Моделирование САР с объектами при отсутствии в них самовыравнивания

1. Аппроксимация переходных характеристик

1.1 Анализ методов аппроксимации кривых разгона

Аппроксимация переходных характеристик ОР обычно включает в себя 2-а этапа:

1. выбор общей аналитической формулы для аппроксимируемой характеристики;

2. определение оптимальных значений коэффициентов этой характеристики из условия минимума принятого критерия в приближении характеристик.

Аппроксимируемая переходная характеристика h(t) объекта обычно выбирается в виде, которому соответствует оператор, представляющий дробно-рациональную функцию от p с добавлением в случае необходимости транспортного запаздывания:

(1.1)

Однако при выборе критерия приближения для нахождения коэффициентов характеристики появляются значительные трудности, в частности, следует осторожно использовать распространенный метод наименьших квадратов (минимум квадрата невязок, их сумма). Обусловлено это тем, что применение такого метода позволяет получить приближение h(t) в среднем на всем диапазоне ее измерения. Между тем аппроксимация переходных характеристик не является самоцелью, она нужна лишь для последующего построения системы регулирования. Соответственно при использовании методов синтеза и качестве полученной аппроксимации свидетельствует не только близость самих h(t), но и близость соответствующих им частотных характеристик в диапазоне частот существенных для разработанной системы. При этом следует иметь в виду, что этот диапазон для ПИ и ПИД-регуляторов смещается в высокочастотную область (2−3 квадрант), в пределах которой частотные характеристики объекта по модулю становится небольшой по сравнению с ее низкочастотной областью. Значит может возникнуть такая ситуация, когда внешне аппроксимирование вполне удовлетворительно действительно может оказаться совершенно не пригодной для использования ее в расчетах из-за недопустимо большой относительной погрешности аппроксимации в существенном частотном диапазоне. Таким образом, сама постановка задачи аппроксимации характеристик объекта оказалось противоречивой. Поскольку для осуществления аппроксимации необходимо располагать информацией о существенном диапазоне частот системы регулирования, для синтеза которой и выполняется аппроксимация. Данное обстоятельство требует большой осторожности при использовании способов аппроксимирования, например, с помощью разложения по ортогональным полиномам. Практически более надежным здесь являются методы аппроксимации различные для тех или иных достаточно типовых случаев.

Простейший способ аппроксимации переходных функций.

Имея экспериментально снятую кривую разгона, можно вычислить функцию объекта регулирования. Простейший из них основан на аппроксимации переходной функции объекта некоторой кривой, вид передаточной функции которой известен.

Рассмотрим типовую кривую разгона объекта с самовыравниванием (рис 1.1). Проведем к ней через точку перегиба касательную и обозначим отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс, буквой, а отрезок от точки пересечения касательной с линией нового установившегося состояния до буквой Т (рис. 1.1.). Тогда кривую разгона можно приближенно заменить экспонентой (рис. 1.3) с постоянной времени Т чистым запаздыванием и установившимся значением y_уст, равным установившемуся значению кривой разгона. Передаточную функцию такой экспоненты:

(1.2)

где — коэффициент усиления объекта, приближенно можно считать передаточной функцией объекта регулирования, имеющего кривую разгона (рис. 1.1.).

Рис. 1.1. Кривая разгона объекта с самовыравниванием

Рис. 1.2. Кривая разгона объекта без самовыравнивания

Рис. 1.3. Кривая разгона объекта с самовыравниванием представленная экспонентой

Рис. 1.4 Кривая разгона объекта без самовыравнивания представленная прямой

Для приближенной аппроксимации кривой разгона объекта без самовыравнивания (рис. 1.2) к кривой разгона проводится касательная. Отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс обозначается (рис. 1.2). Угол наклона касательной определится из формулы:

(1.3)

Передаточная функция:

(1.4)

Тогда кривую разгона объекта без самовыравнивания можно примерно заменить прямой (рис. 1.4), имеющей с осью абсцисс угол наклона и отсекающей на оси абсцисс отрезок. Этой прямой соответствует передаточная функция (1.4), которую приближенно можно считать передаточной функцией объекта регулирования без самовыравнивания.

Аппроксимация кривых разгона передаточными функциями более высокого порядка (метод Шварца).

