Геометрический способ введения логарифмической функции

Обратимся к изложению геометрической теории логарифма, которое в его основной части считается доступным учащимся восьмилетней школы. Заметим, что для простоты ограничимся системами логарифмов с основанием, большим единицы. Формула.

log_a x =.

с помощью которой определяются логарифмы с основанием а>1, может быть использована, конечно, и при 1>а>0. Но так как при этом меняются на противоположные знаки логарифмов и возрастание заменяется убыванием, то лучше отложить это обобщение на конец темы.

1. Отправляясь от простейших известных функций и их графиков, можно переходить к другим функциям, если условиться изображать их значения не только длинами отрезков, но и площадями фигур.

Пример 1.

На рисунке 1 изображена прямая, параллельная оси Ох,—график функции y=2. Произвольному положительному значению х соответствует на этом чертеже не только ордината у = 2, но и площадь прямоугольника c основанием x и высотой 2, т. е. 2х. Следовательно, площадь прямоугольников на чертеже I изображают линейную функцию 2x.

Пример 2.

На рисунке 2 изображена прямая, проходящая через начало координат, — график функции у = 2х. Произвольному (положительному) значению х соответствует на этом чертеже не только ордината у =2х, но и площадь прямоугольного треугольника с основанием х и высотой 2х, т. е.

0,5x 2x =.

Следовательно, площади треугольников на рисунке 2 изображают функцию .

В этих примерах предполагали, что x>0. Если x<0, то в первом примере следует считать площадь соответствующего прямоугольника отрицательной (2×0). Чтобы установить правило знаков для площадей, пригодное как для этих, так и для дальнейших случаев, условимся обходить контур фигуры, соответствующей данному значению x, от начала отчета по оси абсцисс до точки с абсциссой х и далее по всему контуру фигуры. Если при этом обход контура будет вестись в направлении против часовой стрелки, то площадь, — будем считать положительной, если по часовой стрелке, то отрицательной. При этом условии функция 2х в примере 1 и функция х² в примере 2 будет изображаться соответствующей площадью и при x<0.

2. Рассмотрим график обратной пропорциональности y =, причем ограничимся только положительными значениями k (на рисунке 3 представлен график функции y = при х>0). Будем рассматривать площадь фигуры ABCD как функцию от х (здесь за начало отсчета на оси Ох принята точка, А с абсциссой 1). Эта площадь определяет новую для нас функцию, которую в математике принято называть логарифмом х (или логарифмической функцией х) и обозначать так: log х (log — первые три буквы названия, написанного латинскими буквами: loga — rithmus). Из определения следует, что log x положителен, когда х > 1, и отрицателен, когда х < 1, при х = 1 он, очевидно, равен нулю (log 1 = 0). Отметим еще, что log х возраcтает вместе с x.

Для любого значения x годится прием нахождения приближенного значения log x с любой заданной точностью, который мы разъясним на примере х=2. Итак, вычислим приближенно log 2. С этой целью разделим отрезок оси Ох (рис. 4) от точки х = 1 до точки х = 2 на некоторое число равных частей, например на 10; им будут соответствовать 10 полосок, сумма площадей которых и даст log 2. Для приближенного вычисления.

log 2 каждая полоска заменяется прямоугольником. Если мы хотим найти приближение с избытком, то берем в качестве высоты прямоугольника левую ординату полоски, если с недостатком, то правую. В результате получим две ступенчатые фигуры, между площадями которых заключено искомое значение log 2. Так как разность этих площадей равна площади заштрихованного прямоугольника с основанием 0,1 и высотой 0.5k, то оба приближения будут верны с точностью до 0.1 0,5k = 0,05k). Для приближения с недостатком будем иметь:

0,1 () — 0,1k (0,91+.

+ 0,83 + 0,77 + 0,71 + 0,67 + 0,62 + 0,59 + 0,56 + 0,53 + 0,50) — 0,671k.

Для приближения с избытком получим 0,7216. Итак.

0,671k < log2<0,721k.

Хорошее приближение дает среднее арифметическое найденных результатов, т.

Е. log 2 0,696 k.

Если основание фигуры делить не на 10 а на 100 частей, то получим результат в 10 раз более точный (ошибка приближений с не достатком и избытком меньше, чем 0,005k.

Вот значение log 2, вычисленное с пятью десятичными знаками:

log 2 0,69315k.

Аналогично можно получать приближенные значения логарифмов других чисел. Hа пример, log 3 1,98 616, log5 1,60944k, log 10 2,30259k и т. д.

Точно так же можно вычислять и значения логарифмов чисел, меньших единицы. Мы знаем, что они будут отрицательны. Вычисления дают следующие результаты:

Log 0,5 —0,69315k, log 0,2 -1,60944k.

log 0,1 — 2,30259k и т. д.

