Предел последовательности. 
Теорема Штольца и ее применение

Введение

Глава I. Предел числовой последовательности

1.1 Историческая справка

1.2 Основные понятия и определения числовой последовательности

1.3 Определение предела числовой последовательности

1.4 Свойства предела последовательности

1.5 Теорема Штольца Глава II. Практическое приложение предела последовательности, свойств предела, теоремы Штольца

2.1 Примеры вычисления предела последовательности

2.2 Применение последовательности в экономике

2.3 Применение предела последовательности в физике и геометрии

2.4 Практическое применение теоремы Штольца Заключение Литература

Введение

Понятие предела занимает одно из центральных мест в математике и является фундаментальным понятием математического анализа. Современная теория предела является результатом обобщения и совершенствования очень древних и интуитивных представлений об этом понятии.

Происхождение понятия предела, корни которого уходят в глубокую древность, связано с определением площадей криволинейных фигур и объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями. Идея предела выдвигалась Евклидом (365 г. до н. э.), Аристотелем (287- 212 г.г. до н. э.) и другими математиками древности. Позднее попытка ввести понятие предела была сделана И.Ньютоном. Он ввел специальный термин limes (предел).

В конце XVIII в. применение предела широко пропагандировал русский математик С. Е. Гурьев. Понятие производной, дифференциала и интеграла, как и весь математический анализ, ныне основываются на разработанном в XIX в. методе пределов или методе бесконечно малых, именно тогда понятие предела получило научное определение, которое можно описать с помощью математических неравенств. Это предало теории пределов необходимую строгость, позволило широко использовать ее в практических приложениях и сделало фундаментом построения современной математики. Особая заслуга в этом принадлежит французскому математику О.Коши.

Раздел: «Предел последовательности», является одним из наиболее важных в курсе математического анализа. Здесь закладываются основы всего курса. Без глубокого усвоения таких понятий, как функция, предел, непрерывность, без знания основных теорем о пределах и непрерывных функциях, без умения вычислять пределы невозможно дальнейшее изучение материала.

Выбранная тема курсовой работы: «Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение», является весьма значимой и актуальной, так как в учебниках не всегда даны точные определения понятия предела, непрерывности, доказательства свойств пределов и непрерывных функций, а в данной работе весь материал систематизирован и понятно изложен.

Объект исследования. Процесс изучения предела числовой последовательности в курсе математического анализа.

Предмет исследования. Изучение теории предела последовательности, теоремы Штольца и её применение при решении задач на доказательство сходимости последовательности.

Цель исследования. Изучить аналитическую сущность предела последовательности, выявить возможности применения предела последовательности и теоремы Штольца.

Задачи:

a) изучить и проанализировать научную, учебную и методическую литературу,

b) систематизировать материал по данной теме,

c) показать многообразие практического применения предела последовательность в экономике, геометрии и физике,

d) показать практическое применение теоремы Штольца при решении задач на доказательство сходимости последовательности.

Глава I. Предел числовой последовательности

1.1 Историческая справка

К понятию предела вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью исчерпывания метода. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории пределов. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие предела не было сформулировано.

Новый этап в развитии понятия предела наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальеры, Б. Паскаль и другие широко используют при вычислении площадей и объёмов " неделимых" метод, метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положительных конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента, П. Гульдин, X. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия предела появляются попытки создать общую теорию пределов. Так, И. Ньютон первый отдел первой книги («О движении тел») своего труда «Математические начала натуральной философии» посвящает своеобразной теории пределов под названием «Метод первых и последних отношений», которую он берёт за основу своего флюксий исчисления. В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию «потенциальной» бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положительной конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о пределе. Понятие предела, намечавшееся у математиков XVII в., в XVIII в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер, Ж. Д’Аламбер, Л. Карно, братья Бернулли и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа.

Современная теория пределов начала формироваться в начале XIX в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений и т. п.). Впервые в работах О. Коши понятие предела стало основой построения математического анализа. Им были получены основные признаки существования предела последовательностей, основные теоремы о пределах и, что очень важно, дан внутренний критерий сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил интеграл как предел интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие предела последовательности и функции оформилось на базе теории действительного числа в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия предела следует отметить понятия предела, данные в работах С. О. Шатуновского (опубликованы в 1923 г.), американских математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита (1922 г.) и французского математика А. Картана (1937 г.).

