Построение временного ряда уровня безработицы за 10 месяцев 2010 года в России

• Начальные данные
• 1. Построить временной ряд величины и вычислить ее основные числовые характеристики
• 2. Сгладить ряд методом скользящих средний
• 3. Проверить гипотезы о случайности временного ряда
• 4. Автокорреляционный анализ временного ряда
• 5. Оценить модели краткосрочного прогноза
• 6. Определить степень полиномиального тренда методом переменных разностей
• 7. Построить регрессионную модель временного тренда
• 8. Оценить адекватность трендовой модели
• 9. Дать краткосрочный и долгосрочный прогнозы изменения рассматриваемой величины
• Список литературы

Начальные данные

Временной ряд представляет уровень безработицы за 10 месяцев 2010 года в России. Данные взяты с сайта «Статистическая база данных по российской экономике» (http://stat. hse.ru/hse/indexn.html)

1. Построить временной ряд величины и вычислить ее основные числовые характеристики

Строим график временного ряда.

Вычисляем среднее значение

Дисперсию

среднее квадратическое отклонение

2. Сгладить ряд методом скользящих средний

Проводим линейное сглаживание временного ряда по точкам по формулам

Заданные и сглаженные значения временного ряда заносим в таблицу.

Строим графики этих рядов.

График сглаженного ряда показывает монотонное убывание значений ряда во времени.

3. Проверить гипотезы о случайности временного ряда

Проверяем гипотезу о случайности ряда на основе сравнения средних значений первой и второй половины ряда. Предварительно вычисляем величины:

Проверяем гипотезу о равенстве дисперсий первой и второй половины ряда по критерию Фишера (9):

Из табл.1 находим F_кр= 5,0. Так как 21,89 > 5,0, гипотеза о равенстве дисперсий не принимается.

Так как дисперсии не равны, проверку гипотезы о случайности ряда выполняем методом поворотных точек. Число поворотных точек (т.е. точек, в которых значение больше или меньше значения в соседних точках) равно 3.

Для случайного ряда среднее число поворотных точек и их дисперсия равны

Вычисляем статистику

Следовательно, гипотеза о случайности ряда принимается, и временного тренда нет.

4. Автокорреляционный анализ временного ряда

Проводим автокорреляционный анализ временного ряда.

Вычисляем коэффициенты автокорреляции по формуле

Где, , — средние значения,

а s₁ и s₂ — средние квадратические отклонения рядов u_t и u_t+k.

Предварительно составим вспомогательные таблицы.

В последнем столбце каждой таблицы вычислено среднее значение.

k = 1

Для величины u_t дисперсия Для величины u_{t+1 дисперсия}

.

Коэффициент корреляции

k = 2

Для величины u_t дисперсия Для величины u_{t+2 дисперсия}

.

Коэффициент корреляции временной ряд величина безработица

k = 3

Для величины u_t дисперсия Для величины u_{t+3 дисперсия}

.

Коэффициент корреляции

k = 4

Для величины u_t дисперсия Для величины u_{t+4 дисперсия}

.

Коэффициент корреляции

k = 5

Для величины u_t дисперсия Для величины u_{t+5 дисперсия}

.

Коэффициент корреляции Первые пять значений коэффициентов автокорреляции имеют следующие значения: r_{1 = 1,33; r2 = 1,37; r3 = 1,79; r4 = 4,18; r5 = 2,88.}

По табл.3 находим критические значения для этих коэффициентов при 5-% уровне значимости: r_{1кр = 0,67; r2кр = 0,71; r3кр = 0,75; r4кр = 0,81; r5кр = 0,87. Коэффициент автокорреляции значим, если его значение больше соответствующего критического.}

Построим коррелограмму:

Здесь сплошной линией обозначена автокорреляционная функция, а пунктирной — критический уровень коэффициентов автокорреляции.