Выбирая то или иное значение коэффициента k (например, k= 1,.

k = 2,.

k = 0,5), будем получать различные логарифмические функции. Для каждой из них можно построить график, нанося на чертеж точки, соответствующие вычисленным значениям логарифма и проводя через них плавную кривую.

Очевидно, что ординаты точек с одними и теми же абсциссами будут пропорциональны значениям k. На рисунке 5 представлены графики логарифмических функций, соответствующих k=1 и k = 2; ординаты: точек первого графика вдвое короче соответствующих ординат второго графика.

3. При k=1 логарифм называйся натуральным (естественным) и обозначается двумя буквами ln (l и n —начальные буквы слов: logarithmus naturalis).

По предыдущему: ln 2 0,69 315; ln 3 1,9 861; ln 5 1,60 944;

ln 10 2,30 259.

Так как ln x при х = 2 меньше 1, а при х = 3 больше 1 и, кроме того, эта функция непрерывно возрастает, когда х возрастает от 2 до 3, то между 2 и 3 должно найтись значение х. при котором ln х точно равняется 1. Можно доказать, что такое значение действительно существует. Оно равно 2,71 828…, обозначается для краткости буквой e и называется неперовым числом в честь шотландского ученого XVII в. Непера. Итак, е 2,71 828, ln e = 1. Вернемся к случаю любого (положительного) коэффициента k. В силу отмеченной выше пропорциональности логарифмов log x = k ln x.

Можно теперь подбирать к так, чтобы log х обратился в 1 при некотором заранее заданном значении х>1. Например, если хотим получить логарифмическую функцию, обращающуюся в 1 при х=10, то нужно лишь взять коэффициент к, удовлетворяющий уравнению.

log 10 = k In 10= 1, т. k = 1: In 10 1 :2,30 259 0.43 429.

Получающиеся при этом логарифмы называются десятичными и обозначаются так: lg x. Следовательно, lg x 0,43 429 ln х.

Например, lg 2 0,43 429 ln 2 0,30 103;

lg 30,43 429 ln 3 0,47 712 и т. д.

Вообще, для какого угодно а>1 можно подобрать kтак, чтобы соответствующее значение log a равнялось 1.

log, а = k ln, а = 1.

Тогда для k = будем иметь логарифмическую функцию log x, которая обращается в 1 при х = а. Обозначим её х; число, а называется при этом основанием логарифмов (или основанием системы логарифмов). Итак,.

;

Очевидно, что сами натуральные логарифмы имеют основании е, а десятичные — 10.

4. Знаем, что когда все размеры какой-либо фигуры изменяются в одно и то же число раз, например, возрастает в = 9 (раз).

Допустим, однако, что размеры фигуры в направлении оси Ox увеличиваются в три раза, а в направлении оси Oy — в три раза уменьшаются. Тогда площадь фигуры останется неизменной. Убедиться в этом можно сначала для случая прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, а затем для ступенчатой фигуры, образованной несколькими такими прямоугольниками, примыкающими один к другому.

Отсюда можно перейти к случаю фигур, аналогичных тем, с помощью которых мы ввели логарифмы. На рисунке 6 фигура Р ограничена снизу отрезком оси Ох, с боков — двумя ординатами точек графика у =, сверху —дугой этого графика. Если абсциссы всех точек этой фигуры увеличить в три раза, а ординаты уменьшить в три раза, то фигура Р перейдет в фигуру Q. Важно заметить, что сверху фигура Q будет ограничена дугой того же графика. В самом деле, из уравнения у = следует, что когда абсцисса возрастает в 3 раза, ордината точки графика в 3 раза убывает.

Чтобы показать, что P и Q имеют одинаковые площади, построим для Р две ступенчатые фигуры подобно тому, как это делалось в пункте 2; площадь Р будет заключаться между площадями ступенчатых фигур. На рисунке 6 фигуры эти состоят каждая из четырех прямоугольников; но можно представить себе любое количество сколь угодно узких прямоугольников. Если применить к ступенчатым фигурам то же преобразование, что и к P, то получим две новые ступенчатые фигуры, между площадями которых будет заключаться площадь Q. При этом площади ступенчатых фигур не изменятся. Итак, одни и те же площади одновременно являются приближениями с недостатком и с избытком и для Р и для Q. Так как это верно для приближений, полученных с любой степенью точности, то площади Р и Q совпадают.

Для простоты рассуждения изменяли размеры в 3 раза. Конечно, вывод о равенстве площадей будет верен и тогда, когда вместо 3 возьмем любое положительное число а, большее или меньшее единицы. В результате доказана теорем а:

Площади двух фигур ABCD и А’В’СD', расположенных под гиперболой.

y=.