1.2 Основные понятия и определения числовой последовательности

Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей:

1) 1, 2, 3, 4, 5, …- последовательность натуральных чисел.

2) 2, 4, 6, 8, 10, …- последовательность четных чисел.

3) 1, 3, 5, 7, 9, …- последовательность нечетных чисел.

4) 1, 4, 9, 16, 25, …- последовательность квадратов натуральных чисел.

5) 2, 3, 5, 7, 11, …- последовательность простых чисел.

Число членов каждой последовательности бесконечно. Все перечисленные последовательности, кроме последнего примера, являются заданными в виду того, что для каждой из них известен общий член, то есть правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член не известен, однако, еще в III в. до н.э. александрийский ученый Эратосфен указал способ получения n-го её члена («решето Эратосфена»).

Определение 1. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2,…, n,… ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число xn, то множество вещественных чисел, ,, …,, (1) расположенных в порядке возрастания номеров n, называется xn числовой последовательностью.

Числа называются элементами или членами последовательности (1).

Например, обозначается последовательность 1,, …,, …, а

{1+(-1) ⁿ} - последовательность 0, 2, 0, 2, …

Различают следующие виды последовательности:

а) монотонные последовательности;

b) ограниченные и неограниченные последовательности;

c) бесконечно малые последовательности;

d) последовательности Аршона;

e) последовательность, устанавливающаяся приближенным методом (процесс радиоактивного распада).

Монотонные последовательности

К монотонным последовательностям относят убывающие, невозрастающие, возрастающие, неубывающие последовательности.

Определение 2. Последовательность an называется убывающей, если каждый предыдущий член больше последующего, то есть если

> > >…> > > …

Или последовательность называется убывающей, если an+1 < an, для всех n.

Определение 3. Последовательность an называется невозрастающей, если? , для всех n, или, другими словами, каждый предыдущий член не меньше последующего.

Определение 4. Последовательность an называется возрастающей, если каждый последующий член больше предыдущего, то есть

< < < … < < < … <, для всех n.

Определение 5. Последовательность an называется неубывающей, если? , для всех n, или, другими словами, каждый последующий член не меньше предыдущего.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 6. Последовательность an называется ограниченной, если существуют числа М и m такие, что для любого n имеет место равенство m? an? M. В противном случае она называется неограниченной.

Например, последовательность, an = и an = (-1) ⁿ ограниченные, так как 0? ? 1 и -1? (-1) ⁿ? 1, для любого nN. Последовательность an = n; an = -n; an = (-1) ⁿ • n являются ограниченными.

Определение 7. Последовательность an = n будет ограничена снизу, так как 1? n для любого n, nN и ограничена сверху, так как не существует числа М такого, что n ? М для любого n, nN. Аналогично, последовательность an = -n; является ограниченной сверху и ограниченной снизу, последовательность an = (-1)ⁿ являются неограниченной и сверху, и снизу.

Геометрическая ограниченность последовательности an означает существование отрезка [m; M], на котором помещены все члены этой последовательности. Справедливость этого утверждения следует из того факта, что все члены ограниченной последовательности удовлетворяют неравенству m? an? M. Очевидно, что последовательность an будет ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число B, что | an |? B, для любого n. Действительно, достаточно положить B равным наибольшему из чисел | m| и | M|.

Бесконечно малые последовательности

Определение 8. Последовательность an называется бесконечно малой, если для любого е > 0 существует номер N, начиная с которого каждый член последовательности an по модулю меньше е: (е > 0) (N) (n? N) | an | <�е.

Определение 8.1. Бесконечно малая последовательность— это последовательность, предел которой равен 0.

Если некоторый член последовательности an удовлетворяет неравенству | an | < е или, что-то же самое, неравенству — е < an < е, то он лежит внутри интервала (-е ;е); если неравенство | an | < е выполняется для всех n ? N, то член последовательности с номером N и все следующие за ним члены лежат внутри интервала (-е ;е). Таким образом, можно дать следующее геометрическое истолкование бесконечно малой последовательности: какой бы интервал (-е ;е) мы ни взяли, вся последовательность, начиная, с номера N лежит внутри этого интервала.

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 1. Если a1, a2, …, an, …- монотонно возрастающая последовательность натуральных чисел и С > 0, то последовательность, , …,, … бесконечно мала.

