Примеры сюжетных задач для решения в учебниках алгебры 7-9 классов Ю. Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой
Чтобы решать задачу алгебраически, необходимо, кроме умений переводить отношения между величинами на язык формул и записывать зависимости между величинами с помощью формул имеющихся процессов, уметь выполнять еще два действия: выбирать неизвестную величину, через которую выражать другие величины и выбирать условие, на основе которого составляется уравнение (система уравнений). При этом… Читать ещё >
Примеры сюжетных задач для решения в учебниках алгебры 7-9 классов Ю. Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Тема «Решение задач с помощью линейных уравнений» (7 класс)
Умение применять уравнения является очень важным, но надо стремиться формировать его с опорой на умение рассуждать, ставить вопросы, отвечать на них, проверять правильность полученного ответа, то есть на умения, полученные при работе с арифметическими методами решения задач.
№ 165, стр. 31
Деятельность учителя. | Деятельность учащихся. |
Прочтите условие задачи № 165, стр. 31. I этап. Осмысление текста задачи. О каком процессе идет речь? Какие величины характеризуют этот процесс? Как связаны между собой эти величины? Как находится скорость при движении по течению реки? Как находится скорость при движении против течения реки? Выполним краткую запись условия в виде чертежа. | Учащиеся читают условие: За 9 часов по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч. Учащиеся отвечают на вопросы: Движение по реке по и против течения. Скорость теплохода vт, скорость течения v0, время, расстояние. S = vt. К собственной скорости прибавляется скорость течения. От собственной скорости отнимается скорость течения. Один ученик чертит на доске, остальные в тетрадях: |
Что требуется определить в задаче? Какие данные задачи помогут нам это сделать? II этап. Осуществление поиска решения и составление плана. Какую величину примем за неизвестную? Чему будет равна скорость движения теплохода по течению реки, чему — против течения? Какое расстояние проходит теплоход по течению и против течения? Так как теплоход проходит одно и то же расстояние в обе стороны, то это и является основанием для составления уравнения. III этап. Реализация плана решения, исследование построеной модели. Решим полученное уравнение. Чему равна собственная скорость теплохода? Исследование в данной задаче не нужно. IV этап. Анализ найденного решения. Выполним проверку. Является ли данный способ решения задачи рациональным? Запишем ответ задачи. | Собственную скорость теплохода. АВ = S = v1t1 = v2t2. По условию задачи, теплоход проходит одно и то же расстояние по течению за 9 часов, а против течения — за 11 часов. Собственную скорость теплохода. Записывают в тетради: Пусть собственная скорость теплохода х км/ч. Тогда скорость теплохода по течению составит (х + 2) км/ч, а против течения — (х -2) км/ч. Отвечают: Одно и то же. Записывают: По условию задачи, за 9 часов по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 часов против течения. Получаем уравнение: (х + 2)*9 = (х — 2)*11. Записывают в тетрадях и на доске решение уравнения:
х = 20. Собственная скорость теплохода равна 20 км/ч. Подставляют в уравнение полученное значение:
Да. Записывают: Ответ: собственная скорость теплохода равна 20 км/ч. |
Тема «Решение задач с помощью систем уравнений» (7 класс).
Если применять уравнения учащиеся учатся с 5−6-го класса (иногда и с начальной школы), то первый опыт применения систем уравнений они получают только в 7-м классе. С этого времени у них формируется стереотипное представление об этом приеме решения задач: надо ввести два неизвестных и составить два уравнения с ними.
На первых порах с помощью системы учащиеся решают задачи, которые можно решить и без системы, поэтому они могут давать не тот способ решения, на который рассчитывает учитель. Не надо отказываться от таких решений, а надо использовать их для сопоставления двух способов решения задачи — это помогает глубже понять каждый из них.