Более точное совпадение кривой разгона и аппроксимирующей кривой дает способ, предложенный Г. Шварцем. Рассматривается несколько вариантов, аппроксимации. Первый случай — объект с самовыравниванием. Передаточная функция представляется в виде:

(1.5)

Т.е. модель объекта составляется из одинаковых апериодических звеньев, соединенных последовательно. Значения коэффициентов усиления объекта, постоянной времени и показателя степени определяется с помощью графиков (рис. 1.5)

Рис. 1.5. Графики определения , , .

Для этого берется кривая разгона, приведенная к единичному возмущению. Проводится касательная к ней в точке перегиба и отмечаются отрезки (рис. 1.5, а), а также определяется коэффициент усиления. Далее на графике (рис. 1.5, б) по известному отношению кривой разгона находится показатель степени. Затем по графику (рис. 1.5, в) определяется отношение и вычисляется постоянная времени .

В другом варианте передаточная функция объекта с самовыравниванием представляется в виде:

(1.6)

где — постоянный коэффициент.

По кривой разгона определяются величины в соответствии с рис. 1.6, а. Далее воспользовавшись графиками (рис. 1.6, б и 1.6, в), находим значение, а затем постоянную времени. Коэффициент усиления, в предположении, что кривая разгона снята при единичном возмущении, определяется непосредственно по кривой разгона.

Рис. 1.6. Графики определения, , .

Передаточную функцию объекта без самовыравнивания можно представить в виде:

(1.7)

Значения величин, находятся по графикам (рис. 1.7, б и 1.7, в). Для этого следует по кривой разгона предварительно найти вспомогательные величины. Коэффициент усиления объекта при единичном скачкообразном возмущении определится как угла (рис. 1.7, а) наклона касательной к оси абсцисс.

Другой разновидностью приближенной передаточной функции объекта без самовыравнивания является:

(1.8)

Постоянная времени и коэффициент в этом случае определяется по графикам (рис. 1.7, г, д):

Рис. 1.7. Графики определения .

Если исследуемый объект регулирования обладает дифференцирующими свойствами и кривая разгона имеет вид (рис. 1.8, а), его передаточная функция может быть приближенно представлена выражением:

(1.9)

Значения вспомогательных величин, а также, , находятся с помощью графиков (рис. 1.8, б, в, г).

Рис. 1.8. Графики для определения, ,, .

Определение передаточных функций объектов регулирования по кривым разгона методом площадей.

В ряде случаев точность представления передаточной функции, определяемой приближенными методами, оказывается недостаточной. Более точный способ вычисления передаточных функций по экспериментально снятым кривым разгона был предложен М. П. Симою и получил название метода площадей. Теоретически этот метод может дать любую точность. Но реально эта точность не может быть выше точности исходной информации, т. е. точности экспериментального определения кривой разгона.

Рассмотрим кривую разгона изучаемого объекта (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Кривую разгона объекта с самовыравниванием

Обозначим звездочкой входные Х и выходные Y величины, записанные в размерном виде, и представим кривую разгона в безразмерной форме, приняв обозначения:

(1.10)

где — выходная величина в безразмерной форме;

— входная безразмерная величина.

Перестроенная кривая разгона приведена на рис. 1.10.

Рис. 1.10. Перестроенная кривая разгона объекта с самовыравниванием

В основе метода лежит предположение, что исследуемый объект регулирования может быть описан линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

(1.11)

где — постоянные коэффициенты.

Передаточная функция объекта, описываемого уравнением (1.7) может быть представлена как:

(1.12)

или в размерной форме:

(1.13)

Задача состоит в том, чтобы определить неизвестные коэффициенты, используя для этого систему уравнений:

(1.14)

В системе уравнений (1.14) и для всех значений .

Входящие в данную систему уравнений коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

(1.15)

Эти коэффициенты получили название «площадей». Для F₁ — это действительно геометрическая площадь (рис. 1.10), а для остальных коэффициентов это название условно. В формулах (1.15) введена новая переменная .

Порядок расчета для объектов с самовыравниванием без транспортного запаздывания.

1. На кривой разгона (рис. 1.9) ось абсцисс разбивается на равные отрезки с интервалом времени. Тем самым интегрирование, предусмотренное формулами (1.11), заменяется суммированием. При выборе величины отрезка следует учесть:

а) кривая разгона на участке должна мало отличаться от прямой;

б) чем меньше тем более точным будет конечный результат.