Понятие бесконечно малой последовательность оказывается весьма полезным при изучении пределов. Поэтому имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы число а было пределом последовательности a1, a2, …, an, …- необходимо и достаточно, чтобы последовательность a1 —a, a2 - a,…, an - a, … была бесконечно мала.

Следствие. Если последовательность a1,a2,…, an,… имеет предел а, то

an = а + вn,

где {вn} — бесконечно малая последовательность.

Обратно, если

an = а + вn,

где {вn} — бесконечно малая последовательность.

Свойство 1. Стационарная последовательность является бесконечно малой, если С = 0.(То есть = ==…= 0).

Свойство 2. Свойство последовательности быть бесконечно малой не нарушиться, если отбросить конечное число членов, либо приписать.

Свойство 3. Если an — бесконечно малая последовательность и выполняется условие вn < an, то вn — бесконечно малая последовательность.

Свойство 4. Бесконечно малая последовательность всегда ограниченная.

Свойство 5. Сумма двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малой последовательностью.

Свойство 6. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности, есть бесконечно малая последовательность.

Свойство 7. Произведение бесконечно малой последовательности и любого числа, есть бесконечно малая последовательность.

Последовательности Аршона

Назовем последовательность цифр повторной последовательностью, если в ней есть хотя бы одна пара рядом стоящих одинаковых групп цифр. Например, последовательности: 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 2, 1 и 1, 2, 2, 7, 6, 2, 7, 6, 8 — повторные последовательности, а последовательности 4, 2, 1, 2, 3, 2, 3 и 3, 2, 3, 1, 2, 7 не являются повторными (бесповторными). Через Б (n) обозначим множество бесповторных последовательностей длины n, а через |Б (n)| — их число. Интуитивно: чем длиннее последовательность, тем вероятнее, что в ней найдутся две рядом стоящие группы цифр. И в самом деле, если наугад выписывать достаточно длинную последовательность, то наверняка эта последовательность окажется повторной.

Легко доказать, что все последовательности длины больше трёх, составленные из двух цифр 1 и 2 — повторные. Однако из трёх различных цифр можно составить как угодно длинную бесповторную последовательность. Этот факт в 1937 году доказал советский математик С. Е. Аршон.

Аршон предложил индуктивный способ построения бесповторных последовательностей, заключающийся в следующем:

Обозначим через бесповторную последовательность 1, 2, 3. Предположим, что бесповторная последовательность уже построена. Последовательность получается из неё так.

Если число — четно и на — м месте в последовательности стоит 1, то последовательность приписывается тройка цифр 3, 2, 1; если стоит 2, — то тройка 1, 3, 2; если 3, — то тройка 2, 1, 3.

Если число — нечетно и на — м месте в последовательности стоит 1, то последовательность приписывается тройка цифр 1, 2, 3; если стоит 2, — то тройка 2, 3, 1; если 3, — то тройка 3, 1, 2.

Например: в частности,

= 1, 2, 3, 1, 3, 2 (= 2 — число четное, и на втором месте в последовательности стоит 2);

= 1, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 2 (= 3 — число нечетное, и на третьем месте в последовательности стоит 3);

= 1, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1 (= 4 — число четное, и на четвертом месте в последовательности стоит 1).

Последовательность, устанавливающаяся приближенным методом (процесс радиоактивного распада)

Часто встречаются последовательности, которые? устанавливаются? лишь приближенно.

Рассмотрим процесс радиоактивного распада. Предположим, что взяли кусок радиоактивного вещества весом в 1024 гр., причем за одни сутки вес вещества уменьшается в результате распада вдвое. Будем взвешивать кусок, на весах, чувствительность которых равна 10 гр. Вес вещества даёт последовательность: 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1,, , …(I).

Ясно, что по истечению 7 суток, когда вещества осталось 8 гр., весы с чувствительностью 10 гр. не дадут отличить истинное положение вещей от полного отсутствия, данного вещества.

Весы с чувствительностью в 0,1 гр. покажут отсутствие вещества лишь по истечении 14 суток. И какой бы чувствительности весы мы ни взяли, наступит момент, начиная с которого мы не сможем выяснить с их помощью, осталось вещество или нет.

Итак, последовательность чисел (I) обладает следующими свойствами:

Какое бы число е > 0 мы не взяли, найдётся номер N, начиная с которого члены последовательности отличаются от нуля меньше, чем на е.

