Проблема делителей Ингама на множестве чисел без k-ых степеней

В диссертации решаются задачи по исследованию асимптотики суммы ^ F (n), где п<�х пеМ.

F (ri) — заданная арифметическая функция, М — некоторое заданное подмножество множества натуральных чисел.

Обычно при решении задачи об асимптотике суммы значений мультипликативной функции F (n) поступают так:

F (n) ——. В и=1 п° типичных случаях этот ряд имеет конечную абсциссу сходимости о" 0- пытаются, если это возможно, аналитически продолжить функцию (s) в полуплоскость Re s < aq. При этом продолженная функция в области Re. v < ctq будет, вообще говоря, иметь особенности (полюса, существенно особые точки, точки ветвления и т. д.) — пользуясь формулой Перрона и характером поведения функции Ф (, у) в окрестности особых точек получают главный член асимптотики, а оставшийся интеграл даёт остаток искомого асимптотического равенства.

Если же нужно найти асимптотику суммы значений функции F (n) такой, что она не является мультипликативной по п, то указанный способ, вообще говоря, не приводит к желаемому результату, поэтому нужно прибегать к другим методам.

В настоящей работе в качестве функции F (n) рассматривается функция т (п) ¦ х (п +1), где т («)= 1, целое п> 1. Пусть S (x) = ^ %{п) ¦ т (п +1). dn nix.

В 1927 году А. Е. Ингам [1] сформулировал задачу: найти оптимальный остаток в следующем асимптотическом равенстве.

S (x) = ]>Ч (и) • т (и +1) = АххЛп2 х + R (x), где¹=&trade-. п<�х ТС.

В этой же работе Ингам доказал, что R (x)=0 (xlnx), х^оо.

В 1931 году Т. Эстерман [2] усилил результат Ингама, доказав, что.

2 1У.

S (x) = Ахх — In х + А2х ¦ In х + А3х + 0(х 712 ¦ In х), х—"оо, где и ~ некоторые постоянные.

В 1979 году Д.Р.Хиз-Браун [3] и Д. Исмаилов [4], в свою очередь, независимо друг от друга усилили результат Эстермана: в равенстве Эстермана ими был получен остаток.

У+Е.

0{ х/6), где х—"со, a s — произвольное фиксированное положительное число.

В работе А. И. Павлова [5] решена проблема делителей Ингама с весом: Пусть арифметическая функция F удовлетворяет условиям: если F (n) = (d), то f{d) dn мультипликативна, и при п->со верна оценка f (n)=0(п~а), а > 0 и не зависит от п. Тогда при х—"со имеет место асимптотическое равенство.

Е2 (.

F (n) ¦ х (п) ¦ т (п +1) = АхЫ х + А2×1пх + Лзх + 0х/ь + х /ь j, п<�х где А, Аг, Аз — некоторые постоянные, в — произвольное фиксированное положительное число.

В настоящее время близкими вопросами занимается целый ряд математиков ([6], [7],.

8]).

Помимо того, чтобы находить асимптотику суммы значений немультипликативной функции, интересно заменить гладкое суммирование суммированием по некоторому подмножеству множества натуральных чисел.

В настоящей работе в качестве такого подмножества рассматривается множество чисел без к-ых степеней.

Натуральное число п называется числом без А:-ых степеней (при к >2), если для к любого простого р выполняется условие р п.

Приведём несколько утверждений о числах без £-ых степеней. к.

Пусть Mjc={meN:/(peP) р т). Нетрудно доказать (см. § 1), что характеристической функцией множества М^ будет функция %/с (п)= У i (d). а | п.

Пусть Qk (х) = ^ 1. Тогда, как известно, при х —"оо имеет место асимптотическое п<�х neMfc равенство.

Qk (x)^~-x+0(x/k), где C,(s)~ дзета-функция Римана. Поскольку —— >0, то множество Мк является множеством положительной плотности.

Хорошо известна бинарная аддитивная задача с числами без к-ых степеней. При натуральном п> 2 обозначим Р^(п) = ^ 1. Эстерман [9] доказал, что при п 00 m, r> 1 т+г=п имеет место асимптотическое равенство пк -1 —+s Рк (п) = Ск Y[—k—n + 0(nk+l), к, р — 2 Р Iпу где С^ =| |(1 — ——), а 8 — произвольное фиксированное положительное число. р р

Более того, известно следующее: пусть целое к > 2. Тогда существует постоянная 1.

С=С (к) такая, что если /г = с-х2^+1 -1пх и х->со, то интервал (x, x + h] содержит число 1 без к-ых степеней. Больше того, если h = х^+1 • 1пх • g (x), где любая стремящаяся к бесконечности функция при х—"со, то число чисел без &—ых степеней в интервале h х, х + h] равняется—1- o (h). Это утверждение восходит к хорошо известным работам таких математиков, как Е. Фогельс, К. Ф. Рот, Х. Е. Рихерд, Р. А. Ранкин, П. Г. Шмидт, С. В. Грехем, Г. Колесник и др. Последний результат, насколько известно, получен в работе О. Трифонова [10].

В настоящей работе рассматривается проблема делителей Ингама на множестве чисел без к-ых степеней. Доказываются две теоремы.

Теорема 1. Пусть целое к > 2 фиксировано и^т (и) • т (п + 1). Тогда п<�х пеМ^ существуют постоянные такие, что для любого фиксированного в>0 при х-«оо выполняется асимптотическое равенство.

Т (к)(х) = А (к)х • In2 х + В (к)х • Inх + С (к)х + 0(х5/),.