Однако с уменьшением интервала разбиения резко возрастает объем вычислений. Надо иметь также в виду, что точность экспериментального определения кривой разгона вследствие помех, погрешностей измерений и других факторов, ограничена, поэтому излишне высокая точность вычисления может не дать желаемого результата.

2. Значения в конце каждого интервала делятся на и получившиеся значения заносятся графу 2 (табл. 1.1).

Таблица 1.1. Расчет площади .

3. Заполняется графа 3 (см. табл. 1.1), в которую записываются значения разности .

4. Определяется площадь по следующей формуле:

(1.16)

где — сумма 3 столбца (см. табл. 1.1).

5. Функцию перестраивают в другом масштабе времени, за независимую переменную берется время .

6. Заполняется таблица 1.2., по которой определится площади и (графы 1 и 2 переписываются из таблица 1.1).

Таблица 1.2. Определение площадей и .

7. Суммируются 4 и 6 столбцы (см. табл. 1.2).

(1.17)

(1.18)

где — сумма 4 столбца;

— сумма 6 столбца (см. табл. 1.2).

По формулам (1.17) и (1.18) определяются площади ,.Часто можно ограничиться тремя коэффициентами передаточной функции и последующие площади не определять.

8. Тип передаточной функции выбирается по виду кривой разгона, исходя из следующих предпосылок: если значение регулируемой величины при равно нулю (кривая разгона имеет форму (рис. 1.11, а), но производная не равна нулю, то порядок числителя передаточной функции на единицу меньше порядка знаменателя:

(1.19)

Рис. 1.11. Кривые разгона для определения передаточной функции.

Если регулируемая величина и ее производная при равны нулю (рис. 1.11, б), то в передаточной функции порядок числителя по крайней мере на две единицы меньше порядка знаменателя:

(1.20)

Практически в этом случае можно выбирать передаточную функцию в более простом виде:

(1.21)

Рассмотрим в качестве примеров несколько частных случаев. Как было упомянуто выше, часто при расчетах можно ограничиваться всего тремя площадями: ,. В этом случае уравнения (1.14) упрощаются и принимают вид:

(1.22)

Если в этом случае передаточная функция примет вид (1.19), то получим:

(1.23)

В этом случае и уравнения (1.22) принимают вид:

(1.24)

Если же передаточная функция примет вид (1.20), то и. Тогда уравнения (1.22) станут следующими:

(1.25)

В этих трех уравнениях 5 неизвестных, для того, чтобы не было неопределенности, рекомендуется вычислить площади и. С учетом того, что, получим пять уравнений, необходимых для вычислений пяти неизвестных.

Если в этом случае площади окажутся отрицательными, то необходимо брать передаточную функцию с более высоким порядком числителя, а отрицательный коэффициент заменить нулем. Например, пусть — отрицательна, тогда, а коэффициент находится из условия, .

И, наконец, если передаточная функция находится по (1.21), то все коэффициенты, равны нулю и ,. Отрицательные площади не учитываются.

9. Определяется коэффициенты выбранной передаточной функции путем решения системы уравнений (1.14).

10. Окончательное выражение для передаточной функции исследуемого объекта в размерном виде определяется по формуле (1.13).

Порядок расчета для объектов без самовыравнивания и транспортного запаздывания.

Характерной особенностью кривой разгона объекта без самовыравнивания (рис. 1.12, a) является то, что, а результате приложенного скачкообразного возмущения регулируемая величина при стремится к асимптоте — прямой линии, проходящей под углом к оси абсцисс.

Рис. 1.12. Кривая разгона объекта без самовыравнивания

1. Первый шаг расчета — проведение этой прямой, касательной к (обозначим ее) (рис. 1.12, а), и вычисление тангенса угла ее наклона:

(1.26)

2. Далее строится прямая, соответствующая уравнению (рис. 1.12, б). На этот же график переносится исходная кривая разгона с учетом того, что начальная ее ордината ставится в начало координат.

Вычитая из ординаты ординату при различных значениях абсцисс, т. е. вычитая из прямой кривую разгона, получим функция (рис. 1.12, в). Эта кривая при принимает конечное значение, т. е. имеет форму, сходную с формой кривой разгона объектов с самовыравниванием.

