Теоретическая часть. 
Аппроксимация экспериментальных данных

аппроксимирующая функция квадратичный Цель работы: составить программу для расчетов коэффициентов линейной, квадратичной, степенной и показательной аппроксимирующих функций.

Аппроксимация — приближение непрерывной функции в таблично заданным значениям дискретной функции.

Аппроксимация, или приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.

Когда обрабатывается выборка экспериментальных данных, то они, чаще всего, представляются в виде массива, состоящего из пар чисел (x[i], y[i]). Поэтому возникает задача аппроксимации дискретной зависимости y (x[i]) непрерывной функцией f (x).

Функция f (x), в зависимости от специфики задачи, может отвечать различным требованиям:

• · Функция f (x) должна проходить через точки (x[i], y[i]), т. е. f (x[i])=y[i], i=1…n. В этом случае говорят об интерполяции данных функцией f (x) во внутренних точках между x[i], или экстраполяции за пределами интервала, содержащего все x[i].
• · Функция f (x) должна некоторым образом (например, в виде определенной аналитической зависимости) приближать y (xi), не обязательно проходя через точки (x[i], y[i]). Такова постановка задачи регрессии, которую во многих случаях также можно назвать сглаживанием данных.
• · Функция f (x) должна приближать экспериментальную зависимость y (x[i]), учитывая, к тому же, что данные (x[i], y[i]) получены с некоторой погрешностью, выражающей шумовую компоненту измерений. При этом функция f (x), с помощью того или иного алгоритма уменьшает погрешность, присутствующую в данных (x[i], y[i]). Такого типа задачи называют задачами фильтрации. Сглаживание — частный случай фильтрации.

Критерии близости функций и могут быть различные. В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной. В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом. Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция (в широком смысле). Пусть задан дискретный набор точек, называемых узлами интерполяции, причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции в этих точках. Требуется построить функцию, проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является. В качестве функции обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом. В том случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная. В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции. Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова), а также определить значение функции даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию). Метод наименьших квадратов В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т. е. определяют такую функциональную зависимость f (x), при которой.

обращается в минимум. Погрешность приближения оценивается величиной.

.

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен :

.

Формула минимизируемой функции примет вид :

.

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по всем переменным, a0, a1,a2,…, am.

Получим систему уравнений:

где k=0,1,…m.

Введем обозначения:

.

Последняя система может быть записана так:

a0ck+a1ck+1+…+ck+mam=bk, где k=0,1,…, m.

Её можно переписать в развернутом виде:

Матричная запись системы имеет следующий вид: Ca=b.

Для определения коэффициентов ak, k=0,1,…, m, и, следовательно, искомого многочлена, необходимо вычислить суммы ck, bk и решить последнюю систему уравнений. Матрица «c» этой системы является симметричной и положительно определенной.

Погрешность приближения в соответствии с исходной формулой составит:

.

Рассмотрим частные случаи m=1 и m=2.

Линейная аппроксимация (m=1).

.

;

.

Отсюда система для нахождения коэффициентов a0 и ai имеет вид:

.

Её можно решить методом Крамера.

Квадратичная аппроксимация (m=2).

.

Или в развёрнутом виде:

Решение системы уравнений Ca=b находится по правилу Крамера.

Аппроксимация показательной и степенной функции Показательная функция :

y=A*ebx.

Логарифмируется выражение.

y = A*ebx и получается Ln y = Ln A + bx* Ln e.

Производится замена Y= Lny, A0= LnA, A1=b.

Подстановка позволяет получить линейную зависимость.

Y =A0+A1*x.

Мы пришли к линейной зависимости. После определения A1 и A0 по методу наименьших квадратов мы получим, что исходный коэффициент A=eA0, а исходный коэффициент.

b=A1.

Степенная функция :

y=A*xk.

В случае степенной функции возьмем десятичный логарифм :

Lgy=lgA+b*lgx.

Производится замена lgy=Y, lg A=A0, lgx=E.

Y=A0+A1*E.

В этом случае после определения A1 и A0 по методу наименьших квадратов запишем, что A=10A0, b=A1.

И можно переписать исходную форму с исходными значениями коэффициентов A и b, которые определили по методу наименьших квадратов.