Общая характеристика диссертации

Актуальность темы

. Вопросы аналитического продолжения и структуры особых множеств аналитических функций играют основопо — лагающую роль в теории функций комплексного переменного. Строгое определение принципа аналитического продолжения и первые результаты в этом направлении связаны с именами выдающихся основателей комплексного анализа Вейерштрасса и Римана.

В настоящее время проблема аналитического продолжения функций одного комплексного переменного обладает достаточно полным набором результатов, которые имеют многочисленные приложения в разных областях науки: в теоретической физике, механике, алгебраической геометрии и т. п.

В отличие от теории функций одного комплексного переменного, в теории функций многих комплексных переменных понятие аналитического продолжения кроме индивидуального характера приобретает и «принудительный» характер, свойственный для какого-либо класса: если всякая плоская область является областью голоморфности некоторой голоморфной функции, то в многомерном случае существуют области, которые не являются областями голоморфности, т. е. всякая голоморфная в этой области функция аналитически продолжается на более широкую область.

Настоящая диссертация посвящена продолжениям функций нескольких переменных, удовлетворяющим условиям аналитичности на пучках комплексных прямых. Причем наибольший интерес для нас представляют следующие два направления: аналитичность сепаратно-аналитических функций и аналитическое продолжение вдоль фиксированного направления. В диссертации также всесторонне изучаются продолжения гармонических, плюригармонических и субгармонических функций, которые, как известно, тесно связаны с аналитическими функциями.

функция граница аналитическое продолжение.

Рассматриваемые задачи были инициированы фундаментальной теоремой Хартогса, которая утверждает, что если функция голоморфна в области по каждой из переменных, то она будет голоморфной в по совокупности переменных. Теорема Хартогса имеет множество различных по характеру обобщений, расширений и непосредственно примыкает к тематике, связанной с аналитическим продолжением функций.

Известные работы А. А. Гончара, Е. М. Чирки, В. П. Захарюты, Й. Сичака, А. С. Садуллаева, Э. Бедфорда и В. А. Тейлора являются основополагающими в этом направлении. Отметим, что свойство аналитичности сепаратно-аналитических функций имеет глубокую связь с известной теоремой Боголюбова об «острие клина», которая, как известно, нашла существенные приложения в теоретической физике.

Вышесказанным и объясняется актуальность рассматриваемой диссертационной темы. Важность темы диссертации подчеркивается еще и тем, что она имеет различные применения, как внутри самого комплексного анализа, так и в других областях математики.

Цель работы. Основными целями настоящей работы являются:

определить область голоморфности сепаратно-аналитических функций, заданных на части границы области;

изучить аналитическую продолжимость функций, заданных на граничном пучке комплексных прямых;

исследовать продолжение плюригармонических функций вдоль фиксированного направления;

описать структуру особых множеств субгармонических функций из класса .

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории функций многих комплексных переменных, комплексной теории потенциала и теории аналитических пространств.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Они состоят в следующем:

• 1. Определены области голоморфности сепаратно-аналитических и сепаратно-гармонических функций, заданных на части границы.
• 2. Изучены аналитические продолжения голоморфных и плюригармонических функций вдоль фиксированного направления.

3. Структура особых множеств субгармонических функций из класса, полностью описана через — ёмкость.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Методы и результаты, представленные в работе, могут быть использованы в дальнейшем развитии теории функций, они также могут быть полезными в приложениях комплексного анализа в других областях математики и физики.

Апробация работы. Результаты диссертации систематически докладывались на семинаре «Комплексная теория потенциала» в УрГУ (руководитель: проф. А.С. Садуллаев); на семинаре по комплексному анализу кафедры математического анализа НУУз (руководитель: проф.Г. Худайберганов), а также на традиционных Республиканских конференциях «Актуальные проблемы комплексного анализа» (1993;2003 гг.).

Результаты диссертации докладывались также на семинаре по многомерному комплексному анализу в Институте математики Стокгольма (Швеция, 16 апреля 2005 г., руководитель: проф. Микаел Пассари); на семинаре по математической физике на математическом факультете СамГУ (Самарканд, январь 2004 г., руководитель: проф.Ш. Ярмухамедов) и на международных конференциях «Комплексный анализ и его приложение», МИРАН им. В. А. Стеклова, Москва, 25−30 июня 2001 г. (под председательством проф. А.А. Гончара); «Многомерный комплексный анализ», КрасГУ, Красноярск, 5−10 августа 2002 г. (под председательством проф.Е.М. Чирки); «Геометрический анализ и его приложения», ВолГУ, Волгоград 24−30 мая 2004 г. (под председательством проф.Е.М. Чирки); «Некорректные и неклассические задачи математической физики и анализа» СамГУ, Самарканд, 11−15 сентября 2000 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1−30], список которых приводится в конце автореферата. В работах [11], [12], [19] А. С. Садуллаеву принадлежит постановка задач, С. А. Имомкуловым получены их решения. Работы [5], [6] написано совместно Б. И. Абдуллаевым: в работе [5] доказательства теоремы 1и 2 в случаях и принадлежит автору диссертации; в [6] теорема доказана совместно. Работы [8], [9], [17] написано совместно Ж. У. Хужамовым и все результаты, полученные в этих работах, усилены в [13], [19]. А также работы [15], [16], [7] и [18] написаны в соавторстве, и вклад каждого из соавторов в работах равноценен.

Структура и объем диссертации

. Диссертация состоит из 4 глав и 14 параграфов. Параграфы, теоремы, леммы, определения и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых указывает номер главы. В конце приведен список литературы из 130 наименований.

Полный объем диссертационной работы 135 страниц.