Таким образом, исходный объект условно разбивается на два фиктивных; объекта с соответствующими кривыми разгона и .

3. Передаточная функция исследуемого объекта представляется как разность двух пока неизвестных передаточных функций:

— соответствующей кривой разгона и

— определяемой из кривой разгона .

(1.27)

4. Для определения функция перестраивается, проводится к безразмерной форме. При этом угол наклона прямой изменяется (рис. 1.12, г), так как:

(1.28)

Передаточная функция, соответствующая перестроенной кривой разгона, определяется по формуле:

(1.29)

5. Определение передаточной функции по кривой разгона производится в том же порядке, что и для объектов с самовыравниванием.

6. Окончательное выражение для передаточной функции исходного объекта в размерном виде записывается следующим образом:

(1.30)

где — входное скачкообразное возмущение.

Порядок расчета для объектов с наличием транспортного запаздывания.

Если кривая разгона объекта характеризуется наличием транспортного запаздывания, то независимо от того, обладает ли объект самовыравниванием или нет, порядок расчета будет следующим:

1. По кривой разгона определяется запаздывание как время, в течение которого выходная величина не превышает 0,001 от установившегося значения .

2. Передаточная функция объекта определяется как произведение двух передаточных функций и и последняя соответствует кривой разгона объекта без запаздывания, порядок расчета для которого приведен выше. Тогда передаточная функция исследуемого объекта запишется так:

(1.31)

1.2 Аппроксимация переходных характеристик объектов без самовыравнивания по МНК в программном комплексе «20-sim Pro 2.3»

Целью работы является освоение возможностей работы с программным комплексом моделирования динамических систем «20-sim» в режиме поиска минимума целевой функции аппроксимации экспериментально полученных переходных характеристик математической моделью в виде передаточной функции заданной структуры. Программа моделирования динамических систем «20-sim» предоставляет возможность оптимизации значений коэффициентов набранной модели по заданному критерию.

Формирование критерия предполагает получение в каком-либо блоке значения целевой функции, минимум которой необходимо найти. Таким критерием может быть линейный, модульный или квадратичный интегральный критерии и т. д.

Рис. 1.13. Диалоговое окно Multiple Run Editor для режима поиска минимума заданного критерия Диалоговое окно Multiple Run Editor, вызванное последовательностью команд Experiment Multiple Run Specification показано на рис. 1.13.

В этом окне необходимо задать режим Optimization («Оптимизация»), выбрать блок оптимизируемого критерия (целевой функции) Optimization Variable, метод оптимизации, варьируемые параметры и предельный диапазон их изменения. Для выбора блока оптимизируемого критерия (кнопка Choose Variable) необходимо в появившемся окне Dynamic Variables указать тип (States) и в раскрывшемся списке отметить имя блока критерия. Ввод выбранных значений осуществляется нажатием кнопки Apply («Применить»), после чего окно можно закрыть (Close).

Поиск минимального значения заданного критерия (целевой функции) осуществляется одним из методов поиска экстремума функции n переменных (например, Davidson Fletcher Powell), входящих в библиотеку методов оптимизации (Optimization Method). Выбор варьируемых параметров (кнопка Choose Parameter) происходит в окне Multiple Run Name Chooser, после чего для каждого из них устанавливаются минимальные и максимальные значения, ограничивающие область изменения значений параметра. Диапазон изменения значений параметров обычно задается с большим запасом для области возможных значений параметра.

Запуск на решение режима Multiple Run осуществляется командой Start Multiple Run Simulation раздела главного меню Action или нажатием соответствующей пиктограммы на панели инструментов окна моделирования.

Ход поиска минимума выбранного критерия будет отражаться на экране в соответствии с заданными условиями отображения информации в окне Plot Specification для каждого шага последовательных приближений.

Для получения численного значения критерия (целевой функции) необходимо в поле графика щелкнуть правой клавишей мыши и в открывшемся окне выбрать пункт Numerical Values («Цифровые значения»). Щелкнув левой клавишей мыши на графике (в поле графика появится крестик), в окне Numerical Values можно прочитать численные значения графика в этой точке. Выбрав нужную кривую, можно определить численное значение в любой точке, а также глобальное и локальные значения экстремумов полученных графиков. Для этого необходимо выбрать тип искомого экстремума (минимум или максимум) и щелкнуть мышкой на кнопке Find («Найти»).