(рис. 7), равны, если абсциссы точек и пропорциональны абсциссам точек A и B:

5. Применим эту теорему к выводу свойств логарифмов. Начнем со сравнения логарифмов двух взаимно (обратных) чисел, например

log 3 и log. По определению, log3 равен площади АВСD которую следует рассматривать как положительную, a log — площади AEFD рассматриваемой как отрицательное число (рис. 8). Но по доказанной теореме обе площади равны по абсолютной величине, так как = = 3. Поэтому log 3 и log равны по абсолютной величине и отличаются знаком: log = - log 3.

Если вместо 3 мы взяли бы какое-либо другое число b>0, то получили бы.

log = - log b.

Теперь понятно, почему в каждой паре значений log 0,5 и log 2, log 0,2 и log 5,.

log 0,1 и log 10, обнаруживается только в знаках (абсолютные величины равны).

Теорема пункта 4 позволяет вывести основное свойство логарифмов:

log b + log c = log (bc),.

каковы бы ни были положительные числа b и c.

По определению (рис. 9):

log b = пл. ABCD, log c = пл. AEFD,.

Log (bc) = пл. AGHD.

Из чертежа видно, что пл. AEFD.

+ пл. EGHF = пл. AGHD, т. е. пл. EGHF + log c = log (bс).

Остается, следовательно, доказать, что пл. EGHF = log b, т. е. что пл. EGHF = пл. ABCD.

Равенство этих двух площадей вытекает из пропорциональности соответствующих абсцисс. В самом деле.

= c и = c, откуда =.

Итак, основное свойство логарифмов.

log b + log с — log (bс) доказано.

6. Из основного свойства вытекают важные следствия:

Следствие 1. log b — log с = log каковы бы ни были положительные числа b и с. ¦

В самом деле.

log с + log = log (с).

Следствие2.

log (b²) = 2 log b, log (b³) = 3 logb, …, вообще, log (bⁿ) = n log b, каково бы ни было натуральное число n.

Следствие 3. При неограниченном возрастании х значения log_ax (a>l) также неограниченно возрастают. Для доказательства покажем, что при достаточно больших х значения x (a>1) превзойдут любое наперед указанное число, например 1 000 000. С этой целью возьмем x> x>(.

Но = 1 000 000 (следствие 2), а = 1, поэтому = 1 000 000 и x > 1 000 000.

Доказанный результат условно записывается так:

x + .

Следствие 4. При стремлении х к 0 значения log_ax (a>l) стремятся к минус бесконечности (log_ax —, если х 0).

Покажем, что при достаточно малых значениях х значения.

log_a x (a>l) будут меньше любого наперед заданного отрицательного числа, например —1 000 000. Для этого достаточно заметить, что.

log_ax = ;

Если х и, следовательно, по предыдущему > 1 000 000. Поэтому.

x = - < -1 000 000.

7. Теорема. При заданном а> 1, каково бы ни было число с (положительное, отрицательное или 0), существует одно и только одно значение х, такое, что.

x = с.

Так как полное доказательство этой теоремы является сложным, мы ограничимся наглядным ее пояснением.

На рисунке 10 изображен график функции у = log_ax. Теорема будет доказана, если найдем на графике точку, ордината которой у равна данному числу с; тогда абсцисса этой точки х и будет искомым корнем уравнения (). Чтобы найти эту точку, проведем прямую у = с.

На рисунке, где с выбрано положительным, не видно, чтобы эта прямая пересекала график. Но так как этот график все время подымается, если идти вправо, и значения log_a х стремятся к + (следствие 3, пункт 6), то точки графика при достаточно больших х будут лежать выше прямой у = с. Так как график этот представляет непрерывную кривую (без скачков и разрывов), то он должен будет пересечь эту прямую и притом в одной только точке. Эта точка и будет искомой. Если число с отрицательное, то прямая у = с лежит ниже оси Ох. Она может находиться очень далеко внизу, в случае, когда абсолютная величина с большая. Тогда рассуждение проводится так же, как и раньше, но с ссылкой не на следствие 3, а на следствие 4.

Пусть теперь b какое-либо положительное число. Тогда по следствию 2 пункта 6.

log (b²) = 2 log b, log (b³) = 3 log b, …, log (bⁿ) = n log b.

(п— любое натуральное число). Понятно, почему эти соотношения остаются верными при любом основании логарифмов. Ведь при переходе от одного основания к другому логарифмы всех чисел изменятся в одно и то же число раз, и, следовательно, написанные выше равенства не нарушатся.

Можно сказать, что b² — это такое число, логарифм которого равен 2logb, и, вообще, bⁿ — это число, логарифм которого равен n log b (логарифмы берутся при одном и том же основании). Поэтому, если найдется число с' такое, что, например,.

log с'=logb, то естественно это число с' назвать степенью b с показателем степени и писать с' = аналогично, если число с" таково, что logc" = log b, то это число можно назвать степенью b с показателем и писать с" =.