Если бы взяли смесь, состоящую из 1024 гр. радиоактивного вещества и 2000 гр. нерадиоактивной примеси, то в ходе радиоактивного распада вес этой смеси приближался бы к е > 0 весы мы не взяли, разность между весом смеси и весом в 2000 гр. станет меньше е. И иначе, любые весы, начиная с некоторого момента, покажут, что осталось 2000 гр. смеси. На самом же деле вес смеси изображается последовательностью: 3024, 2512, 2236, 2128, 2064, 2034, 2016,2008, 2004, 2002, 2001, … и т. д… Эта последовательность не устанавливается на числе 2000, но её члены по мере возрастания номера приближаются к 2000.

1.3 Определение предела числовой последовательности

Понятие предела — фундаментальное понятие математического анализа.

Геометрический смысл понятия предела: известно, что неравенство < е задает часть числовой оси, лежащую между точками a — е и a + е, то есть промежуток радиуса е с центром в точке a. Мы назвали этот промежуток е — окрестностью точки a, а е — радиусом окрестности.

Определение 9. Число а называется пределом последовательности {an}, если, какую бы окрестность точки a мы не выбрали, найдется номер N, начиная с которого все точки последовательности {an} попадут в эту окрестность (рис 1.)

Рис 1.

Иными словами, вне любой, сколь угодно малой окрестности точки а лежит лишь конечное число членов нашей последовательности.

Определение 10. Число a называют пределом числовой последовательности {an}, если {an — a} - бесконечно малая последовательность. Обозначается:

an =a.

Говорят так же, что последовательность an сходится. Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся.

Определение 11. Число b называют пределом числовой последовательности xn, если е > 0 существует номер N, начиная с которого выполняется неравенство < е. Что короче:

(е > 0) (N) (n ? N) |xn - b| < е.

Пусть даны последовательности, , …, …и, …, ,… Последовательность:

^a), ,…,…называется суммой этих последовательностей;

^b), ,…,…называется разностью этих последовательностей;

^c), ,…,…называется произведением этих последовательностей;

^d), ,…,…называется частным (при условии, что все элементы последовательности были отличны от нуля) этих последовательностей.

1.4 Свойства предела последовательности

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. Пусть последовательность xn сходится. Предположим, что её предел не является единственным, то есть что одновременно верны равенства:

xn = b иxn = c, где bc.

Это значит, что все члены последовательности, кроме, быть может, конечного числа, лежат в любой окрестности как точки b, так и точки с. Чтобы прийти к противоречию этого предложения, выберем непересекающиеся окрестности (b — е, b + е) и (с — е, с + е) точек b и c.

Рис. 2

По предположению, обе эти окрестности содержат все члены последовательности, кроме конечного числа. Но тогда, начиная с некоторого номера N, все члены последовательности должны были бы принадлежать обеим окрестностям. А это невозможно, так как окрестности не имеют общих точек. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно, и поэтому b = c.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть xn = b. Воспользуемся определением последовательности «на языке бесконечно малых «. Имеем xn = b + an, где an ^- бесконечно малая последовательность. Стационарная последовательность b и бесконечно малая последовательность an являются ограниченными, тогда и их сумма также ограничена, то есть xn — ограничена.

Что и требовалось доказать.

Теорема 3. (О предельном переход в неравенствах). Если последовательность xn и yn сходятся и xn ? yn для всех n, то

xn ? yn,

Доказательство. Пусть xn = b, yn = с. Воспользуемся определением предела «на языке еN». предположим противное, что b > c. Выберем е > 0, так чтобы, выполнялось неравенство: с + е < b — е. Поскольку xn = b, то существует номер N, начиная с которого выполняется неравенство | xn — b| < е, или, что — то же самое,

b — е < xn < b + е (I)

Рис. 3

Аналогично, так как yn = c, то существует номер N, начиная с которого выполняется неравенство | yn — c| < е, или

с - е < yn < с + е (II)

Обозначим наибольшее из чисел N, N, через N. Тогда при n ? N будут выполнены неравенства (I) и (II). Поэтому yn < с + е < b — е < xn, то есть xn > yn, что противоречит условию xn? yn для всех n. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, b ? c. Что и требовалось доказать.

Замечание. Теорема 3 верна только для нестрогих неравенств: xn < yn, не следует, что

xn < yn,

Рассмотрим, например, две последовательности: xn = и yn =. Ясно, что xn < yn, но xn = yn = 0. В то же время этот пример противоречит теореме о предельном переходе под знаком нестрогого неравенства вместо xn < yn можно написать xn? yn, а вместо xn < yn можно написать xn? yn. Тогда получаем

xn? yn xn? yn.