Задать структуру передаточной функции и получить значения ее коэффициентов, если переходная характеристика объекта задана в виде массива значений.

В качестве критерия приближения модели h_а(t) к исходной кривой h_и(t) используются минимум интеграла квадрата ошибки и модульный интегральный критерий на интервале времени, на котором заданы исходные данные:

(1.32)

(1.33)

Осуществить по указанным критериям поиск значений коэффициентов передаточной функции, обеспечивающих наилучшее приближение переходной характеристики заданной модели объекта к исходной переходной характеристике объекта.

Аппроксимация переходной характеристики объектов без самовыравнивания и транспортного запаздывания, при ?t=const.

Модель объекта, имеющего переходную характеристику без самовыравнивания и транспортного запаздывания, можно представить в виде последовательного соединения апериодического и интегрирующего звеньев. Передаточная функция моделей такого объекта имеет вид:

(1.34)

(1.35)

(1.36)

где К, Т₁, Т₂, Т_и — коэффициенты модели, значения которых необходимо определить из условий (1.32 и 1.33).

Структурные схемы моделей для решения задачи аппроксимации переходных характеристик объектов без самовыравнивания и транспортного запаздывания (1.34; 1.35; 1.36) имеют вид, показанный на рис. 1.20, 1.21, 1.22.

Для блоков сложения и вычитания сигналов (Plus и Minus) необходимо указать знаки отдельных слагаемых. Это осуществляется щелчком правой клавиши мыши на выделенном блоке и перехода в открывающемся меню к пункту Connection («Соединение»). Выбрав тот или иной вход блока, необходимо обратить внимание на то, какой блок находится с другой стороны (other side) входа и с каким знаком его следует применить. Далее каждому входу необходимо присвоить значение плюс или минус, выбрав его из нижней части окна.

Рис. 1.14. Структура модели объекта для переходной характеристики первого порядка (1.34).

Рис. 1.15. Переходная характеристика модели объекта первого порядка (1.34).

А — переходная характеристика модели; В-ступенчатый входной сигнал.

Рис. 1.16. Структура модели объекта для переходной характеристики второго порядка (1.35).

att₁ блок деления на постоянный коэффициент;

intgrl₁ — блок интегрирования входного сигнала;

forder₁-блок моделирования апериодического звена Рис. 1.17. Переходная характеристика модели объекта второго порядка (1.35).

А — переходная характеристика модели; В-ступенчатый входной сигнал.

Рис. 1.18. Структура модели объекта для переходной характеристики третьего порядка (1.36)

Рис. 1.19. Переходная характеристика модели объекта третьего порядка (1.36).

А — переходная характеристика модели; В-ступенчатый входной сигнал

Рис. 1.20. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.34)

Рис. 1.21. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.35).

con — блок формирования ступенчатого входного сигнала;

att₁ блок деления на постоянный коэффициент;

forder — блок моделирования апериодического звена;

time — блок моделирования времени;

tabfile — блок моделирования данных, заданных таблично;

crite — блок формирования критерия приближения (1.32);

gain — блок умножения входного сигнала на постоянное значение K

Рис. 1.22. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.36)

Для подготовки к проведению эксперимента открываем окно моделирования (раздел главного меню Simulation), и открыв пункт Experiment, последовательно вводим необходимые значения коэффициентов, начальных условий, параметров моделирования и вывода информации. Рассмотрим процедуру ввода исходных данных для объекта без самовыравнивания и транспортного запаздывания, экспериментальная переходная характеристика которого задана в таблице 1.3.

Таблица 1.3. Значения переходной характеристики объекта без самовыравнивания и транспортного запаздывания

Рис. 1.23. Окно задания коэффициентов модели Значения переходной характеристики заносятся в файл с расширением. tbl, созданный любым редактором, например Norton Commander, вне пакета «20-sim». При подготовке файла названия переменных не указываются, в строке записываем два значения (время и ордината) через пробел. Имя файла должно соответствовать правилам написания имен в MS DOS.

