Уравнения электрического поля в присутствии диэлектрика. 
Среднее макроскопическое поле

Возникновение связанных зарядов на поверхности диэлектриков ведут к возникновению деполяризующего электрического поля и изменению потенциала. Поэтому, уравнения описывающие распределение электрического поля и потенциала, создаваемых системой зарядов в вакууме отличаются от уравнений, описывающих распределение электрического поля и потенциала, создаваемых такой же системой зарядов в присутствии диэлектрика. Влияние, оказываемое поляризацией диэлектрика на решение уравнений электростатики (и электрического поля вообще) удобно характеризовать величиной среднего электрического или макроскопического поля в диэлектрике Е_м Макроскопическое поле это поле, характеризуемое напряженностью в объёме превышающем размеры молекул, но малом настолько, чтобы напряженность поля в этом объёме можно было считать постоянной. Отметим, что величина Е_м отличается от величины локального поля Е_л, действующего на заряженную частицу и определяющего величину её индуцированного дипольного момента.

Рассмотрим диэлектрик, помещённый во внешнее однородное электрическое поле с напряжённостью Е₀. Такое поле может быть создано между обкладками плоского конденсатора, если пренебречь искажением поля у краев обкладок. Под действием поля диэлектрик поляризуется, и на его обкладках появляются связанные заряды с поверхностной плотностью у_св. При этом диэлектрик можно рассматривать как макродиполь с дипольным моментом, определяемым формулой.

(7),.

где S площадь обкладок диэлектрика, L толщина (рис. 3). С другой стороны, значение p можно определить через дипольный момент единицы объёма .

(8),.

где б — угол между направлением вектора напряжённости электрического поля и нормалью к поверхности диэлектрика. Приравняв (7) и (8) получим.

(9),.

где P_n — проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика (нормальная составляющая вектора поляризации). Таким образом, поверхностная плотность связанных зарядов численно равна нормальной составляющей вектора поляризации.

Если диэлектрик поляризован неоднородно, в его объёме возникают ещё и связанные заряды с объёмной плотностью с_св, определяемой условием.

(10).

В однородно поляризованном диэлектрике с_св = 0.

Появление связанных зарядов в диэлектрике приводит к возникновению деполяризующего поля, направление которого противоположно направлению вектора поляризации. Установлено, что гомогенные образцы при помещении в однородное поле будут однородно поляризоваться только в том случае, если он имеет форму эллипса или форму, являющуюся предельную форму эллипсоида вращения. Если одна из главных осей этого эллипсоида параллельна вектору напряжённости внешнего электрического поля вектор поляризации и вектор напряженности деполяризующего поля также будут параллельны. Величина деполяризующего поля определяется выражением.

(11),.

где N — деполяризующий фактор, значение N определяется соотношением осей эллипсоида. Так, для тонкой плоской пластины, когда вектор напряженности поля перпендикулярно плоскости пластины N = 1/₀ в системе СИ, и 4 в системе СГСЭ когда параллельно плоскости пластины N = 0 в обеих системах.

Отметим, что понятие деполяризующего фактора имеет смысл только для однородного диэлектрического эллипсоида, помещённого в однородное внешнее электрическое поле. Однако, в большинстве практически важных случаев диэлектрик даже произвольной формы можно рассматривать как предельный случай эллипсоида вращения или как совокупность частей, каждая из которых является предельной формой эллипсоида вращения.

Определим теперь величину макроскопического поля в однородном диэлектрике. Согласно классической теории электричества это сила, действующая на единичный (пробный) заряд. Чтобы внести такой заряд в диэлектрик необходимо сделать в нем полость. При этом на поверхности полости будут возникать связанные заряды, поэтому сила, действующая на пробный заряд, будет равна сумме сил, действующих на него со стороны внешнего поля, поля создаваемого связанными зарядами на внешней поверхности диэлектрика и на внутренней поверхности полости и будет зависеть от формы полости.

