Теоремы о числовых характеристиках

Основные теоремы о математическом ожидании

Мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках случайных величин, применимый в широком круге условий.

Теорема 1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой величине

Доказать условие можно, рассматривая неслучайную величину с как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:

Теорема 2. Неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания

Если с — неслучайная величина, а X — случайная, то Доказательство.

а) Для дискретных случайных величин имеем:

6) Для непрерывных величин ожидание математический случайный дисперсия.

Теорема 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Докажем, что для любых двух случайных величин X и Y

Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.

Доказательство.

а) Пусть (X, Y) — система дискретных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу для математического ожидания функции двух аргументов:

Но представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина X примет значение x_i:

следовательно,.

Аналогично докажем, что.

и теорема доказана.

б) Пусть (X,Y) — система непрерывных случайных величин.

Преобразуем первый из интегралов:

и теорема доказана.

Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин — как зависимых, так и независимых.

Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:

т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.

Теорема 4. Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин равно той же линейной комбинации от математических ожиданий аргументов.

Рассмотрим линейную комбинации нескольких случайных аргументов Х₁, X₂,…, X_n:

где a_i , b — неслучайные коэффициенты. Докажем, что.

Доказательство. Пользуясь теоремой сложения математических ожиданий и правилом вынесения неслучайной величины за знак математического ожидания, получим:

Теорема 5. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:

Здесь.

Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:

что, очевидно, равносильно формуле (7.1.9). Если случайные величины (X, Y) некоррелированные (K_xy=0), то формула (7.1.10) принимает вид:

т.е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Формула представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:

Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента.

Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей для независимых случайных величин и имеет вид:

т.е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это положение легко доказывается методом полной индукции.