Для задания значений экспериментальной переходной характеристики блока tabfail в диалоговом окне (рис. 1.23) указываем полный путь к файлу (диск, каталог, имя файла). В диалоговом окне Multiple Run Editor (рис. 1.24) выбирается режим Optimization; оптимизируемый блок States (crite_1' criterium); метод оптимизации (Davidson Fletcher Powell); варьируемые переменные (Choose parameter) — постоянные времени интегрального и апериодических звеньев) и диапазон их изменения.

Рис. 1.24. Диалоговое окно Multiple Run Editor для режима поиска минимума заданного критерия На экран необходимо вывести следующие графики:

· график исходной переходной характеристики;

· график аппроксимирующей переходной характеристики;

· график, показывающий текущее значение критерия приближения для каждого шага поиска коэффициентов аппроксимирующей модели.

Для задания информации о выводе результатов моделирования вызываем окно Plot Specification, нажав клавишу Choose Name («Выбрать имя») и в списке блоков модели отмечаем выходы нужных блоков. В полосе Label («Метка») пишем обозначения выводимых на графики величин.

После того, как модель и необходимые параметры заданы, проводим эксперимент, т. е. осуществляем решение сформулированной задачи.

Подготовленный эксперимент (модель с соответствующим интерфейсом и режимом моделирования) запускается на решение командой Action > Start Multiple Run Simulation или соответствующей пиктограммой на панели инструментов. Ход поиска отражается на экране в соответствии с заданными условиями отображения информации в окне Plot Specification для каждого шага последовательных приближений.

Результаты решения задачи аппроксимации приведены на рис. 1.25, 1.27, 1.29. После окончания поиска минимума заданного критерия открываем окно Parameters и записываем значения коэффициентов, полученных в результате решения задачи аппроксимации и передаточную функцию модели объекта. Щелкнув правой клавишей мыши в поле графика, в окне Numerical Values определяем численное значение критерия приближения. Численные значения критерия приближения приведены в таблицах 1.4, 1.5, 1.6.

Рис. 1.25. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.34).

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.4. Значения критерия приближения для объекта первого порядка

Рис. 1.26. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.35)

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени.

Таблица 1.5. Значения критерия приближения для объекта второго порядка

Рис. 1.27. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.36)

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.6. Значения критерия приближения для объекта третьего порядка

Структурные схемы моделей для решения задачи аппроксимации переходных характеристик объектов без самовыравнивания и транспортного запаздывания (1.34, 1.35, 1.36) имеют вид, показанный на рис. 1.28, 1.29, 1.30.

Рис. 1.28. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.34)

Рис. 1.29. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.35).

con — блок формирования ступенчатого входного сигнала;

att₁ блок деления на постоянный коэффициент;

forder — блок моделирования апериодического звена;

time — блок моделирования времени;

tabfile — блок моделирования данных, заданных таблично;

critne — блок формирования критерия приближения (1.33);

gain — блок умножения входного сигнала на постоянное значение K

Рис. 1.30. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.36)

Результаты решения задачи аппроксимации приведены на рис. 1.31, 1.32, 1.33.

Численные значения критерия приближения приведены в таблицах 1.7, 1.8, 1.9.

Рис. 1.31. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.34)

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от модуля ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.7. Значения критерия приближения для объекта первого порядка

Рис. 1.32. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.35)

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от модуля ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.8. Значения критерия приближения для второго порядка

Рис. 1.33. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.36).

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от модуля ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.9. Значения критерия приближения для третьего порядка

Аппроксимация переходной характеристики объектов без самовыравнивания и транспортного запаздывания, при ?t=var.

Структурные схемы моделей для решения задачи аппроксимации переходных характеристик объектов без самовыравнивания и транспортного запаздывания (1.34, 1.35, 1.36) имеют вид, показанный на рис. 1.20, 1.21, 1.22.

Таблица 1.10. Значения переходной характеристики объекта без самовыравнивания и транспортного запаздывания

Результаты решения задачи аппроксимации приведены на рис. 1.34, 1.35, 1.36.

Численные значения критерия приближения приведены в таблицах 1.11, 1.12, 1.13.

Рис. 1.34. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.34).

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени.

Таблица 1.11. Значения критерия приближения для объекта первого порядка

Рис. 1.35. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.35).

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени.

Таблица 1.12. Значения критерия приближения для объекта второго порядка

Рис. 1.36. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.36).