Рис. 4. К определению величины среднего (макроскопического) поля внутри диэлектрике при помощи пробного заряда

Рассмотрим пробный заряд, помещённый в длинную узкую полость, прорезанную внутри диэлектрика параллельно направлению вектора поляризации (рис. 4). Будем считать, что пробный заряд не касается стенок данной полости. В этом случае связанные заряды будут возникать только на торцах полости и, если диаметр полости много меньше её длинны, то поле, создаваемое этими зарядами будет пренебрежимо мало. Тогда на заряд будут действовать только внешнее и деполяризующее поле. Таким образом, напряженность среднего поля в диэлектрике можно определить как.

(12).

Абсолютная величина этого поля с учётом (9) будет равна.

(13),.

где у_св плотность связанных зарядов на внешних поверхностях диэлектрика. Ограничимся рассмотрением тонкой плоской диэлектрической пластины, ориентированной перпендикулярно вектору напряженности электрического поля. В этом случае деполяризующий фактор равен единице и выражение (13) примет вид.

(14),.

Известно, что поле, создаваемое системой зарядов в диэлектрике меньше, чем поле, создаваемое теми же зарядами в вакууме.

(15),.

где е — диэлектрическая проницаемость, определяющая во сколько раз напряженность поля в диэлектрике меньше, чем напряжённость поля в вакууме. Подставив это соотношение в формулу (14) получим.

(16).

Отсюда получим выражение, определяющее связь между вектором поляризации и напряжённостью внешнего и среднего макроскопического поля.

(17).

С другой стороны из курса электростатики известно, что.

(18),.

где ч — диэлектрическая восприимчивость вещества.

Уравнение (18) называется линейным приближением, что указывает на линейную зависимость вектора поляризации от напряжённости диэлектрического поля в диэлектрике. Отметим, однако, что в сильных электрических полях ч зависит от напряжённости электрического поля и вид зависимости вектора поляризации от напряжённости поля усложняется. В линейном приближении из уравнений (19) и (20) можно получить.

(19).

Введём понятие вектора электрической индукции определяемого как.

(20).

в системе СИ и.

(20а) в системе СГСЭ. Подставив (17) в выражение (20).

(21).

С другой стороны, используя (16) можно получить.

(22).

Таким образом, величина вектора электрического смещения внутри однородного диэлектрика совпадает с величиной вектора индукции в вакууме ,.

(23).

(23a).

Рассмотрим идеальный плоский конденсатор с плотностью заряда на обкладках у₀. Величина напряженности поля в идеальном конденсаторе определяется формулой.

(24).

После помещения диэлектрика между его обкладками абсолютная величина напряжённости поля в диэлектрике будет определяться выражением (14). Если обкладки диэлектрика разомкнуты, то с учётом формулы (24) выражение (14) можно записать как.

(25).

Таким образом, напряжённость поля в диэлектрике совпадает с напряжённостью поля в вакууме, создаваемой конденсатором с поверхностной плотностью заряда на обкладках у_{1 =} у₀ — у_св. Отсюда можно определить величину поверхностной плотности связанного заряда как.

(26).

Из формул (22) и (24) вытекает простой способ практического измерения величины электрической индукции. Подставив (22) в (24) получим D =. Следовательно, чтобы определить величину электрического смещения достаточно измерить величину заряда на обкладках, ограничивающих диэлектрик.

Формулы (23) и (25) полученные для границы диэлектрик — вакуум можно обобщить для границы раздела двух диэлектриков с различной диэлектрической проницаемостью. В этом случае можно записать.

(27).

(28),.

где и — значения макроскопического поля, у_св1 и у_св2 — значения поверхностной плотности связанных зарядов, P_n1 и P_n2 — нормальные составляющие вектора поляризации в первом и втором диэлектриках соответственно.

Напряжённость электрического поля и вектора электрической индукции можно охарактеризовать плотностью силовых линий. Из формул (27) и (28) следует, что силовые линии вектора электрической индукции непрерывны при переходе из одной диэлектрической среды в другую, а силовые линии электрического поля терпят разрыв на границе различных диэлектрических сред (рис. 5).

