Расчет поля в симметричном полосковом волноводе с воздушным заполнителем

Расчет поля в симметричном полосковом волноводе с воздушным заполнителем Основным видом колебания в симметричном полосковом волноводе (рис. 1.1, a), так же как и в несимметричном, является ТЕМ волна. Векторы поля лежат в плоскости поперечного сечения полоскового волновода и само поле является поперечным.

Рисунок 1.1. Конформное преобразование симметричного полоскового волновода: а — поперечное сечение симметричного полоскового волновода, где b — ширина центральной токонесущей полоски, Д —толщина, d—расстояние между центральной полоской и заземленными пластинами; б — последовательность преобразования; в — вещественная ось отображения.

Поперечное поле в этом случае удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. оно имеет такую же структуру, как и в электростатическом случае.

Считая пластины полоскового волновода параллельными друг другу и бесконечно протяженными, приходим к плоскопараллельному полю. В случае плоских полей можно использовать методы конформного отображения.

Будем вычислять электростатическое распределение для одной половины поперечного сечения полоскового волновода при допущении, что другая половина простирается до бесконечности. Электростатическое распределение для второй половины поперечного сечений волновода получится из условий симметрии (рис. 1.1,б).

Для определения расчетных формул будем обходить проводящие поверхности полоскового волновода, как показано на рис. 1.1,б, по пунктирным линиям. Точке плоскости Z в рассматриваемом отображении соответствует точка -, в плоскости ж, точке —точка (a требуется определить), точке —точка, точке —точка — (с требуется определить), точке —точка, точке —точка, точке —точка, точке — точка о (рис. 1.1,в). Из соображений симметрии следует, что. Точкам и соответствуют изоляторы.

Будем осуществлять отображение вещественной оси плоскости ж на многоугольник плоскости Z с углами при вершинах, равными р, р …, р с помощью преобразования Кристоффеля — Шварца:

.(1.1).

Величины, ,, (,) соответствующие различным вершинам многоугольника, подлежат определению.

В нашем случае углы поворота равны:

р= р; р= р; р= ;

р=; р= р; р= р,.

где р — внешний угол в соответствующей вершине мнгоугольника. Отсюда находим :

Подставляя значения в (1.1), получаем:

.(1.2).

Выражение (1.2) записано в предположении, что точки, соответствующие вершинам многоугольника, известны. Однако нам задана лишь геометрия многоугольника в плоскости Z, т. е. положение вершин многоугольника и углы (в долях р), а положение точек подлежит определению. Таким образом, каковы бы ни были числа функция (1.2) определяет отображение, которое преобразует многоугольник плоскости Z в вещественную ось плоскости .

Прежде чем интегрировать выражение (1.2), произведем подстановку, c=. В результате получим:

z=C dж.(1.3).

Подынтегральная функция всюду, за исключением точек; и, аналитична и отлична от нуля, отображение z () вне этих особых точек конформно.

Для решения интеграла (1.3) воспользуемся подстановкой Эйлера:

Подставляя значения ж и dж в формулу (1.3), после преобразования получим:

z= (1.4).

Под интегралом в (1.4) получена дробь, числителем и знаменателем которой служат полиномы, содержащие только целые степени независимой переменной t. Такая дробь называется рациональной, и так как степень числителя выше степени знаменателя, то из данной дроби можно выделить целую часть.

Разделив в указанной дроби числитель на знаменатель и взяв интеграл от целой части, получим:

z= (1.5).

Преобразовав в знаменателе (1.5) сомножители в круглых скобках к виду и сделав замену 1 выражение (1.5) можно записать следующим образом:

z= (1.6).

Подынтегральное выражение (1.6) представляет дробь, знаменатель которой имеет более низкую степень, чем числитель. Такая дробь может быть разложена на сумму элементарных дробей, знаменателями которых будут множители знаменателя дроби подынтегрального выражения (1.6).

Итак, z=.

1b)(t1b)+]dt} (1.7).

где … — постоянные, которые следует определить.

Соответственно тому, что в (1.6) множитель t входит в знаменатель в третьей степени, мы ввели в (1.7) в знаменатель как, так и все низшие степени множителя t.

Дробь под интегралом в (1.6) тождественно равна сумме элементарных дробей под интегралом в (1.7). Обе дроби представляют собой только различные формы выражения одной и той же функции. Если эти дроби освободить от знаменателей, то обе части получающегося равенства также будут равны тождественно:

(4−2-4)+(8−3)-4+ t+ ++ + +. (1.8).

Постоянные, часто легче определить путем подстановки вместо t частных значений. Уравнение (1.8), как было уже сказано, представляет собой тождество, а потому удовлетворяется при всех значениях t. В частности, если t=0, оно принимает вид В частности, если t=0, оно принимает вид:

=,.

Откуда.

==, так как 1 =.

Полагая таким же образом t=1b; t=1+b; t=1b; t=1+b, получим =0; = 424; =2b (1); =2b (1)=; ==; =.

