Построение эконометрических моделей
На основе полученного коэффициента детерминации можно рассчитать коэффициент парной линейной корреляции ху = = 0,2715. Это значение говорит о незначительной тесноте связи между переменными Х и У Из этого следует, что связь между мощностью пласта и выработкой угля на одного рабочего в целом прямая Так, при изменении Х на 1 единицу (1м) выработка угля на одного рабочего вырастет на 0,056 единицы… Читать ещё >
Построение эконометрических моделей (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Челябинский государственный университет»
(ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»)
ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант № 3
Челябинск
Задача 1
Имеются данные о сменной добыче угля (тонн) на одного рабочего и мощности пласта (в метрах).
Таблица 1.1. Исходные данные.
Номер региона, | Мощность пласта, (метров). | Сменная выработка угля на одного рабочего, (тонн). | |
22,7 | 5,4 | ||
25,8 | 7,2 | ||
20,8 | 7,1 | ||
15,2 | 7,9 | ||
25,4 | 7,5 | ||
19,4 | 6,7 | ||
18,2 | 6,2 | ||
21,0 | 6,4 | ||
16,4 | 5,5 | ||
23,5 | 6,9 | ||
18,8 | 5,4 | ||
17,5 | 6,3 | ||
ЗАДАНИЕ Исследовать зависимость сменной добычи угля на одного рабочего от мощности пласта путем построения уравнения парной линейной регрессии
.
Для исходных данных, приведенных в задаче, требуется:
1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Найти оценки параметров модели парной линейной регрессии. Записать полученное уравнение регрессии.
3. Проверить значимость оценок коэффициентов с надежностью 0,95 с помощью статистики Стьюдента и сделать выводы о значимости этих оценок.
4. Определить интервальные оценки коэффициентов с надежностью 0,95.
5. Проверить при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью статистики Фишера и сделать выводы о значимости уравнения регрессии.
6. Определить коэффициент детерминации и коэффициент корреляции. Сделать выводы о качестве уравнения регрессии.
7. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации и сделайте выводы о качестве уравнения регрессии.
8. Рассчитать прогнозное значение результата, если значение фактора X будет больше на 15% его среднего уровня .
9. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов парной регрессии.
РЕШЕНИЕ
1. Построим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи.
Анализируя поле корреляции, можно предположить, что примерные Х и У связаны линейной зависимостью t = +x, т.к. точки располагаются близко к прямой, причем с возрастанием Х значения У то увеличиваются, то уменьшаются.
2. Найдём оценки параметров модели парной линейной регрессии. Запишем полученное уравнение регрессии.
Составим расчётную таблицу.
Параметры линейного уравнения парной регрессии найдём по формулам
.
Составим расчётную таблицу 1.2.
Таблица 1.2. Расчётная таблица.
22,7 | 5,4 | 122,58 | 515,29 | 29,16 | 6,671 | — 1,271 | 1,615 | 0,2354 | ||
25,8 | 7,2 | 185,76 | 665,64 | 51,84 | 6,822 | 0,378 | 0,143 | 0,0525 | ||
20,8 | 7,1 | 147,68 | 432,64 | 50,41 | 6,565 | 0,535 | 0,286 | 0,0754 | ||
15,2 | 7,9 | 120,08 | 231,04 | 62,41 | 6,251 | 1,649 | 2,719 | 0,2087 | ||
25,4 | 7,5 | 190,5 | 645,16 | 56,25 | 6,822 | 0,678 | 0,460 | 1,0904 | ||
19,4 | 6,7 | 129,98 | 376,36 | 44,83 | 6,486 | 0,214 | 0,046 | 0,0319 | ||
18,2 | 6,2 | 112,84 | 331,24 | 38,44 | 6,419 | — 0,219 | 0,048 | 0,0353 | ||
21,0 | 6,4 | 134,40 | 441,00 | 40,96 | 6,576 | — 0,176 | 0,031 | 0,0275 | ||
16,4 | 5,5 | 90,20 | 268,96 | 30,25 | 6,318 | — 0,818 | 0,669 | 0,1487 | ||
23,5 | 6,9 | 162,15 | 552,25 | 47,61 | 6,716 | 0,140 | 0,020 | 0,0203 | ||
18,8 | 5,4 | 101,52 | 353,44 | 29,16 | 6,453 | — 1,053 | 1,109 | 0,1950 | ||
17,5 | 6,3 | 110,25 | 306,25 | 39,69 | 6,380 | — 0,080 | 0,006 | 0,0127 | ||
Сумма | 244,7 | 78,5 | 1607,94 | 5119,2 | 521,01 | 7,152 | 1,1338 | |||
Среднее | 20,4 | 6,54 | 134,00 | 426,61 | 43,42 | |||||
= ;=; =; =;
= 134,00−20,4*6,54 / 426,61−20,4І = 0,056
Тогда линейное уравнение регрессии запишется так:
Для вычисления значений t нужно в уравнении (*) представлять соответствующие значения xt, данные в условии и полученные результаты внести в графу (t) расчетной таблицы.
3. Проверить значимость оценок коэффициентов с надежностью 0,95 с помощью статистики Стьюдента и сделать выводы о значимости этих оценок.
