбинации трех частиц возвращается плазме, что поддерживает температуру и предотвращает дальнейшую рекомбинацию [183]. Падение температуры должно было бы почти остановиться в этой точке. Предполагая, что температура остается постоянной, причем рекомбинация как раз обеспечивает работу расширения, получаем.

(65).

(66).

где индекс 2 относится к состоянию в момент начала рекомбинации, a _A энергия ионизации атомов. Из (66) следует, что если kT₂ << _A, то даже при сравнительно большом отношении (r/r₂) отношение? N/N мало, т. е. можно пренебречь рекомбинацией. Конечно, охлаждение за счет излучения будет увеличивать скорость рекомбинации. Непосредственной радиационной рекомбинацией можно пренебречь, так как ее поперечное сечение мало. Однако излучение из высоких возбужденных состояний, образованных рекомбинацией трех частиц, может оказаться значительным. С другой стороны, рекомбинация уменьшается, если лазер продолжает действовать в течение расширения, так как сгусток никогда не становится полностью прозрачным, и даже небольшое увеличение температуры по сравнению со значением, использованным выше, сильно снижает скорость рекомбинации. Наконец, если пытаться захватить плазму магнитным полем (см. ниже), то установившиеся в плазме токи будут поддерживать достаточно высокую температуру электронов, что может предотвратить рекомбинацию, однако последнее еще нуждается в дополнительном детальном исследовании.

Если направленное движение расширения превратить в хаотическое, то плазма опять приобретет высокую температуру. Один из методов получения этого позволить двум расширяющимся сгусткам плазмы столкнуться друг с другом. Так как ионы приобретут большую часть энергии, в результате получится плазма с высокой ионной и низкой электронной температурами.

Можно предложить ряд способов удержания плазмы в магнитном поле. Расширение плазмы в конечном счете прекращается за счет тормозящего действия внешнего МП. Создание полости объемом V в МП с магнитной индукцией В требует энергии.

W = B²V/8. (67).

Если В выражено в кГс, V в см³, W в Дж, то.

. (68).

В поле B = 10 кГс для поглощения 1 Дж энергии требуется объем 2,5 см³. Максимальный объем, до которого плазма может расшириться, получается приравниванием W энергии плазмы. Очевидно, при В 10 кГс и W порядка нескольких Дж этот объем равен примерно 10 см³.

Когда плазма расширяется против МП, в ней устанавливаются поверхностные токи. Энергия, требующаяся для поддержания этих токов, затухающих за счет омических потерь, обеспечивается радиальным расширением. Таким образом, энергия направленного расширения может быть опять обращена в тепло. Дальнейшее расширение такой плазмы против МП подвержено сильным неустойчивостям РэлеяТейлора, которые могут вызвать турбулентность и эффективную термализацию плазмы. С другой стороны, турбулентность может привести к растеканию плазмы поперек силовых линий. Требуются эксперименты с различными конфигурациями поля, чтобы определить, насколько эффективно может быть захвачена плазма.

Таким образом, оказывается, что лазерные импульсы мощностью порядка 10¹⁰ Вт и длительностью несколько нс, испаряя маленькую частичку материала, создают плазму с энергиями частиц порядка кэВ, которая позволяет проводить уникальные исследования, такие как:

взаимодействие быстро расширяющейся плазмы с МП (для определения возможности захвата плазмы турбулентностью и движением ее поперек МП). Если плазма может быть захвачена, то этот способ годится для заполнения термоядерных устройств. Можно также промоделировать взаимодействие сверхновых звезд с межзвездным МП и, вероятно, солнечные вспышки и их взаимодействие с МП Земли;

поведение бесстолкновительных ударных волн. Если сталкиваются два расширяющихся сгустка плазмы, то легко удовлетворить условиям установления бесстолкновительной ударной волны. Другая возможность выпустить сгусток в плазму с низкой плотностью, которая расширяясь может действовать как источник интенсивной ударной волны в этой плазме;

рекомбинация в расширяющемся сгустке, что может дать определенную информацию об этом процессе в плотной плазме. Такая рекомбинация может также обеспечить способ получения энергичных нейтральных частиц;

процессы взаимодействия электромагнитного излучения с плотной плазмой (его поглощения, рассеяния, генерации гармоник).