№ 1178, стр. 194
Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
Прочтите условие задачи № 1178 на стр. 194. I этап. Осмысление текста задачи. О каком процессе идет речь? Какие величины характеризуют этот процесс? Как связаны между собой эти величины? Как находится скорость при движении по течению реки? Как находится скорость при движении против течения реки? Что требуется определить в задаче? Какие данные задачи помогут нам это сделать? II этап. Осуществление поиска решения и составление плана. Сколько величин неизвестно? Какую величину примем за х? Тогда что примем за у? Чему тогда равна скорость движения лодки по течению и против течения? Так как лодка проходит одно и то же расстояние в обе стороны, то это и является основанием для составления первого уравнения. Что еще известно о движении лодки по течению реки? Это будет основанием для составления второго уравнения. Что необходимо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? III этап. Реализация плана решения, исследование построеной модели. Решим полученную систему. Какая величина принята за у? Тогда чему будет равна собственная скорость лодки, выраженная через х? IV этап. Анализ найденного решения. Выполним проверку. Является ли данный способ решения задачи рациональным? Запишем ответ задачи. | Читают условие: Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь за 5 часов. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5 часа? Отвечают на вопросы: Движение по реке по и против течения. Скорость лодки vл, скорость течения v0, время, расстояние. S = vt. К собственной скорости прибавляется скорость течения. От собственной скорости отнимается скорость течения. Собственную скорость лодки. АВ = S = v1t1 = v2t2. По условию задачи, теплоход проходит одно и то же расстояние по течению за 4 часов, а против течения — за 5 часов. Также известно, что 70 км по течению лодка проходит за 3,5 часа. Две: собственная скорость лодки и скорость течения реки. Собственную скорость лодки. Скорость течения реки. Записывают в тетради: Пусть собственная скорость лодки — х км/ч, а скорость течения — у км/ч. Тогда скорость теплохода по течению составит (х + у) км/ч, а против течения — (ху) км/ч. По условию задачи, за 4 часа по течению реки лодка проходит тот же путь, что за 5 часов против течения. Получаем первое уравнение: (х + у)*4 = (х — у)*5. По условию задачи, лодка проходит 70 км по течению реки за 3,5 часа. Получаем второе уравнение: (х + у)*3,5 = 70. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения х и у, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. удовлетворяют системе: (х + у)*4 = (х — у)*5. (х + у)*3,5 = 70. Записывают в тетради и не доске решение системы: (х + у)*4 = (х — у)*5. х + у = 20. (х + у)*4 = (х — у)*5. х = 20 — у.
у = 2. Скорость течения. Следовательно, скорость течения равна 2 км/ч. х = 20 — 2. х = 18. Собственная скорость лодки равна 18 км/ч. Подставляют в систему уравнений полученные значения переменных: (18 + 2)*4 = (18 — 2)*5. (18 +2)*3,5 = 70. 80 = 80. 70 = 70. Да, является. Записывают ответ: Ответ: собственная скорость лодки равна 18 км/ч. |
Тема «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений» (8 класс).
Задачи, приводящие к решению дробных рациональных уравнений, — это задачи, в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения. Чаще всего это задачи на движение и на работу. Удобно решать такие задачи с помощью таблиц, составленных по условию.
№ 612, стр. 131.
Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
Прочтите условие задачи № 612 на стр. 131. I этап. Осмысление текста задачи. О каком процессе идет речь? Какие величины характеризуют этот процесс? Как связаны между собой эти величины? Как находится скорость при движении по течению реки? Как находится скорость при движении против течения реки? Что требуется определить в задаче? Выполним краткую запись условия в виде таблицы. | Читают условие задачи: Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. По течению реки она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки? Отвечают на вопросы: Движение по реке по и против течения. Скорость лодки vл, скорость течения v0, время, расстояние. S = v*t. t = S/v. К собственной скорости прибавляется скорость течения. От собственной скорости отнимается скорость течения. Скорость течения реки. Примем ее за х. Чертят и заполняют таблицу: |
Скорость расстояние время По течению.
t1=35/(15 + х) Против течения.
t2=25/(15 — х). t1= t2 | |
II этап. Осуществление поиска решения и составление плана. С помощью таблицы выведем соотношение, данное в задаче. Так как лодка тратит одно и то же время в обе стороны, то это и является основанием для составления уравнения. Запишем его. III этап. Реализация плана решения, исследование построеной модели. Решим полученное дробное рациональное уравнение. Удовлетворяет ли найденное значение условию задачи? Не обращает ли это значение в нуль знаменатель полученного уравнения? Значит, чему равна скорость течения реки? IV этап. Анализ найденного решения. Выполним проверку. Запишем ответ. | Записывают уравнение: 35/(15 + х) = 25/(15 — х). Записывают в тетрадях решение уравнения: 35(15-х)/(15+х)(15-х) =. = 25(15+х)/(15+х)(15-х).