0 Будем говорить, что множество М является множеством положительной плотности, если отношение числа чисел множества М, принадлежащих отрезку [0,N], к длине этого отрезка при N -" °о стремится к положительному пределу. где.

Ji±l 2k+l.

V V Р" + Pk+l~ Рк+2;

Теорема 2. Пусть целые к >2, 1> 2 фиксированы и S^k, lx) =^т (и) • т (и +1). Тогда п<�х neMfr n+leMi существуют постоянные такие, что для любого фиксированного е>0 при х—^со выполняется асимптотическое равенство.

5/4. V.

S (kJ) (х) = D (kJ)x • In2 х + EW) x • In X + F{kJ)x + 0(j/6+/6A+E где /г = min (A-,/),.

D{k, D=Yl f1 k + l 2k +1? / +1 2/ + 1 / Л v ~ Pk + PM ~Pk+2~ Pl V1 ~Pl+1,.

0.

Замечание. Заметим, что если целые к >2, /> 2 фиксированы и =, то п<�х пеМк i (k, l) существует постоянная АК ' ' такая, что для любого фиксированного е>0 при х—"со выполняется асимптотическое равенство к-1 1-Х где п 1.

1 1.

I к у Р Р.

0.

Доказательство этого факта приведено в приложении.

Автор благодарит своего научного руководителя профессора Павлова А. И. за постановку задач и советы при их решении и профессора Карацубу А. А. за внимание и полезное обсуждение работы на научно-исследовательском семинаре в МГУ имени М. В. Ломоносова.

§ 1 Леммы.

ДеммаЛ, ([И]) = «!•.

О, п Ф 1 dn.

Лемма 2. Пусть целое к>2 и М^- множество чисел без к-ых степеней. Если fl, п е М, характеристическая функция множества М^, т. е. х^ ~ | q gM Т° к, а п.

Доказательство.

Если и=1, то пе М^, значит (п) = 1. С другой стороны, ^ i{d) = ц (1) = 1.

JI, а и а. а.

Если, то п имеет каноническое представление п = 1 •. • р s. Возможны два случая.

1) Пусть, а ,<к при любом.

2) Выделим простые, входящие в каноническое представление п в степенях не меньших к. Пусть это р.,., р.. Тогда niM, значит %,(п) = 0. С другой.

II К К.

1 t к стороны, из d | п следует, что d может состоять только из выделенных простых р.,., р., поэтому ^ i{d). Воспользовавшись определением.

1 t к а. а. d I" dp 'Х, Р '' h h функции Мёбиуса, а именно тем, что d t М^ => ^(d) = 0, получим а. а..

Ч 't.

Последнее равенство имеет место в силу леммы 1. Таким образом, при любом натуральном п имеем %, (п) = ^ i (d). d п.

Лемма 3. При Т —> оо имеет место равномерная по а> 1 асимптотика у 1 = ф (^(1пГ + у) уН (^+0(М) — ma d у / т<�Т da m, a)=1 где у — константа Эйлера. Доказательство..

Воспользовавшись леммой 1, получим.

Z 1 Z № m m m.

Поменяв порядок суммирования, будем иметь.

I 1 I и (</) = 5>(<оЕ X 1 m m a т m m<�— dm.

Воспользуемся известной асимптотикой.

V — = In x + у + 0—), при x со, п<�х где у — константа Эйлера. Получим m.

Поскольку ^^ - fP^l и у j =? x0 получаем искомую асимптотику d a da da ma d j / m.

Лемма 4. При T -" со имеет место равномерная по а> 1 асимптотика, а 4 ' т<�Т (m, a)-1.

Доказательство..

Воспользовавшись леммой 1, получим х 1=Х I т<�Т m.

Поменяв порядок суммирования, будем иметь.

X X m = х m х i=I m Щ=тх^f-+о (х i). m.

Поскольку V ^ = и V1 = т (a), то получаем искомую асимптотику d, а da da 1=^Г + 0(х (4 a 4 ' m.

Лемма 5. При T -" oo имеет место равномерная по а> 1 асимптотика.

У In ш = ^^ (ТЫТТ) + 0х (а) 1п (аГ)). а 4 ' т<�Т (m, a)=1.

Доказательство..

Воспользовавшись леммой 1, получим In w = ^ In т ^ |j,((i). и<�Г т<�Т d (m, a) ш, а)=1.

Поменяв порядок суммирования, будем иметь.

Xlnm =^ц (^)^Inm = {d) Y}Kmd) = Т m.

T T da m<�— da m<�— d d.

Воспользовавшись известной асимптотикой при Т -" со. п<�Т получим.

X lnm = т<�Т da m, a)=1.

T, T Т.

In——+ d d d da.

In d = da da da.

Поскольку V H^l = S>icll и V i = x (a), то получаем искомую асимптотику d, а da da.

У пт = ^-{ТЫТ-Т) + 0х{а)п (аТ)). а 4 ' m.

Кроме того, при доказательстве теорем 1 и 2 будет существенно использоваться результат Хиз-Бруна [3], который в дальнейшем будем называть теоремой Хиз-Брауна..

Теорема. Пусть D (x, q, a) =^т (и). Тогда при произвольном фиксированном п<�х n=a{mo& q) положительном s и х—>со имеет место асимптотическое равенство.

Г.

D (x, q, a) = — f.

I Z t{a, q) sqt.

In— + 2y-l ч? 2 J].

-l ад, где R (x)=0(х^З) равномерно по 1.