Создание высокотемпературной плазмы

Рассмотрим возможность создания плотной высокотемпературной плазмы путем нагревания лазерным импульсом плазмы, удерживаемой МП. В течение времени нагревания должны поддерживаться высокие плотности ионов (> 10¹⁷ см³).

Чтобы получить условия, необходимые для термоядерного реактора с полезным выходом мощности, использующим изотоп водорода, требуются энергии лазера свыше 10⁴ Дж за одно прохождение излучения через плазму и магнитные поля более 10⁸ Гс при условии, что плазма образуется из водородного шарика в вакууме. Напряженность МП вычисляется в предположении, что бомовская диффузия будет самым сильным механизмом потерь в плазме. Если плазма образуется в газе, то требуется энергия свыше 10¹¹ Дж при мощности более 10¹⁸ Вт.

Создание ультрафиолетовых лазеров высокой мощности сделает ненужным использование сильных МП при условии, что будут получены достаточно короткие лазерные импульсы. В этом случае нет разницы между результатами, полученными для вакуумной модели и модели с газовым заполнением. В каждом случае требуется энергия лазера > 10⁶ Дж при мощности > 10¹⁵ Вт. Вакуумная модель с с…

Используя результаты указанных работ, исследуем возможность получения контролируемой термоядерной реакции с помощью сфокусированного лазерного луча. Предположим, что для достижения высоких температур плазму нужно удерживать МП.

Задавая условие протекания термоядерной реакции.

(Время удержания, с) (Плотность плазмы, см³) 10¹⁴,.

можно определить максимально достижимую температуру для выбранных значений энергии лазера и напряженности МП. Любые несовершенства в лазере вызовут необходимость увеличить время удержания плазмы по сравнению со временем, определяющимся заданным выше условием.

Будем полагать, что заряд иона равен единице это эквивалентно предположению, что используется изотоп водорода.

Мы начинаем с холодной (10⁶ K), почти полностью ионизованной плазмы, которая предполагается образованной начальной частью лазерного импульса или другими способами. Рассмотрим сначала механизм, с помощью которого плазма может быть нагрета до 10⁵ 10⁹ K, а затем исследуем конкуренцию нагревания с различными механизмами диссипации при конечной равновесной температуре. Этот анализ приводит к ограничению величин интересующих нас параметров при рассмотрении возможности термоядерного синтеза в плазме.

Механизм нагревания

Рассмотрим нагревание плазмы за счет поглощения (являющегося процессом, обратным тормозному излучению), для которого коэффициент поглощения [178].

При h? << kT и? << 1 поглощенная часть падающего излучения.

(69).

где n_i плотность ионов и электронов, h постоянная Планка, Т температура, частота падающего излучения (= 4,310¹⁴ Гц для рубинового лазера) и d (см) линейный размер плазмы.

Для эффективного нагревания плазмы должно быть как можно больше.

Это условие ограничивает практическое использование лазера для нагревания плазмы областями более высокой плотности.

При температурах, представляющих интерес для термоядерных реакций, приближение (69) всегда справедливо для плотностей, удовлетворяющих дополнительному условию > _p, т. е. необходимо выполнение условия, чтобы ЛИ не отражалось плазмой.

Если нет никаких тепловых потерь и при условии, что n_i остается, по существу, постоянным в течение лазерного импульса, то вся поглощенная энергия идет на нагревание плазмы до температуры T_t

(70).

где W энергия (в эрг), излучаемая лазером. Энергией ионизации пренебрегаем, так как она дает изменение температуры в 2 раза при 10⁵ К и на 0,2% при 10⁸ К.

Если T_t вычислять интегрированием, учитывая, что поглощение меняется с изменением температуры, то величина T_t получается на 45% выше, чем даваемая уравнением (70).

