Числовые характеристики случайных величин

Наиболее часто используемыми числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия.

Понятие математического ожидания очень близко к интуитивному представлению о средней величине и может иметь следующую механическую интерпретацию. Предположим, что на оси абсцисс в точках с координатами помещены массы причем В этом случае математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести данной системы материальных точек .

Определение. Математическое ожидание для дискретных случайных величин определяется как.

. (18).

Для непрерывных случайных величин.

. (19).

В качестве иллюстрации к использованию приведенных формул, найдем математические ожидания для дискретных и непрерывных распределений рассмотренных в предыдущих параграфах.

Прежде всего найдем математическое ожидание для биномиальной случайной величины. Имеем.

Обозначим n-1 = m, а x-1 = y. Тогда.

так как p+q=1 и, следовательно,.

Найдем математическое ожидание для пуассоновского распределения. Для этого нам придется еще раз вспомнить формулу из анализа, согласно которой.

.

Далее, используя определение математического ожидания, имеем.

Если положить, получим.

.

Следовательно, параметр распределения Пуассона является одновременно и его средним, а учитывая возможность пуассоновского приближения к биномиальному распределению, имеем .

Найдем математическое ожидание для равномерного распределения. Имеем.

.

Для нормального распределение математическое ожидание может быть определено как.

Интеграл равен нулю, поскольку отрицательные и положительные значения (имеют одинаковый вес.

Таким образом, один из параметров нормального распределения равен математическому ожиданию или среднему этого распределения.

Используя аналогии из механики, как и для математического ожидания, можно сделать вывод, что изменчивость или разброс случайных величин относительно среднего эквивалентна моменту инерции данной системы материальных точек.

Определение. Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины x от своего среднего, являющееся мерой разброса возможных значений случайной величины, называется дисперсией.

Как мера рассеяния дисперсия имеет ряд математических и статистических преимуществ, которые выявятся при дальнейшем изложении. Размерность дисперсии совпадает с квадратом размерности случайно величины Х. Положительное значение квадратного корня из дисперсии называется стандартным отклонением.

Определим дисперсии для уже рассмотренных дискретных распределений. Нам понадобится следующее тождество.

.

т.е. дисперсия случайной величины Х равна математическому ожиданию квадрата Х минус квадрат математического ожидания.

Определим дисперсию для биномиального распределения. Имеем.

Так как.

то Если заменить (x-2) на y, а (n-2) на m, то.

и так как.

.

То.

(21).

Исходя из того, что имеем.

(22).

Для пуассоновского распределения дисперсия равна.

(23).

Таким образом мы видим, что в пуассоновском распределении математическое ожидание и дисперсия совпадают, что является одним из важных свойств этого распределения.

Определим дисперсии для двух непрерывных распределений, рассмотренных выше: равномерного и нормального, но предварительно запишем еще одно тождество, используемое при расчете дисперсий непрерывных распределений.

Учитывая это тождество, для равномерного распределения имеем.

и с учетом того, что для этого распределения, получим следующее значение для дисперсии:

.

Для того, чтобы определить значение дисперсии для нормального распределения, введем новую переменную.

.

Используя формулу для дисперсии получим.

Этот результат следует из того, что.

.

Таким образом, второй параметр нормального распределения равен дисперсии этого распределения.

Средние и дисперсии играют важную роль при анализе характера вероятностных распределений. Предположим, что Х является непрерывной случайной величиной со средним (математическим ожиданием) и дисперсией. Характер распределения во многом определяется вероятностями того, что Х принимает значения, сильно отличающиеся от среднего. Оценить такие вероятности можно с использованием неравенства Чебышева.

Теорема3. Пусть Хнепрерывная случайная величина со средним и стандартным отклонением. Тогда для любого t>0 вероятность того, что Х принимает значения, отличающиеся от не менее чем на, меньше, т. е.

Доказательство. Разделим диапазон Х на два множества и. По определению,.

Так как второй интеграл неотрицателен, то. Но на множестве имеет место неравенство откуда следует, что.

Интеграл в правой части этого неравенства в точности совпадает с интересующей нас вероятностью. А это значит, что Преобразовывая, получаем то, что требовалось доказать:

Используя ту же схему рассуждений, можно получит доказательство для дискретной случайной величины, так что неравенство Чебышева справедливо для любого распределения вероятностей.

Рассмотрим пример. Известно, что в большой популяции дрозофил 40% особей имеют некоторую мутацию. Какого размера должна быть выборка из этой популяции, чтобы с достоверностью 95% доля особей с данной мутацией составляла от 38% до 42% выборки.

Обозначим интересующий нас объем выборки через n. Можно считать, что мы имеем дело с n повторными экспериментами в схеме испытаний Бернулли с р = 0,4. Тогда Если Х — случайная величина, равная числу мутантных дрозофил в выборке, то Х/n — это доля таких дрозофил и ищется вероятность.

В задаче требуется определить n настолько большое, чтобы приведенная вероятность была меньше 0,05.

В обозначениях неравенства Чебышева имеем. Отсюда следует, что Таким образом, размера выборки в 12 000 особей достаточно для того, чтобы гарантировать от 38% до 42% мутантов в 95% всех таких выборок.

При рассмотрении этого примера не делалось никаких предположений о характере распределения интересующей нас случайной величины. Неравенство Чебышева гарантирует получение результата при любом распределении. Но именно эта общность приводит к тому, что оно приводит к сильно завышенной оценке необходимого числа наблюдений. В следующей главе с использованием нормального приближения будут получены более оптимистичные оценки объема выборки.