а б Рис. 5. Линии электрического смещения и силовые линии электрического поля в пластине диэлектрика

Более того, линии электрического смещения остаются непрерывными и в случае неоднородной поляризации, когда в диэлектрике возникают объёмные поляризационные заряды. По этой причине, для описания электрического поля в неоднородных диэлектриках, удобнее пользоваться электрическим смещением, чем напряжённостью электрического поля.

Если силовые линии не перпендикулярны границе раздела диэлектрических сред, то вместо (27) и (28), следует записать следующие граничные условия:

D_n1 = D_n2 (29),.

E_t1 = E_t2 (30),.

где D_n — нормальная составляющая вектора электрической индукции, а E_t — тангенциальная составляющая вектора напряжённости электрического поля (рис. 6). Из рис. 6 следует, что тангенс угла между линиями напряженности вектора электрической индукции и нормалью к границе раздела диэлектрических сред можно определить как:

(31).

С учётом того, что D_t = ее₀E_t можно получить следующее выражение.

(32).

Выражение (34) определяет изменение направления вектора электрической индукции на границе раздела диэлектрических сред, и называется законом преломления линий смещения.

Рис. 6 Преломление линий вектора электрического смещения на границе раздела двух диэлектриков

Отметим, что условие (29) выполняется только в том случае, если на границе раздела отсутствуют свободные (внесенные извне сторонние) заряды. В случае наличия на границе раздела диэлектрических сред свободных зарядов должно выполняться условие.

D_n1 — D_n2 = у ^/ (33),.

где у ^/ — плотность сторонних зарядов.

Одной из важнейших характеристик электрического поля является потенциал — Ш. Рассмотрим, как изменяются уравнения описывающие распределение потенциала, создаваемого системой зарядов при внесении диэлектрика. Как известно распределение потенциала и электрического поля в вакууме определяется при помощи уравнения Пуассона.

(34),.

или в интегральной форме.

(34а),.

где с₀ и у₀ плотность распределения зарядов в вакууме, r расстояние до выбранного элемента объёма или поверхности, интегрирование производится по всему объёму. Напряжённость электрического поля связана с потенциалом выражением.

= - gradШ₀ (35).

Эффекты, связанные с поляризацией введённого в электрическое поле диэлектрика ведет к изменению электрического поля. Обозначим изменение потенциала электрического поля, связанное с поляризацией внесенного в это поле диэлектрика Ш*. Тогда уравнения (24) и (34а) можно переписать как.

(36),.

(36а),.

где Ш = Ш₀ + Ш*, с_св и у_св величины, характеризующие пространственное распределение связанных зарядов, возникающих в процессе поляризации диэлектрика. Известно, что ДШ = divgradШ.

Тогда с учётом (35) формула (36) примет вид.

(37).

Заменив с_св из формулы (10) преобразуем (37) к виду.

(38),.

(39).

C учётом (20) и (21) можно получить.

(40).

или в окончательном виде.

(41).

Уравнение Пуассона, записанное в виде (41) описывает распределение потенциала электрического поля в присутствии диэлектрика.

Таким образом, в линейном приближении, диэлектрик в электрическом поле можно охарактеризовать следующими величинами: Поляризованностью или вектором поляризации; плотностью связанных зарядов с_св и у_св; напряжённостью макроскопического поля; вектором электрической индукции; потенциалом Ш. Система уравнений (19), (21), (33), (41) позволяет полностью определить параметры электрического поля, создаваемого системой зарядов в присутствии диэлектрика. Отметим, что эти уравнения справедливы только в изотропных диэлектриках. В анизотропных диэлектриках е и ч зависят от выбранного направления, и соотношения между; и уравнениями.

(42),.

(43),.

где ч_ij и е_ij тензоры второго ранга, P_i, D_i, E_мi — компоненты векторов поляризации, электрического смещения и макроскопического поля по заданным направлениям.