х = 2,5. Да, удовлетворяет. Нет. Скорость течения равна 2,5 км/ч. Подставляют в уравнение полученное значение:
Записывают ответ: Ответ: скорость течения равна 2,5 км/ч. |
Тема «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени» (9 класс)
В данной теме также встречаются сюжетные задачи на движение и работу. Решение задач сводится к решению систем уравнений второй степени с двумя неизвестными. Рассмотрим задачу на работу.
№ 280, стр. 75.
Деятельность учителя. | Деятельность ученика. |
Причтите условие задачи № 280 на стр. 75. I этап. Осмысление текста задачи. О каком процессе идет речь? Какие величины характеризуют этот процесс? Как связаны между собой эти величины? Если не задан объем работы, то за что мы его принимаем? Что требуется определить в задаче? Какие данные задачи помогут нам это сделать? II этап. Осуществление поиска решения и составление плана. Сколько величин неизвестно? Какую величину примем за х? Тогда что примем за у? Так как время I комбайнера меньше времени II комбайнера на 24 ч, то это и является основанием для составления первого уравнения. Какую часть поля уберет первый комбайнер за 1 час? А второй? Так как комбайнеры, работая вместе, уберут весь урожай (т. е. выполнят всю работу) за 35 часов, то это и является основанием для составления второго уравнения. Что необходимо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? III этап. Реализация плана решения, исследование построеной модели. Решим полученную систему. Оба ли полученные значения подходят к условию задачи? Что мы нашли? Что еще нам нужно найти? Как найти у? IV этап. Анализ найденного решения. Выполним проверку. Запишем ответ. | Читают условие задачи: Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 часа быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай? Отвечают на вопросы. О выполнении определенного объема работы. Объем работы, производительность труда, время. Производительность = работа/время. За 1. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай. Время первого комбайнера на 24 ч меньше времени второго комбайнера. А если они будут работать вместе, то справятся за 35 часов. Две: время I комбайнера (t1) и время II комбайнера (t2). t1. t2. Записывают в тетрадях: Пусть I комбайнер, работая отдельно, выполнит работу за х часов, а второй — за у часов. Тогда х + 24 = у.
Работая отдельно, I комбайнер уберет за 1 час 1/х часть поля, а второй — 1/у часть поля. Работая совместно, они затратят 35 часов на уборку всего поля. Получаем уравнение: 35(1/х + 1/у) = 1. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения х и у, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. удовлетворяют системе: х + 24 = у. 35(1/х + 1/у) = 1. Записывают в тетрадях решение системы уравнений: у = х +24. 35/х + 35/(х +24) = 1; 35(х +24) + 35х — х (х+24) = 0. 35х + 840 + 35х — х2 — 24х = 0. х2 — 46х — 840 = 0. D = (-46)2 -4*1*(-840) = 5476. vD = 74; -74. x1 = (46 + 74)/2 = 60; x2 = (46 — 74)/2 = - 14. Нет. Мы ищем время, оно не может быть величиной отрицательной. Значит, х = -14 не является решением задачи. Мы нашли х — время, которое затратит первый комбайнер, работая отдельно. Время, которое затратит второй комбайнер, — у. Подставим в первое уравнение системы х = 60: 60 + 24 = 84. Подставляют найденные значения переменных в систему уравнений: 60 + 24 = 84. 35 (1/60 +1/84) = 1. 84 = 84. (245 + 175)/420 = 1. 84 = 84. 1 = 1. Записывают ответ: Ответ: первый комбайнер затратит 60 часов, второй — 84 часа. |
Вывод по второй главе
Система сюжетных задач, предложенная в учебниках алгебры 7 — 9 классов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой, достаточно разнообразна.
Алгебраический метод решения сюжетных задач является универсальным. С помощью составления уравнения или системы уравнений можно практически решить любую сюжетную задачу.
Чтобы решать задачу алгебраически, необходимо, кроме умений переводить отношения между величинами на язык формул и записывать зависимости между величинами с помощью формул имеющихся процессов, уметь выполнять еще два действия: выбирать неизвестную величину, через которую выражать другие величины и выбирать условие, на основе которого составляется уравнение (система уравнений). При этом, составленная модель зависит как от выбора неизвестных, так и от выбора условия составления уравнения.