Для оценки статистической значимости параметров регрессии и коэффициента корреляции воспользуемся статистикой Стьюдента.
Для этого предварительно рассчитаем стандартную ошибку регрессии S и — стандартную ошибку параметра, используя формулы
и, причём При n =12, используя результаты таблицы 2, получим :
тогда Число степеней свободы равно числу наблюдений без двух, т. е. n = 12 — 2 = 10
Для этого числа степеней свободы и уровня доверия q = 0,95 из таблицы Стьюдента найдем критическое значение t = 2,228
Расчетное значение t-статистики параметра есть Значение <, отсюда следует, что параметр не является значимым, значит, и уравнение регрессии (*) не является значимым
4. Определить интервальные оценки коэффициентов с надежностью 0,95.
Т.К. доверительный интервал неизвестного нам коэффициента рассчитывается по формуле: -T кр * S<< + Т кр, Sв Где на уровне доверия q = 0.95 T кр = 2,228
= 0,056; Sв = 0,0755
0,056- 2,228* 0,0755< в < 0.056+2,228*0,0755
0,056 — 0,1682< в < 0,056 +0,1682
— 0,11 < в < 0,2242 — доверительный интервал параметра в (для q=0,95)
Аналогично находят доверительный интервал для параметра л
= 1,5602
Доверительный интервал л находится так
— T кр *Sл < л < + Ткр *Sл
5,40 — 2,228 * 1,5602 <�л < 5,40+2,228*1,5602
5,40 — 3,476 < л < 5,40+3,476
1,924 < л < 8,876 — доверительный интервал для q= 0,95
5. Проверим при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью статистики Фишера и сделаем выводы о значимости уравнения регрессии.
Расчётное значение статистики Фишера определим по формуле
где — коэффициент парной линейной корреляции (его можно находить по разным формулам и результаты при этом могут не совпадать) Используя формулу
где и — стандартные отклонения представляющие собой корень квадратный из выбранных дисперсий переменных. х и у соответственно.
;
В нашем случае
F расч = 0,0505* (12−2) / 1−0,0505 = 0,532
При значимости 0,05 и степенях свободы K1 = m=1
И K2 = n-m-1=12−1-1 =10 в таблице найдем F табл = 4,96
Т.к. F факт = 0,532 < F табл =4,96, то уравнение регрессии (*) на уровне значимости 0,05 не является значимым
6. Определим коэффициент детерминации и коэффициент корреляции. Сделаем выводы о качестве уравнения регрессии.
= 0,0737 Это говорит о том, что на 7,37% дисперсия зависимой переменной у объясняется изменение переменной Х, а 92,63% изменения у объясняется влиянием других факторов, не учтенных в задаче. И, следовательно, значение = 0,0737 свидетельствует о том, что найденное уравнение регрессии не является значимым
На основе полученного коэффициента детерминации можно рассчитать коэффициент парной линейной корреляции ху = = 0,2715. Это значение говорит о незначительной тесноте связи между переменными Х и У Из этого следует, что связь между мощностью пласта и выработкой угля на одного рабочего в целом прямая Так, при изменении Х на 1 единицу (1м) выработка угля на одного рабочего вырастет на 0,056 единицы (тонны)
7. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации и сделаем выводы о качестве уравнения регрессии.
А = 1/12 * 1,1338=0,0945=9,45%
Очень близка к 10% .Это говорит о качестве подгонки недостаточно хороший, т.к. в среднем расчетные значения отличаются от фактической на 9,45%
8. Рассчитать прогнозное значение результата, если значение фактора будет больше на 15% его среднего уровня .
Имеем = 20,4 (100% + 15% =115% = 1,15)
Х=1,15 * = 1,15*20,4=23,46
Этому значению согласно полученной математической модели будет соответствовать = 5,40+0,056*23,46=5,40+1,314=6,714
Итак, (23,46) = 6,714
9. Дадим экономическую интерпретацию коэффициентов парной регрессии. По приведенным в условии данным получили линейное уравнение регрессии Хt. Значение = 0,0735 говорит о том, что изменения переменной у зависит от изменения фактора х только на 7,35
На уровне значимости 0,05 доверительные интервалы параметров
1,924< л < 8,876
— 0,1122 <�в< 0,2242
Rху = 0,2715 говорит о прямой зависимости между х и у и незначительной тесноте связи между переменными Х и У
При изменении х на 1 единицу, значение У увеличивается на 0,056 единиц. Смысл параметра л — это значение при х=0
Библиографический список Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 1022 с.
Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. — 270 с.
Афанасьев В. Н., Юзбашев М. М., Гуляева Т. И. Эконометрика: Учебник / В. Н. Афанасьев, М. М. Юзбашев, Т. И. Гуляева; под ред. В. Н. Афанасьева. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 256 с.
Доугерти К.
Введение
в эконометрику: Учебник / Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 432 с.
Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко и др.; Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2007. — 192 с.
Эконометрика: Учебник / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Т. В. Костеева и др.; Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Проспект, 2010. — 576 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
линейная регрессия корреляция аппроксимация