Подставив полученные постоянные в (1.7) и, произведя интегрирование, будем иметь.

z=+, (1.9).

где C и — произвольные постоянные; t= ж+; b=; c=1; a= 1.

В силу принципа соответствия границ функция (1.9) реализует конформное отображение полуплоскости на внутренность прямолинейного многоугольника, , …, плоскости Z, т. е. на симметричный полосковый волновод с учетом толщины центральной полоски.

Переходим к определению постоянных C и. При ж=с, z=, t=c уравнение (1.9) примет вид:

=+=+.(1.10).

Имея в виду, что c= выражение (1.10) перепишется так:

=+. (1.11).

При ж= -с; z= -; t= -c имеем (подстановкой можно убедиться, что точки плоскости ж, соответствующие точкам в плоскости Z, симметричны относительно. Это вытекает из известного принципа симметрии Шварца):

-= =+. (1.12).

Вычитая (1.12) из (1.11), получаем:

(1.13).

Из (1.11):

— .(1.14).

Задача нахождения параметров сводится к нахождению лишь особых точек ж=, образы которых служат вершинами многоугольника, расположенного в плоскости Z.

Из соображений симметрии следует, что =; =. Точкам и соответствуют изоляторы (в этих местах проводящие поверхности симметричного полоскового волновода имеют разрыв). Следовательно, задача определения параметров в нашем случае сводится к нахождению неизвестных постоянных a=; c=.

Неизвестные постоянные a и с, так же как и постоянные С и, определяются из условий решаемой задачи.

Мы будем находить параметры, а и с приближенным методом.

В нашем случае исходный интеграл — несобственный с разрывом в точках о=1. Будем понимать его в смысле главного значения. Переходу точки о в плоскости ж, от о =1- с до о =1 с по бесконечно малой полуокружности радиуса с (при с) соответствует переход точки z на плоскости Z с прямой на прямую (рис. 1.1,б, в), т. е. произойдет изменение z на d-.

Итак,.

d-=.(1.15).

В точке о= претерпевают разрыв только слагаемые, содержащие логарифмическую функцию .

Заметим, что:

=1+ с+=1+ с+b1+ с+b+;

=1- с+=1- с+b1- с+b- .

После сделанных замечаний исследуем подробнее (1.15).

d-=.

подставляя в последнее выражение значения для и, получаем:

d-=== -. (1.16).

Отсюда, имея в виду (1.13), находим:

d-=. (1.17).

Как было отмечено выше, точное определение параметров, а и с весьма затруднительно. Определим главные члены в. При этом предполагаем, что Дd и .

Выразим постоянные и, через параметры c и a, помня, что c= и b=:

— 2=4−4-2−4(1-)+2(1-)= -2.

=2b (1-)=2(1-)2(1-)(1-);

Освободив (1.17) от знаменателя и подставив в полученное выражение значения и, получим:

(d-)(-2)=2Д (1-) (1-).

Оставляя в последнем выражении только главные члены, находим.

=.(1.18).

Отметим, что тот же результат получим при переходе от прямой к прямой в плоскости Z (рис. 1.1, б, в).

Когда точка обходит точку =1 по бесконечно малой полуокружности радиуса в плоскости, соответствующая точка z в плоскости Z должна перейти с прямой на прямую, т. е. функция z () должна получить приращение Дz=(d-)f©, где f (с) — комплексная функция, бесконечно малая при с.

Для определения постоянной a рассмотрим соответствие:

a=; z=djh; t==a.

Тогда:

d jh= .(1.19).

Так как C чисто мнимое, см. (1.13), то.

Ad=Re=-.

Итак, сравнение вещественных частей, как и следовало ожидать, ничего нового не дает. Оно служит дополнительной проверкой сделанных ранее выкладок, см. (1.14) и (1.16).

Сравним мнимые части (1.19):

h= *. (1.20).

Подставив в (1.13), а вместо значение (1.18), получим:

== -.(1.21).

Преобразуем второе слагаемое в (1.20), подставив значения ;;b:

—() — * =.

=.

Ограничиваясь главными членами (считая, что) и заменяя в последнем выражении первый множитель значением из (1.21), имеем.

= - .

Подставляя полученное выражение в (1.20), получаем.

h= - -2d. (1.22).

Помня, что a2a-, находим 4−2; 4(); 4.

Подставляя, и последние четыре выражения в (1.22), получаем:

h= - -. (1.23).

Считая, как и раньше, что, (1.23) можно переписать иначе:

h= - - 2d= ,.

откуда:

=-1-.

Обозначая =В, получаем окончательно:

.(1.24).

Решая уравнение (1.24) численно при различных h и d, находим. Таким образом, в первом приближении все параметры полностью определены. При желании в решении поставленной задачи можно производить уточнения, оставляя члены, содержащие .