Излучение поглощает электроны, и для выравнивания ионной и электронной температур существенно, чтобы время перераспределения энергии между электроном и ионом _eq было меньше, чем время нагревания или время удержания :

. (71).

Механизмы охлаждения излучением

Тормозное излучение.

Полная мощность тормозного излучения плазмы [178].

эрг/с. (72).

Объединяя уравнения (69) и (72), получаем баланс между нагревом и охлаждением, откуда определяем равновесную температуру Т_в при условии, что единственным источником тепловых потерь является тормозное излучение:

. (73).

Циклотронное излучение

Если к системе приложено МП, то в плазме возникнет циклотронное излучение с частотой ?_c = 2,810⁶ B. Независимо от того, является ли плазма оптически толстой на этой частоте, мощность излучения не превысит мощности излучения черного тела на всех частотах вплоть до циклотронной:

эрг/с.

Таким образом, мы получаем равновесную температуру Т_е в случае, когда единственным источником тепловых потерь является циклотронное излучение:

(74).

Эти вычисления не учитывают потери за счет излучения на более высоких гармониках циклотронной частоты. Если продолжить вычисления и включить излучение черного тела до десятой гармоники циклотронной частоты, то мощность потерь возрастет в 1000 раз. Тем не менее, учитывая ограничения, накладываемые другими рассмотренными здесь процессами, условия циклотронного излучения не являются самыми сильными. Более того, потери за счет циклотронного излучения могут быть значительно снижены применением отражающих стенок, так как основная частота, первая и вторая гармоники будут лежать в видимой и в близких инфракрасной и ультрафиолетовой областях.

Излучение черного тела

Чтобы тело излучало как абсолютно черное, необходимо; отсюда излучение будет планковским вплоть до частот _b, таких, что .

Мощность потерь за счет излучения черного тела дается выражением

(75).

где отсюда.

.

и поскольку излучение черного тела не должно налагать более сильных ограничений на температуру плазмы, чем потери на тормозное излучение, потребуем.

.

или.

. (76).

Условие (76) всегда выполняется в плазме, представляющей интерес для термоядерных реакций.

Этого результата следовало ожидать, так как в приведенных выше вычислениях просто оцениваются потери на излучение черного тела в области спектра, в которой самопоглощение в плазме препятствует тормозному излучению. Из законов излучения черного тела и тормозного излучения в этой области следует, что потери на излучение черного тела меньше, чем потери на тормозное излучение в этой же области.

Потери за счет теплопроводности

Теперь рассмотрим случай, когда лазерный луч фокусируется больше в газе, чем на мишени. В этом случае плазма будет окружена холодным газом.

Если МП нет, плазма будет расширяться с некоторой диссипацией энергии и уменьшением эффективности нагревания лазерным лучом (). Даже если приложено сильное МП, атомы соседнего с плазмой холодного газа будут нагреваться за счет столкновений с ионами и электронами горячей плазмы, так что плазма будет все расширяться, но при этом n_i будет оставаться примерно постоянным. В этом случае (для K_vd << 1) основные потери тепла центром плазмы (А точка максимальной температуры) будут происходить за счет теплопроводности на границе плазмы.

Профиль сфокусированного луча лазера представлен на рис. 9, а. Плазма будет образовываться в фокусе и затем расширяться до радиуса > d/2 (рис. 9, б). Однако, так как область интенсивного ЛИ ограничена в основном сферой радиусом d/2, можно довольно правдоподобно описать этот случай моделью, в которой сфера (радиусом d/2) полностью ионизованной плазмы (с плотностью n_i) с поверхностной температурой T₀ << T_макс облучается лазерным лучом с плотностью потока P_s. Предполагая условия установившимися, вычислим температуру в центре плазмы.

а б Рис. 9. Профиль сфокусированного луча: а действительное соотношение лазерного луча и плазмы; б вид решения уравнения (77)

Для плотностей ионов и потока соответственно n_i и P_s количество тепла на единицу объема, поглощаемого за счет процесса, обратного тормозному излучению, составит.

.

