«Начала» Евклида и их значение для геометрии

Евклид — автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда «Начал» оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

" Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 — 6 книги посвящены планиметрии, 7 — 10 книги — об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.

«Начала» намного превосходили более поздние труды математиков. Достаточно сказать, что они были переведены на все языки мира и выдержали около 500 изданий.

Каждой из 13 книг «Начал» предпосылаются основные предложения, необходимые для вывода всех предложений рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории: определения, аксиомы и постулаты.

" Начала" начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом — «общие понятия», остальные называются «постулатами». Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий — с помощью идеального циркуля. Четвёртый, «все прямые углы равны между собой», является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых» .

Уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Пять «общих понятий» Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов: «равные одному и тому же равны между собой», «если к равным прибавить равные, суммы равны между собой», «если от равных отнять равные, остатки равны между собой», «совмещающиеся друг с другом равны между собой», «целое больше части» .

Первая книга «Начал» начинается с 23-х определений. Приведём список некоторых определений «Начал»:

Точка есть то, что не имеет частей.

Линия — длина без ширины.

Края же линии — точки.

Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках.

Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Края же поверхности — линии.

Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

За определениями следуют постулаты и аксиомы, т. е. предложения, принимаемые без доказательства. Полный список аксиом и постулатов данный Евклидом не сохранился. Известно 5 постулатов и 10 аксиом.

Постулаты:

Требуется, Чтобы из каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжать неограниченно.

И чтобы из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность.

И чтобы все прямые углы были равны друг другу.

И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.

Аксиомы:

Равные одному и тому же равны и между собой.

И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

И удвоенные одного и того же равны между собой.

И половины одного и того же равны между собой.

И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

И целое больше части.

И две прямые не содержат пространства.