Так как для первых 5 значений выполняется условие r_{к rкр, то имеется значимая зависимость между первыми 5 и последними 5 членами ряда. Таким образом, временная длина зависимости составляет 5 временных единиц, что говорит о возможности долгосрочного прогноза на 5 временных шагов вперед.}

5. Оценить модели краткосрочного прогноза

Даем оценку моделей краткосрочного прогноза по следующим формулам:

1) прогноз по одному последнему значению u_n+1 ⁽¹⁾ = u_n

2) прогноз по двум последним значениям u_n+1 ⁽²⁾ = 2u_n-u_n-1

3) прогноз по трем последним значениям u_n+1 ⁽³⁾ = (4u_n+ u_{n-1 -} 2u_n-2) /3

4) прогноз по четырем последним значениям u_n+1 ⁽⁴⁾ = (2u_n+ u_{n-1 -} u_n-3) /2

5) прогноз по пяти последним значениям

u_n+1 ⁽⁵⁾ = (8u_n+ 5 u_n-1 + 2u_n-2-u_n-3 - 4u_n-4) /10

В качестве критических величин погрешностей прогнозных значений_{кр выбираем 10% от заданных значений ряда.}

Числа со знаками «+» показывают достоверные прогнозы. Процент достоверных прогнозов приведен в последней колонке.

Из таблицы следует, что наиболее достоверной, в данном случае, является модель краткосрочного прогноза по двум последним точкам.

6. Определить степень полиномиального тренда методом переменных разностей

Определяем степень полиномиального тренда методом переменных разностей по формулам

Д¹u_t = u_t+1, — u_t, где t = 1, …, N — 1.

Д²u_t = Д¹u_t+1, — Д¹u_t, где t = 1, …, N — 2.

…

Дⁿu_t = Д^n-1u_t+1, — Д^n-1u_t, где t = 1, …, N — n.

Под разностями нулевого порядка понимается сам временной ряд.

На каждом шаге, начиная с n = 0, вычисляют дисперсии разностей n - го порядка по формуле

На каждом шаге для каждых двух (предыдущей и последующей) дисперсий проверяют гипотезу о равенстве дисперсий по критерию Фишера

Если F_кр = F (, N - n_, N - n - 1), то можно принять, что дисперсии отличаются незначимо. В противном случае процедура вычисления разностей и их дисперсий продолжается.

Дисперсия разностей нулевого и первого порядков:

Вычислим значение параметра распределения Фишера и сравним его с критическим значением из табл.1.

Так как F₁ F_1кр, то значимо отличается от .

Проводим далее аналогично сравнение дисперсий и .

Вычислим значение параметра распределения Фишера и сравним его с критическим значением из табл.1.

Так как F₂ < F_2кр, то незначимо отличается от, и степень полиномиального тренда р = 1.

7. Построить регрессионную модель временного тренда

Строим полиномиальный тренд временного ряда степени p = 1:

оценки коэффициентов а и b находятся из системы линейных уравнений:

В нашем случае:

откуда находим а = - 0,292 и b = 9, 207.

Тогда уравнение временного тренда:

Строим графики временного ряда и тренда.

8. Оценить адекватность трендовой модели

Проверяем адекватность трендовой модели. Сначала вычисляем трендовые значения и значения остатков ряда по формуле _t = u_{t -} y_t. Результаты заносим в таблицу.

а) Проверяем гипотезу о случайности ряда остатков методом поворотных точек. Здесь Число поворотных точек заданного ряда находим из графика ряда, d = 5 Вычисляем статистику. Гипотеза о случайности ряда остатков принимается.

б) Далее проверяем гипотезу о равенстве нулю математического ожидания остатков ряда по статистике где — среднее значение ряда остатков, — среднее квадратическое ряда остатков Так как вычисленное значение статистики t меньше критического t_кр = 2,23 из табл.2, то гипотеза принимается.

Трендовая модель адекватна, потому что обе гипотезы приняты.

9. Дать краткосрочный и долгосрочный прогнозы изменения рассматриваемой величины

Кратковременный прогноз временного ряда на один шаг (один месяц) вперед выполняем по формуле прогноза по двум последним значениям

u_n+1 ⁽²⁾ = 2u_n-u_n-1, u₁₁ ⁽²⁾ = 2· u₁₀-u₉ = 2· 6,8 — 6,6 = 7,0

Долговременный прогноз на три шага вперед временного ряда производим по найденному уравнению линейного тренда

Таким образом, средняя прогнозируемый уровень безработицы за 11 месяц 2010 года составит 7%, а за 1 месяц 2011 года 5,41%.

1. Методические указания к работе

2. Степанов В. Г. Эконометрика. М., 2010.