Следующие два свойства вытекают непосредственно из теоремы о предельном переходе в неравенстве.

Следствие1. Если все члены последовательности неотрицательны, то предел последовательности есть неотрицательное число.

Следствие 2. Если все члены сходящейся последовательности неположительны, то предел последовательности есть неположительное число.

Теорема 4. (О промежуточной переменной или о двух постовых).

Если xn = yn b и для всех n справедливо неравенство xn? yn? zn^, то yn = b.

Доказательство. Воспользуемся определением предела «на языке еN». Возьмем произвольное е > 0. Так как yn = b, то, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство |xn - b| < е, или что — то же самое,

b — е < xn < b + е (III)

Аналогично, поскольку zn = b, начиная, с некоторого номера N будет выполняться неравенство |zn - b| < е, или что — то же самое,

b - е < zn < b + е (IV)

Обозначим через N наибольший из номеров N, N, получим, что для всех n ? N будет выполнены неравенства (III) и (IV). Воспользовавшись ими и заданным неравенством xn? yn? zn, получим

b — е < xn ? yn ? < b + е.

Итак, мы доказали следующее:

(е > 0) (N) (n ? N) | yn - b| < е,

а это означает, что yn = b. Что и требовалось доказать.

Признаки существования предела последовательности

Выше было доказано, что любая сходящаяся последовательность является ограниченной. Однако, не всякая ограниченная последовательность имеет предел. Например, ограниченная последовательность 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, … не имеет предела.

Одним из условий, обеспечивающих существование предела, является монотонность ограниченной последовательности.

Пример 1.

Последовательность, ,, …,, …ограничена и возрастает. Эта последовательность также сходится: =1.

Пример 2.

Последовательность 1,, , …,, … ограничена и убывает. Эта последовательность также сходится: =0.

Таким образом, совокупность двух указанных признаков (ограниченность и монотонность) являются достаточным условием сходимости последовательности. То есть, справедливы следующие теоремы.

Теорема 5. Если последовательность возрастает (хотя бы в нестрогом смысле) и ограничена сверху, то она сходится.

Доказательство. Согласно условию, последовательность xn ограничена сверху, всякое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань:

b=sup (xn).

Рассмотрим произвольную еокрестность точки b.

Так как b — е уже не является верхней границей для множества xn, то найдется номер N такой, что xn > b - е. По условию, последовательность xn возрастает:? ? …

Значит, все члены с номерами, большими N, находятся между xn и b (b- одна из границ), то есть, во всяком случае, все они принадлежат еокрестность точки b. На «языке окрестностей» это и означает, что xn = b. Что и требовалось доказать.

Теорема 6. Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится.

Данная теорема доказывается аналогично.

Второй замечательный предел

где e — Эйлерово число.

Доказательство. Рассмотрим дополнительную последовательность

.

Теперь докажем, что последовательность

xn = :

1) Монотонна (убывающая),

2) Ограничена снизу.

Для того чтобы выполнялось условие 1, достаточно показать: > 1. Тогда получаем:

>

· .

Показали, что > 1, следовательно последовательность убывающая.

Для того чтобы выполнялось условие 2, необходимо найти число m, такое что x_n ?m — нижнюю границу. Применяя неравенство Бернулли для (при nN и для всех h > -1 выполняется неравенство) получаем:

тогда m=2.

Значит, последовательность ограничена снизу числом 2. Таким образом, два условия выполнено, следовательно, последовательность имеет предел, который обозначили Эйлеровым числом ?. То есть

.

Тогда найдем предел этой последовательности при

n > 0, имеем

=⁼ = = e

Следовательно, .

Число ? является одним из самых замечательных чисел в математике. Чтобы вычислить ?, надо взять достаточно большое значение значения n и вычислить. Однако, этот путь вычислений очень утомителен. Чтобы, например, получить ответ с точностью до 0,001, надо взять примерно n = 3000. Ясно, что возводить чисто 1+ в 3001 степень весьма затруднительно. Существует более простые и быстрые методы вычисления. Вот несколько первых десятичных знаков иррационального числа ?:

? = 2,7 182 818 284 590…

Вычисление многих пределов последовательностей связано с числом ?. При этом используем следующее утверждение:

Если an = a и bn = b, причем хотя бы одно из чисел a, b отлично от нуля, то

.

