Примеры плоских течений

Однородный равномерный поток Рассмотрим плоское прямолинейное и равномерное установившееся течение несжимаемой жидкости с одинаковой во всём потоке скоростью v_x, параллельной оси ox. В этом случае.

.

Отсюда.

.

Линии равных потенциалов =const представляют собой прямые, параллельные оси ординат.

Можно положить _o= 0 и k = 0, тогда.

.

Функцию тока найдём из условия.

.

Сетка такого плоского течения изображается семейством ортогональных прямых, параллельных осям координат, а комплексный потенциал равен.

.

Для прямолинейного течения несжимаемой невязкой жидкости со скоростью v, наклонённой к оси абсцисс под углом, будем иметь.

.

Откуда и.

.

.

Комплексный потенциал такого течения будет иметь вид.

Источник и сток В качестве следующего примера рассмотрим течения, которые носят название источника и стока.

Пусть невязкая несжимаемая жидкость непрерывно возникает в некоторой точке Р и вытекает в неограниченное пространство с постоянным расходом Q и с одинаковой интенсивностью во всех направлениях (рис. 59). Линии тока этого воображаемого источника будут представлять собой прямые, расходящиеся из точки Р. Это характеризует пространственный источник.

Источник Сток

а б Рис. 59.

Если жидкость течёт из неограниченного пространства в точку, где непрерывно исчезает, течение называется пространственным стоком.

Рассмотрим плоский источник и проведём из него как из центра несколько концентрических окружностей различного радиуса. Уравнение неразрывности — уравнение постоянства расхода через любую концентрическую цилиндрическую поверхность, имеющую высоту, равную единице, в случае несжимаемой жидкости будем иметь.

.

Отсюда скорость.

и, следовательно,.

.

.

Откуда.

.

Интегрируя.

.

где С — константа интегрирования, которая может быть принята равной нулю, если полагать, что на круге r = 1 функция = 0.

Для определения функции тока воспользуемся выражением.

откуда полный дифференциал.

.

После интегрирования имеем.

.

и С = 0 при y = 0.

Следовательно.

.

Потенциал скорости источника (r) может быть интерпретирован в виде семейства концентрических кругов различного радиуса, а функция тока () в виде пучка прямых, исходящих из источника.

Вихрь Рассмотрим комплексный потенциал.

.

Пусть А — действительное число.

.

.

.

Линии тока лучи =const . Изопотенциальные линии — окружности.

Найдём расход.

.

.

.

— комплексный потенциал источника или стока мощности Q (рис. 60).

Пусть А — чисто мнимое равное Вi, где В — действительное.

Источник Вихрь.

а б Рис. 60.

.

.

— вихрь.

Вихреисточник Рассмотрим случай комплексного коэффициента при логарифме.

.

Рис. 61.

Такой комплексный потенциал можно рассматривать как результат наложения двух потоков.

,.

— комплексный потенциал вихреисточника (рис. 61).

Диполь Рассмотрим комплексный потенциал.

.

.

.

Найдём семейство линий тока.

.

.

Линии тока — окружности с центрами на оси oy.

Рис. 62.

Изопотенциальные линии — окружности с центрами на оси ox(рис. 62).

Диполь.

.

где m — момент диполя.