Двойственная задача. 
Применение МS Excel в линейном программировании

Воспользуемся следующими взаимосвязями между прямой и двойственной задачами:

Если прямая задача — на максимум, то двойственная к ней — на минимум, и наоборот.

Коэффициенты целевой функции прямой задачи являются свободными членами ограничений двойственной задачи.

Свободные члены ограничений прямой задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной.

Матрицы ограничений прямой и двойственной задач являются транспонированными друг к другу.

Если прямая задача — на максимум, то ее система ограничений представляется в виде неравенств типа ?. Двойственная задача решается на минимум, и ее система ограничений имеет вид неравенств типа ?.

Если прямая задача — на минимум, то ее система ограничений представляется в виде неравенств типа ?. Двойственная задача решается на максимум, и ее система ограничений имеет вид неравенств типа ?.

Число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной, а число ограничений двойственной — числу переменных прямой.

Если на переменную x_j прямой задачи наложено условие неотрицательности, то j-е условие системы ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенства, и наоборот.

Если на переменную x_j прямой задачи не наложено условие неотрицательности, то j-е ограничение двойственной задачи записывается в виде строгого равенства.

Если в прямой задаче имеются ограничения равенства, то на соответствующие переменные двойственной задачи не налагается условие неотрицательности.

Эти требования формализуются в виде следующей двойственной задачи:

F=200y₁+300y₂+260y₃+360y₄> min.

• 2y₁+y₂+7y₃+4y₄? 10
• 4y₁+8y₂+4y₃+6y₄? 14
• 5y₁+6y₂+5y₃+7y₄? 12

y_j? 0, ().

Оптимальный план двойственной задачи — это теневые цены, которые берем из решения пункта 1:

Y^*=(0; 1,12; 1,27; 0).

Подставляем найденные решения в целевую функцию и ограничения двойственной задачи:

F_min =200*0+300*1,12+260*1,27+360*0=664,62.

• 2*0+1,12+7*1,27+4*0 = 10 = 10
• 4*0+8*1,12+4*1,27+6*0 = 14 = 14
• 5*0+6*1,12+5*1,27+7*0 = 13,04 > 12

Все ограничения двойственной задачи выполняются, при этом F_min=Z_max=664,62, что подтверждает первую теорему двойственности.