1.5 Теорема Штольца

Во многих случаях для исследования сходимости частного двух последовательностей и оказывается полезным следующее утверждение.

Теорема (Штольца). Пусть — возрастающая бесконечно большая последовательность, и пусть последовательность сходится и имеет предел а. Таким образом,

= .

Доказательство. Поскольку последовательность сходится и имеет пределом число а, то последовательность, где

= - а,

бесконечно малая. Пусть N — любой фиксированный номер и n > N. Используя выражение для, рассмотрим следующую серию неравенств:

а() + (),

а() + (),

а() + (),

а() + ().

Так как — возрастающая бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера, её элементы положительны. Будем считать, что при n ? N, > 0. Тогда из последнего равенства получим

— а = + .

Поскольку последовательность — возрастающая, то разности, К = N, N+1, …, n-1, … положительны. Поэтому из последнего соотношения имеем:

? + (1)

Теперь докажем, что последовательность сходится и имеет предел а. Для этого достаточно доказать, что для любого положительного е можно указать номер N такой, что при n ? N, выполняется неравенство < е. По данному е > 0 выберем номер N так, чтобы при n ? N выполняется неравенство < (это возможно, поскольку последовательность бесконечно малая). Далее, выберем номер N ? N так, чтобы при n ? N выполнялось неравенство < е. Такой выбор номера N возможен, поскольку число фиксировано, а последовательность — бесконечно большая последовательность, и поэтому последовательность — бесконечно малая.

Пусть теперь n ? N. Из неравенства (1) имеем

<, или < .

Так как при n? N, < и > 0, то? 1. Поэтому, при n ? N из последнего неравенства имеем < е. Что и требовалось доказать.

Замечания. Если — возрастающая бесконечно большая последовательность, а последовательность также бесконечно большая и стремится к бесконечности определенного знака, то последовательность бесконечно большая.

Глава II. Практическое приложение предела последовательности, свойств предела, теоремы Штольца

2.1 Примеры вычисления предела последовательности

числовой последовательность предел штольц

Пример 1. Доказать, что = .

Решение. Рассмотрим последовательность an = -. Имеем

an = =.

Поскольку an = ^- бесконечно малая последовательность. Это означает, что

= .

Ответ: = .

Пример 2. Вычислить предел .

Решение.

=

===.

Ответ: =.

Пример 3. Вычислить предел = ,

Решение.

= == при делим на n в высшей степени, т. е.

===2.

Ответ: =2.

Пример 4. Вычислить предел =.

Решение.

= ===

==0.

Ответ: =0.

Пример 5. Вычислить предел =.

Решение.

===

===.

Ответ: =.

Пример 6. Вычислить предел последовательности .

Решение.

Разделим числитель и знаменатель на, получаем

=.

Предел числителя равен 2, а знаменатель бесконечно мал. Следовательно,

= ?.

Ответ: = ?.

Правило. Если общий член последовательности является алгебраической дробью от n, то есть если

то:

a) при k = m имеем:

b) при k < m имеем:

c) при k > m имеем:

Пример 7. Вычислить предел последовательности: .

Решение.

Используя данные из примера 10, заключаем

=,

произведя вычитание дробей, получим

.

Заметим,

=.

Полагая равным числителю этой дроби, а — знаменателю, применив теорему Штольца:

.

Но, а ,

так, что окончательно,

.

Ответ: =.

Пример 8. Вычислить предел .

Решение.

В выражение, стоящим под знаком предела раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим

=,

так как, разделим числитель и знаменатель наивысшую степень, тогда

=.

Ответ: .

Пример 9. Найти предел .

Решение. Как и в примере 12, делим числитель и знаменатель на наивысшую степень, получаем

==.

Ответ: =0.

Пример 10. Доказать, что .

Решение.

Возьмем число > 0. Его можно представить в виде:, где > 0. По формуле бинома Ньютона имеем:

.

При n > 2,, и следовательно,. Положим. Тогда, и последнее неравенство перепишем в виде: или. Извлекая квадратный корень, имеем:. Пользуясь теоремой 4 (0 =), получим, что = 0. Значит,

.

Что и требовалось доказать.

Ответ: .

Пример 11. .

Найти: .

Решение.

.

Ответ: =3.

Пример 12. Доказать, что последовательность имеет предел, равный 1.

Решение. Преобразуем выражение для :

.