Вообще, примем следующее определение: Степенью числа b с показателем а, где b— положительное число и, а — какое угодно число (положительное, отрицательное или нуль), называется число х, удовлетворяющее соотношению.

log х = а log b ().

Это число х записывается так: х = b^а.

То же самое можно сказать иными словами: будем измерять logx, приняв log b за единицу; если мера log x окажете при этом равной а, то назовем х степенью b с показателем а. Выбор основания логарифмов в этом определении нe играет роли, так как если log x: logb = 0 при одном основании, то то же будет верно и при любом другом основании.

Возникает вопрос: существует ли любого b>0 и любого, а число х, удовлетворяющее требованиям этого определения? Иными словами: имеет ли уравнение () хотя бы один корень? Утвердительный ответ дает теорема этого пункта. Действительно, выберем какое либо число а>1 в качестве основания логарифмов и обозначим a log_ab через с. Тогда по этой теореме найдется одно: и только одно число х, такое, что log_ax = с = alog_ab.

Итак, уравнение ()всегда имеет корень и притом только один. Этот корень по определению и есть x = .

В частности, если, а = 0, то log_n х = 0log_a b = 0, откуда х = 1, т. е. b° = 1.

8. Докажем, что степени с любым показателями имеют те же основные свойства, что и степени с натуральными показателями.

Теорема 1. Пусть b число положительное, а₁и а₂ какие угодно числах тогда.

=.

Доказательство.

По определению степени:

log =log b, log=log b.

Следовательно.

log () = log + log= log b + log b =.

=()log b.

Снова пользуясь определением степени (с показателем), получим.

= .

Следствие. Пусть.

= и = - ,.

Тогда.

= = 1, т. е. =.

Следствия .

Пусть = и а₂ = n, где nнатуральное число, тогда ()^n= = b, откуда =. Если = и а₂ = n, ()^n= =,.

откуда =.

Пользуясь определением степени с любым показателем, докажем следующее предложение.

Теорема. Пусть а>1 и х — какоелибо положительное число. Тогда log_a х равен показателю степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить х.

Доказательство. Положим log_ax = у; так как log _а a=1, то последнее равенство можно записать так: log_ax = = у log_a a. Отсюда, по определению степени, следует, что х — есть степень, а с показателем у, т. е. х = а^у.

Замечание. Итак, из формулы у = log_ax следует, что.

х = а^у. Обратно: если х = а^у, то это означает, что logx = у log а. Взяв, а в качестве основания логарифмов, получим log_a х = у iog_a а = у.

Следовательно, каждая из двух формул.

y = log_ax, х = а^у

влечет за собой другую. Но первая определяет у как функцию x, а вторая х как функцию у. Такие две функции называются взаимно обратными. Первая из них, как мы знаем, называется логарифмической. Вторую называют показательной Теперь можно сказать, что логарифм log_ax и показательная функция а^у — взаимообратные функции.

9. График показательной функции х = ау ничем не отличается от графика, логарифма у = logaх. В самом деле, в обоих случаях речь идет об одних и тех же парах чисел, из которых х: обозначает абсциссу точки, а у—ее ординату и эти точки лежат на знакомой нам кривой — графике логарифма. Однако х и у играют разную роль в формулах, задающих наши функции. Именно в формуле, задающей логарифм у = loga х, х — независимое переменное, у — функция; а в формуле, задающей показательную функцию.

x = а^у, у — независимое переменное, х — функция.

Чтобы сравнивать обе функции в сходных условиях, переменим роли х и у в обозначении показательной функции, получим у = а^х.

По отношению к каждой отдельной точке М графика х = а^у (он же график логарифма) (рис. 11) такая перемена ролей х и у означает, что ее абсцисса х рассматривается теперь как ордината и ордината у — как абсцисса новой точки N, лежащей на графике функции у = а^х. Из равенства треугольников ОМ’М и ON’N следует, что треугольник MON равнобедренный (ОМ = ON) и что биссектриса координатного угла хОу является также биссектрисой угла MON. Поэтому точки N и М симметричны относительно биссектрисы угла хОу. Иными словами, если вообразить зеркало, расположенное вдоль этой биссектрисы перпендикулярно к плоскости рисунка, то в нем точка N будет отражением точки М.

Если повторить это рассуждение для каждой точки M, лежащей на графике логарифма, то весь этот график целиком отразится в указанном зеркале. В результате получим полный график показательной функции у = а^х (рис. 11).

Итак, графики функций log_a х и а^х располагаются взаимно симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Очевидно, что та же закономерность имеет место для графиков двух любых взаимно обратных функций (например, у = х² и у = (х0).