Методика изучения геометрических величин

Понятие величины является одним из основных понятий. Однако как показывает практика работы учителей в школе термин «величина» не всегда используется правильно. «Величина» используется как понятие термина «количество», термину «величина» и значению «величина» придают один и тот же смысл. В школьном курсе математики изучение величины осуществляется концентрически:

• -пропедевтический — на этом этапе складываются интуитивные представления о величинах и их практическом значении (непосредственное измерение длин отрезков, взвешивание, измерение температуры), упоминают о так называемых «именованных» числах и вводятся простейшие единицы измерения (1−6 классы);
• -изучение методов косвенного измерения величин — проводится в курсе геометрии (7−9 классы) на этом этапе формируются знания, умения и навыки, связанные с прикладной стороной вопроса.

Пример: теорема Пифагора — на этом этапе появляются такие элементы пропедевтики строгого введения понятия величины и ее измерений, так в курсах алгебры и геометрии говорится о величинах и числах, об отношениях величин и их взаимосвязях, вводятся понятия площади и способы их измерения. В старших классах измерение площади и объема ставится на вполне современную основу, то есть даются определения этих понятий с точки зрения общих методов вычисления (в частности, вычисление с помощью определенного интеграла). При проведении пропедевтической работы о величинах необходимо, чтобы учащиеся понимали, что общей особенностью длины, площади, объема, массы, температуры является то, что для каждой из этих величин существуют отношения равенства и неравенства, которые устанавливаются практическим путем, причем для каждой из величин по-своему. Каждую из этих величин можно измерять своим собственным способом измерения, сущность которого тем не менее всегда одинакова, т. е. некоторая единица измерения и с ней необходимо сравнивать, это называется измерением.

Изучение косвенного способа измерения величин требует отчетливого представления о сущности процесса непосредственного измерения. Учителю необходимо подчеркнуть, что измерение величины тесно связано с понятием числа. Измерение величины, как было сказано выше, это сравнение с выбранной единицей, оно состоит из следующих этапов:

• -из данного рода величины выбирается единица измерения (е)
• -осуществляется процесс измерения (сравнение данной величины с единицей измерения), в результате измерения получают некоторое х, которое называется числовым значением данной величины (а), а=х-е

Говоря о геометрических величинах следует четко различать саму геометрическую фигуру, величину, относящуюся к этой фигуре и числовое значение этой величины, когда мы говорим о длине отрезка и о числовом его значении, нужно иметь в виду следующее:

• 1)длина отрезка — это расстояние между точками, А и В, которое остается неизменным;
• 2)зависит от выбора единицы измерения.

Таким образом, в данном случае в зависимости от выбранной единицы измерения длина отрезка АВ может быть 4 см, 0, 04 м, 40 мм. Таким образом длина — это объективная реальность, значение длины — это отражение этой реальности в человеческом мире. Отметим следующие свойства величины, которые появляются в процессе их измерения:

• а) равным величинам при одной и той же единице измерения соответствуют равные числовые значения;
• б) числовое значение суммы величин при одной и той же единице измерения равно сумме числовых значений слагаемых величин. В школьном курсе геометрии изучаются длина, площадь, объем, которые являются скалярными, аддитивными, непрерывными величинами и обладают рядом свойств:

І. Отношение равенства обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности (отношение меньше).

ІІ. (существование суммы величин).

ІІ. Сложение величин обладает свойствами:

• а) (коммутативности)
• б) (ассоциативности)
• в) a (монотонности).

возможность неограниченного деления на части если дана неубывающая последовательность, то среди величин не меньших существует наименьшая величина а (аксиома непрерывности).

Формирование понятия «величина» должно осуществляться на всем протяжении школьного курса математики и физики, все характерные признаки этого понятия необходимо все время подчеркивать и останавливать на них внимание учащихся.

Измерение длины Перед тем как прийти к вопросу об измерении длины необходимо предварительно показать, что отрезки обладают свойствами скалярной аддитивности величины. В 4-м школьники получают наглядное представление об отрезке, учатся измерять их, знакомятся с отрезками как носителями величины, одновременно с этим проводятся элементарные операции над отрезками: сложение и вычитание отрезков, умножение отрезков на натуральное число, деление отрезка на части. В 5 классе учащиеся имеют дело с такими геометрическими величинами как площадь, объем (площадь прямоугольника, объем прямоугольного параллелепипеда), они знакомятся и с величинами угла. В 5 классе вводится формула длины окружности. В результате проведения некоторых измерений и решения соответствующих задач на вычисление у учащихся складываются представления о величине как о неотрицательном числе. Учащиеся знакомятся со свойствами геометрических величин. В процессе измерения отрезков учащиеся убеждаются в том, что их длины не всегда выражаются целым числом. Этот факт используется в 5 классе как один из источников получения дробных чисел .