Так как, то имеет место неравенство:. Вследствие того, что и, то по теореме 4 получим, что

.

Ответ: .

Пример 13. Доказать существование предела последовательности с общим членом .

Решение. При любом n? 1 выполняется неравенство

.

Поэтому последовательность монотонно и возрастает. Далее, при n? 1 имеет место неравенство n ?, а поэтому

.

Итак, последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то есть выполняется условие теоремы 5. Следовательно, существует предел последовательности .

Ответ: существует.

Пример 14. Пользуясь определением, доказать, что последовательность, есть бесконечно малая, то есть что ^.

Решение. Мы должны показать, что для любого, такое, что для всех n>N величина <. Имеем:

=<.

Для каждого n, удовлетворяющего неравенству <, то есть для n>, будет справедливо и неравенство <.

Следовательно, за N можно взять. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Пример 15. Пусть q — число, удовлетворяющее условию: > 1. Доказать, что, то есть что последовательность бесконечно большая.

Решение. Так как > 1, то положив, видим, что h > 0. Тогда по неравенству Бернулли:

.

Так как все слагаемые в последней сумме положительны, то >.

Последовательность бесконечно большая. Значит, и — бесконечно большая последовательность, то есть

.

Ответ: .

При нахождении пределов переменных величин, и в частности последовательностей, часто оказывается полезной теорема о пределе промежуточной переменной.

Пример 16. Доказать, что последовательность не имеет предела.

Решение. Перепишем в виде:

.

Если n — четное число, то

^,

если n — нечетное число, то

.

Следовательно, если и пробегает четные значения, то, если нечетные значения, то .

Но если бы последовательность имела предел а, то и всякая ее подпоследовательность имела бы тот, же предел. Отсюда следует, что данная последовательность не имеет предела.

Ответ: не имеет предела.

Замечание. Под частичной последовательностью понимают, любую последовательность, получающуюся из данной удалением некоторых ее членов или даже удалением бесконечного множества их.

2.2 Применение последовательности в экономике

На финансовом рынке кредитор получает доход от предоставления денег в долг в виде, например, помещения денег на сберегательный счет, покупки акций, выдачи ссуды и т. д. Получаемый доход называется процентами и определяется кредитной ставкой.

Различают два вида процентных ставок: простые и сложные. Начисления при ставке простого процента предполагает применение ставки только к первоначальной сумме на протяжении всего срока долга. Пусть — наращенная сумма долга через периодов после предоставления ссуды в размере денежных единиц, а простая ставка процента за период равна i процентов. Тогда в каждом периоде процентные начисления постоянны и равны. Найдем наращенную сумму долга в каждом из периодов:

.

Данная формула

n = 0,1,…,

называется формулой простых процентов, — множителем наращения.

Рассмотрим теперь, как изменяется сумма долга при начислении сложного процента. В этом случае доход определяется применением процентной ставки к первоначальной сумме вместе с начисленными в предыдущих периодах процентами.

При первоначальной сумме P и сложной ставке за период начисления i% наращенная сумма меняется следующим образом:

, ,

Формула:

n = 0,1, 2,…,

называется формулой сложных процентов. (1)

Пример 22.

Пусть ссуда в 2000 рублей предоставляется на пять лет при простой ставке 3% годовых. Тогда наращенная сумма через пять лет составит

S₅ = 2000(1+5· 0,03) = 2300,

При той же ставке сложных процентов сумма через пять лет составит:

S₅ = 2000(1+0,03)⁵ = 2319,

Очевидно, что сумма растет быстрее при сложной ставке процента, при этом рост будет выше при большей ставке процента.

Отметим, что формулы типа (1) используются в демографических расчетах (прирост народонаселения) и в экономических прогнозах (увеличение валового национального продукта).

Если предположить, что вклады вносятся каждый период, то по формуле (1) легко подсчитать общую сумму дохода.

Используя формулу для нахождения суммы геометрической прогрессии, получим:

. (2)

Ответ:

Пример 23.

Университет производит замену персональных компьютеров каждые три года. При этом университет может выделять 30 000 рублей ежегодно, размещая их под 8% годовых. Какая сумма поступит в распоряжение университета по окончании трехлетнего срока?

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся формулой (2), тогда имеем:

.

Ответ:

Пример 24.