Коэффициент теплопроводности полностью ионизованной плазмы при этих условиях (см. [178, 179]).

Приравнивая теплопроводность и поглощение в сферической оболочке, получаем.

т.е.. (77).

Из приведенных выше рассуждений следуют граничные условия для (77).

и Т = 0, .

Решение представлено на рис. 9, б, где.

(78).

Теплопроводность можно уменьшить удерживающим МП, но теплопроводность вдоль силовых линий (существенная часть) не изменится.

В этих упрощенных оценках плазма предполагалась оптически тонкой. Возможно, сильное поглощение происходит около холодной поверхности плазмы (при более низких температурах вынужденная эмиссия незначительна, поэтому поглощение более заметно). Приближенные оценки показывают, что для лазерных энергий, значительно превышающих 1 Дж, этим эффектом можно пренебречь. Однако из рис. 10 ясно, что потери за счет теплопроводности серьезно препятствуют достижению условий, необходимых для термоядерных реакций.

Удержание плазмы

При температурах 10⁵ 10⁸ K тепловые скорости ионов составляют 10⁶ 10⁸ см/с. Таким образом, если нет никакого удержания, мы можем ожидать, что ионы плазмы вылетят из области нагревания (d 10^-2 см) за время лазерного импульса (10 нс). Расширение плазмы имеет несколько важных последствий: более низкая ионная плотность уменьшает эффективность нагревания () и большая часть энергии, которая еще поглощается плазмой, рассеивается в процессах расширения и диффузии.

Рис. 10. Ограничения температур как функции n_i или (n_i = 10¹⁴) для различных механизмов (номера относятся к уравнениям)

Для того чтобы МП удержало плазму в течение лазерного импульса, должны выполняться следующие условия:

магнитное давление должно превышать кинетическое давление плазмы ;

диффузия плазмы из области нагрева должна быть малой. Точная природа процесса диффузии неясна. Здесь мы рассматриваем наиболее быстрый из предполагаемых процессов диффузии бомовскую диффузию, средняя скорость которой дается выражением (см. [178]).

.

Тогда верхний предел температуры определяется условием.

(79).

а условие для магнитного давления в этом случае.

. (80).

Частотная зависимость

Нагревание плазмы лазером зависит от частоты излучения. Интересно рассмотреть частотную зависимость нагревания, чтобы выяснить, коротковолновые или длинноволновые лазеры более пригодны для получения высокотемпературной плазмы.

Из уравнения (70) и условия > _p (лазерная частота не должна быть меньше плазменной) ясно, что предельная температура T_c для данной величины d² есть константа при условии, что используется максимально возможная плотность. Требование максимальной плотности устанавливает нижнюю границу длин волн порядка 700 ангстрем (считая плотность твердого тела ~ 10²³ см³). Хотя W/d² при этом должно иметь ту же величину, что и для нижних частот, более высокая плотность, которую можно использовать, уменьшает требуемое время удержания примерно до 10⁹ с. Тогда можно будет получить термоядерные реакции без магнитного поля при условии, что d 0,1 см. Ограничения теплопроводности требуют W₀ > 10⁶ Дж на одно прохождение излучения.

Отметим, что ограничения, налагаемые на температуру, ионную плотность, энергию лазера, размеры плазмы и МП [уравнения (69) (80)], были использованы для определения величин различных параметров, требуемых для получения данной температуры в диапазоне 10⁵ 10⁹ K и величины 10¹⁴ для произведения плотности ионов на время удержания (условие термоядерного синтеза). Результаты показаны на рис. 10.

С точки зрения термоядерного синтеза, даже если пренебречь теплопроводностью (рассматривая изолированный образец первоначально твердого дейтерия), ограничения энергии поглощения и бомовской диффузии требуют энергий лазера свыше 10⁴ Дж и МП более 10⁸ Гс. Эти результаты применимы к установившейся плазме, в которой наиболее важным механизмом роста является бомовская диффузия.

