Покой при равномерном вращении сосуда с жидкостью

Рассмотрим сосуд с жидкостью, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью щ. На жидкость действуют внешнее давление, силы тяжести и инерционные силы. В результате их действия жидкость принимает новое равновесное положение. Свободная поверхность принимает форму параболоида.

Рассмотрим на этой поверхности произвольную точку N. Равнодействующая сила F, действующая в т. N, перпендикулярна к свободной поверхности. Величина этой силы увеличивается с увеличением радиуса, а угол её наклона к горизонту уменьшается. Из этого следует, что наклон этой поверхности к горизонту увеличивается с ростом радиуса. Таким образом, сила R определяет форму свободной поверхности. Найдём математическую формулу этой кривой.

Для данного случая относительного покоя силу F можно разложить на две силы, сила тяжести G и инерции Fин.

Силу инерции можно разложить на две составляющие Fин х и Fин y.

Определим давление в жидкости, используя полный дифференциал давления.

С учётом этого полный дифференциал давления примет вид.

Проинтегрируем эту функцию.

Результатом интегрирования будет являться выражение.

Учитывая, что, где r — радиус вращения, получим.

Постоянную интегрирования C определим из условия, что при, тогда. Постоянная интегрирования с учётом принятых условий будет.

Тогда формула, выражающая давление в жидкости, вращающейся с постоянной угловой скоростью, примет вид.

Заметим, что в итоговом выражении первое слагаемое, характеризует давление внешней среды. Второе слагаемое описывает давление, созданное столбом жидкости, находящейся ниже точки 0, т. е. глубиной под уровнем нулевой точки. Третье слагаемое характеризуется высотой над точкой 0, и, следовательно, описывает давление, создаваемое жидкостью, поднимающейся по краям сосуда, причём эта величина зависит от расстояния точки от оси вращения. Таким образом, оказывается, что давление в каждой точке жидкости, вращающейся с постоянной скоростью относительно вертикальной оси, складывается из внешнего давления и давления столба жидкости над этой точкой. Найдем поверхности равного давления.

dр=0 то уравнение примет вид.