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени.

Таблица 1.13. Значения критерия приближения для объекта третьего порядка

Структурные схемы моделей для решения задачи аппроксимации переходных характеристик объектов без самовыравнивания и транспортного запаздывания (1.34, 1.35, 1.36) имеют вид, показанный на рис. 1.28, 1.29, 1.30.

Результаты решения задачи аппроксимации приведены на рис. 1.37, 1.38, 1.39.

Численные значения критерия приближения приведены в таблицах 1.14, 1.16, 1.17.

Рис. 1.37. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.34).

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от модуля ошибки аппроксимации по времени.

Таблица 1.14. Значения критерия приближения для объекта первого порядка

Рис. 1.38. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.35).

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от модуля ошибки аппроксимации по времени.

Таблица 1.15. Значения критерия приближения для объекта второго порядка

Рис. 1.39. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.36).

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от модуля ошибки аппроксимации по времени.

Таблица 1.16. Значения критерия приближения для объекта третьего порядка

Аппроксимация переходной характеристики объектов без самовыравнивания c транспортным запаздыванием, при ?t=const.

Модель объекта, имеющего переходную характеристику без самовыравнивания с транспортным запаздыванием, можно представить в виде последовательного соединения звена транспортного запаздывания, апериодического и интегрирующего звеньев. Передаточные функции моделей такого объекта имеет вид:

(1.37)

(1.38)

(1.39)

где К, Т₁, Т₂, Т_и,ф — коэффициенты модели, значения которых необходимо определить из условий (1.32 и 1.33).

Структурные схемы моделей для решения задачи аппроксимации переходных характеристик объектов без самовыравнивания с транспортным запаздыванием (1.37, 1.38, 1.39) имеют вид, показанный на рис. 1.46, 1.47, 1.48.

Рис. 1.40. Структура модели объекта для переходной характеристики первого порядка (1.37).

Рис. 1.41. Переходная характеристика модели объекта первого порядка (1.37)

А — переходная характеристика модели; В-ступенчатый входной сигнал Рис. 1.42. Структура модели объекта для переходной характеристики второго порядка (1.38).

att₁ блок деления на постоянный коэффициент;

tdelay — блок моделирования чистого запаздывания;

intgrl₁ — блок интегрирования входного сигнала;

forder₁-блок моделирования апериодического звена Рис. 1.43. Переходная характеристика модели объекта второго порядка (1.38)

А — переходная характеристика модели; В-ступенчатый входной сигнал

Рис. 1.44. Структура модели объекта для переходной характеристики третьего порядка (1.39)

Рис. 1.45. Переходная характеристика модели объекта третьего порядка (1.39).

А — переходная характеристика модели; В-ступенчатый входной сигнал

Рис. 1.46. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.37)

Рис. 1.47. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.38)

con — блок формирования ступенчатого входного сигнала;

tdelay — блок моделирования чистого запаздывания;

att₁ блок деления на постоянный коэффициент;

forder — блок моделирования апериодического звена;

time — блок моделирования времени;

tabfile — блок моделирования данных, заданных таблично;

crite — блок формирования критерия приближения (1.32);

gain — блок умножения входного сигнала на постоянное значение K

Рис. 1.48. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.39)

Таблица 1.17. Значения переходной характеристики объекта без самовыравнивания с транспортным запаздыванием

Результаты решения задачи аппроксимации приведены на рис. 1.49, 1.50, 1.51.

Численные значения критерия приближения приведены в таблицах 1.18, 1.19, 1.20.

Рис. 1.49. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.37)

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени

Таблица 1.18. Значения критерия приближения для объекта первого порядка

Рис. 1.50. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.38).

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени.

Таблица 1.19. Значения критерия приближения для объекта второго порядка

Рис. 1.51. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.39).

А — исходная переходная характеристика объекта; В-переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени.

Таблица 1.20. Значения критерия приближения для объекта третьего порядка

Структурные схемы моделей для решения задачи аппроксимации переходных характеристик объектов без самовыравнивания с транспортным запаздыванием (1.37, 1.38, 1.39) имеют вид, показанный на рис. 1.52, 1.53, 1.54.