Компании необходимо производить замену оборудования каждые 8 лет. Для этого выделяются определенные средства. Если компания может выделить 100 000 рублей ежегодно и разместить их под 4% годовых, то какая сумма будет в ее распоряжении по окончании восьми лет?

Решение. Пусть первоначальный депозит (сумма денег, помещённая вкладчиком в банк на определённый или неопределённый срок. Банк пускает эти деньги в оборот, а в обмен выплачивает вкладчику проценты) помещен в банк под i=100% годовых, тогда через год сумма депозита удвоится. Предположим, что через полгода счет закрыт с результатом и эта сумма снова помещается на депозит. В конце года депозит будет равен

.

Аналогично, при ежеквартальном размещении депозит в конце года будет равен

.

Если ежемесячно повторять ту же операцию, то

при ежечасной операции

.

Заметим, что последовательность значений увеличения первоначального вклада совпадает с последовательностью, предел которой равен .

В общем случае, если i -процент начисления и год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита будет равна:

или .

Введем новую переменную, при n®—Ґ получим m ®—Ґ.

.

Данная формула называется формулой непрерывных процентов.

Ответ:

Пример 25.

Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

(Инфляция — процесс уменьшения стоимости денег, в результате которого на одинаковую сумму денег через некоторое время можно купить меньший объём товаров и услуг).

Решение. Используем формулу сложных процентов (1), имеем:

или ,

то есть инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

Ответ: в 6 раз.

Пример 26.

Пусть в некоторый фонд вносится разовый взнос и лицо, которое произвело этот взнос, получает определенные суммы денег через определенные промежутки времени. В такой ситуации наиболее распространенной формой выплаты является договор об аннуитете. Оценим стоимость аннуитета (периодически уплачиваемая денежная сумма (взнос, рента, доход)) на момент заключения договора. Заметим, что данная задача является обратной для выше рассмотренной. Обозначим каждую выплату как S, процентную ставку как i%, а , — процентный коэффициент, n — период действия аннуитета. По формуле (1) будем иметь текущую стоимость выплаты, произведенной в конце года n

Общая стоимость аннуитета V является суммой всех выплат:

Тогда используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получим:

. (3)

Ответ:

Пример 27.

Определить текущую стоимость аннуитета при регулярных выплатах в размере 15 000 рублей ежегодно в течение 5 лет и процентной ставке в размере 4% годовых.

Применяя формулу (3), получим:

.

Для того, чтобы приобрести аннуитет, нужно заплатить один раз, и затем можно получать регулярные ежемесячные или ежегодные выплаты. В предыдущем примере текущая стоимость аннуитета равна 66 777 рублей. Если Вам предлагают купить данный аннуитет за 60 000 рублей, то данная стоимость его, ниже текущей, и это выгодное предложение. Однако если для получения ежегодных выплат в размере 15 000 рублей Вам предлагают заплатить 73 000 рублей, то следует проанализировать данное предложение.

2.3 Применение предела последовательности в физике и геометрии

Нам знакомы приложения теории пределов в геометрии. Например, площадь круга, объем цилиндра, конуса и шара были определены, а затем и вычислены как соответствующие пределы.

Укажем другой способ использования понятия предела в решении задач, который называется методом суммирования. Покажем идею этого метода на решение некоторых задач физики. При решении мы будем пользоваться известными формулами суммы квадратов этих чисел. Записывать соответствующие суммы для краткости будем с помощью специального знака (греческая буква «сигма»). Таким образом,

.

Пример 28.

Определить давление р, производимое водой, наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, имеющих длину а=50 см., высоту b=30 см.

Решение. Согласно закону Паскаля давление жидкости распространяется во все стороны равномерно и направлено всюду перпендикулярно к поверхности сосуда. Величина этого давления на площадку равна весу столба жидкости, высота которого равна глубине этой площадки, а основание — её площади.

Кроме того, если стенку разбить на отдельные полоски, то давление на всю стенку будет совпадать с суммой давлений на эти полоски. Этим мы и воспользуемся для решения задачи.

Чтобы подсчитать давление на стенку аквариума, мы разобьем её высоту b на n равных частей и через точки деления проведем отрезки, параллельные стороне а.

В результате вся стенка аквариума разобьется на тонкие горизонтальные слои в форме прямоугольников со сторонами а и (рис 4.)

Рис. 4

При достаточно не большом n высота горизонтального слоя, равная, будет очень малой, и мы можем считать, что все точки k-го слоя находятся на одной и той же глубине, равной