Комбинация лазера и МП может быть хорошим источником плотной высокотемпературной плазмы. Однако вычисление теплопроводности показывает, что температура 10⁶ K и выше, может быть получена только в газе с очень высоким давлением или путем нагревания водородного шарика в вакууме.

Определение температуры плазмы

Как показано выше, высокотемпературную плазму можно получить, воздействуя сфокусированным гигантским лазерным импульсом на твердый образец. Для углеродной мишени сообщалось [191] об ионах с энергией ~ 400 эВ. Исследуя резкую границу расширяющейся углеродной плазмы, можно получить максимальную энергию ионов 1,1 кэВ при энергиях лазера, примерно в 5 раз больших, чем в [191], но тогда следует еще показать, что из такого рода исследований можно определить среднюю температуру плазмы.

Используя рубиновый лазер (длиной 16 см, добротность которого модулировалась с помощью вращающейся призмы или просветляющегося раствора), была получена выходная мощность до 30 МВт. Световой луч фокусировался линзой с фокусным расстоянием 5 см на твердую углеродную мишень, находящуюся в вакуумной камере (10⁶ мм рт. ст). Небольшая часть расширяющейся плазмы выделялась диафрагмой (610⁶ рад), а после прохождения расстояния 12 см плазма собиралась цилиндром Фарадея. По пути плазменный пучок пересекал электрическое поле (~100 В/см), приложенное перпендикулярно направлению движения пучка плазмы (рис. 11).

Рис. 11. Схема экспериментальной установки

С помощью этого поля из плазмы вытягиваются электроны, так как их энергия расширения мала по сравнению с энергией ионов (этот метод применим только для частиц в малом интервале энергий вблизи максимальной, так как пространственные заряды, образованные большим числом электронов, будут уменьшать действие приложенного электрического поля).

Время между лазерным импульсом и появлением ионов на детекторе дает максимальную скорость плазмы и можно предположить, что скорость постоянна почти на всем пути. При фокусировке лазерного импульса мощностью 30 МВт и с энергией 1 Дж на углеродную мишень было измерено время пролета, которое составило 0,9 мкс, что соответствует максимальной скорости 1,310⁷ см/с. Для лазерного импульса в 10 МВт и 0,5 Дж было получено время пролета 1,4 мкс, которое соответствует скорости 0,8510⁷ см/с. Интересно заметить, что быстрое нарастание и высота ионного импульса на детекторе указывают на довольно резкую границу появляющейся плазмы. Принято считать, что для лазерного импульса мощностью 30 МВт более 10¹⁴ ионов (предполагается изотропное расширение) имеют энергии от 1,0 до 1,1 кэВ.

Среднюю температуру первоначальной плазмы можно оценить, исходя из данных по скорости, следуя рассмотрениям, выполненным в работе [192]. Расширяющаяся плазма характеризуется максимальной скоростью r_макс и эффективной массой М, которая равна 3/5 действительной массы N_im_i (m_i масса атома, N_i число ионов в плазме). Предположим, что скорости расширения частиц в плазме пропорциональны их расстоянию от центра и что плотность однородна по всему объему (в фиксированное время). Тогда максимальная скорость (скорость частиц на границе плазмы) связана с энергией, сообщенной плазме от светового импульса, следующим соотношением:

(81).

(излучение или другие потери включены в; r₁ и Т₁ радиус и температура в конце процесса нагревания (~ 30 нс)). Если r >> r₁ (r₁ порядка 1 мм),.

энергия существует только в форме энергии расширения, при этом получаем.

.

Величину 0,5Mr²_макс можно положить равной тепловой энергии, если допустить, что на ранней стадии расширения почти вся кинетическая энергия существует в форме тепловой энергии. При таких условиях для температуры получаем.

; N_e = ZN_i. (82).

Используя измеренные данные r_макс для углеродной плазмы и предполагая, что у ионов углерода в среднем отсутствуют только электроны внешней оболочки (т.е. Z = 4), получаем температуру плазмы T 10⁶ K (для лазера мощностью 30 МВт). Эта величина должна быть верхним пределом с учетом сделанных приближений [193].