Рис. 1.52. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.37)

Рис. 1.53. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.38)

con — блок формирования ступенчатого входного сигнала;

tdelay — блок моделирования чистого запаздывания;

att₁ блок деления на постоянный коэффициент;

forder — блок моделирования апериодического звена;

time — блок моделирования времени;

tabfile — блок моделирования данных, заданных таблично;

critne — блок формирования критерия приближения (1.33);

gain — блок умножения входного сигнала на постоянное значение K

Рис. 1.54. Структурная схема модели для решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.39)

Результаты решения задачи аппроксимации приведены на рис. 1.55, 1.56, 1.57. Численные значения критерия приближения приведены в таблицах 1.21, 1.22, 1.23.

Рис. 1.55. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.37)

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени.

Таблица 1.21. Значения критерия приближения для объекта первого порядка

Рис. 1.56. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.38).

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.22. Значения критерия приближения для объекта второго порядка

Рис. 1.57. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.39)

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.23. Значения критерия приближения для объекта третьего порядка

Аппроксимация переходной характеристики объектов без самовыравнивания с транспортным запаздыванием, при ?t=var.

Структурные схемы моделей для решения задачи аппроксимации переходных характеристик объектов без самовыравнивания с транспортным запаздыванием (1.37, 1.38, 1.39) имеют вид, показанный на рис. 1.46, 1.47, 1.48.

Таблица 1.24. Значения переходной характеристики объекта без самовыравнивания с транспортным запаздыванием

Результаты решения задачи аппроксимации приведены на рис. 1.58, 1.59, 1.60.

Численные значения критерия приближения приведены в таблицах 1.25, 1.26, 1.27.

Рис. 1.58. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.37)

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.25. Значения критерия объекта первого порядка

Рис. 1.59. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.38)

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.26. Значения критерия приближения для объекта второго порядка

Рис. 1.60. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.39)

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.27. Значения критерия приближения для объекта третьего порядка

Структурные схемы моделей для решения задачи аппроксимации переходных характеристик объектов без самовыравнивания с транспортным запаздыванием (1.37, 1.38, 1.39) имеют вид, показанный на рис. 1.52, 1.53, 1.54.

Результаты решения задачи аппроксимации приведены на рис. 1.61, 1.62, 1.63.

На рис. 1.61, 1.62, 1.63 дополнительно выведен график отклонения аппроксимирующей кривой от исходной для каждого момента времени.

Численные значения критерия приближения приведены в таблицах 1.28, 1.29, 1.30.

Рис. 1.61. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта первого порядка (1.37).

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.28. Значения критерия приближения для объекта первого порядка

Рис. 1.62. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта второго порядка (1.38)

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.29. Значения критерия приближения для объекта второго порядка

Рис. 1.63. Результаты решения задачи аппроксимации переходной характеристики объекта третьего порядка (1.39)

А — исходная переходная характеристика объекта; В — переходная характеристика модели; С — ошибка аппроксимации в каждый момент времени; D — интеграл от квадрата ошибки аппроксимации по времени Таблица 1.30. Значения критерия приближения для объекта третьего порядка

1.3 Аппроксимация переходных характеристик объектов без самовыравнивания методом площадей

Целью работы является освоение возможностей работы с программным комплексом «ТАУ 2» в режиме поиска целевой функции аппроксимации экспериментально полученных переходных характеристик математической моделью в виде передаточной функции заданной структуры.

Аппроксимация переходной характеристики объектов без самовыравнивания и транспортного запаздывания, при ?t=const

Проводим прямую, касательную к. Структурная схема модели представлена на рис. 1.64. График функции представлен на рис. 1.65.

Далее строим прямую, соответствующую уравнению. На этот же график переносится исходная кривая разгона .

Вычитаем из ординаты ординату при различных значениях абсцисс, т. е. вычитая из прямой кривую разгона, получим функцию .

Исходные данных для объекта без самовыравнивания и транспортного запаздывания, экспериментальная переходная характеристика которого задана в таблице 1.31.

Таблица 1.31. Значения переходной характеристики, ?t=const

Определение передаточной функции по кривой разгона производится в программе «ТАУ2».

Аппроксимация переходной характеристики объектов без самовыравнивания и транспортного запаздывания, при ?t=var.

Исходные данных для объекта без самовыравнивания и транспортного запаздывания, экспериментальная переходная характеристика которого задана в таблице 1.32.