Проанализируем влияние геометрических размеров симметричного полоскового волновода (параметр h, рис. 1.1,б) на распределение поля. Численное решение уравнений (1.18), (1.23), (1.24) и зависимостей В=f (h?d) (рис. 1.2,а), и a=f (h/d) (рис. 1.2, б) и =f (Д/d) (рис. 1. 2, в) показывают, что при (что обычно выполняется в реальных волноводах) влиянием поля на внешних поверхностях базовых пластин можно пренебречь и считать. Однако и в этом случае расчет отображающей функции (1.3) остается достаточно сложным. Для упрощения расчета, в частности, подынтегральной функции в (1.3) заменим сплошную токонесущую полоску двумя бесконечно тонкими эквипотенциальными пластинами с расстоянием между ними.

Рисунок. 1.2. Зависимость коэффициентов преобразования от геометрических размеров симметричного полоскового волновода.

Правомочность такой замены справедлива для полосковых волноводов с центральным проводником на несущем диэлектрическом листе и с достаточным приближением экспериментально подтверждается для симметричного волновода со сплошным центральным проводником даже для соотношения. С учетом принятых допущений (решаемая задача поясняется рис. 1.3) выражение (1.1) можно записать в виде.

. (1.25).

Точки плоскости Z соответствует точка — в плоскости ж;; ;; ;; (рис. 1. 3, б, в).

Точка, и соответствуют изоляторы. Для данного случая углы поворота равны: р; р; р; р; р. Откуда .

Рисунок 1.3. Приближенное представление симметричного полоскового волновода и его конформное преобразование.

Подставив значения и в (1.25), получим:

.(1.26).

Для определения постоянной C выразим функцию ж в показательной форме ж=r. Тогда: jr ж.(1.27).

При перемещении от точки к точке аргумент переменной ж изменяется нар. Соответственно в плоскости Z такое перемещение соответствует изменению z на 2d+. Можно записать.

(1.28).

С другой стороны, при о выражение (1.26) принимает вид. Таким образом:

(1.29).

и окончательно:

С=j. (1.30).

Подставив в (1.16) полученное значение С и проводя интегрирование, получим.

z=j.(1.31).

Из формулы (1.31) следует, что точки о= и о=0 являются особыми точками для преобразующей функции. Поэтому при движении вдоль вещественной оси обход их совершаем по полуокружностям бесконечно малого радиуса (рис. 1.3, в), при этом функция z получает конечные приращения. Выполнив предельный переход вокруг точки -1 плоскости, найдем точки, являющиеся отображением вершин, плоскости Z:

Дz=-d=,.

откуда: q=.(1.32).

Для определения постоянной воспользуемся соответствием точки плоскости Z с координатой точке о =q плоскости:

.

После соответствующих преобразований получим:

.

Окончательно преобразующая функция примет вид:

z=j. (1.33).

При для преобразующей функции можно записать:

z= j. (1.34).

Для этого частного случая сделаем расчет поля симметричного полоскового волновода. При конформном отображении система ортогональных линий первой области переходит в систему ортогональных линий второй области. Это позволяет определить напряженность поля в произвольной точке симметричного полоскового волновода, если известна величина напряженности в соответствующей точке отображенного поля.

В рассматриваемом случае три параллельные прямые, изображающие три проводящие полоски симметричного полоскового волновода в комплексной плоскости Z, переходят при конформном отображении функцией (1.34)в три проводящих отрезка вещественной оси плоскости (рис. 1.3, а, в; при).

Обозначим через напряженность поля, создаваемую проводящими отрезками вещественной оси в произвольной точке плоскости. Соответственно будет напряженность поля проводящих полосок симметричного полоскового волновода в отображенной точке.

При равенстве потенциалов на проводящих полосках симметричного полоскового волновода потенциалам проводящих отрезков отображаемого поля напряженность поля симметричного полоскового волновода можно выразить через напряженность отображенного поля следующим образом:

==.

где черта над производной указывает на то, что нужно брать сопряженную с ней величину.

Напряженность отображенного поля, как указывалось выше, определяется с помощью интеграла Пуассона для верхней полуплоскости.

В нашем случае симметричный полосковый волновод, расположенный в плоскости Z, имеет три проводящие полоски с потенциалами, равными соответственно и (рис. 1.4).

Для определения картины поля симметричного полоскового волновода на нем отображается верхняя полуплоскость Im Вещественная ось о плоскости при этом делится на три проводящих отрезка с потенциалами ф и, равными соответственно потенциалам проводящих полосок плоскости Z.

Рисунок 1.4. Схема к расчету электрического поля полоскового волновода.

Зная величину потенциала на вещественной оси о плоскости, необходимо теперь вычислить распределение потенциала в верхней полуплоскости Im. Зная распределение потенциала в плоскости, при помощи отображающей функции (1.34) найдем распределение потенциала в плоскости Z.

Интеграл Пуассона для верхней полуплоскости имеет вид:

(1.35).

где и — фиксированные координаты точки верхней полуплоскости, в которой определяется значение гармонической функции; — координата переменной точки вещественной оси) —заданное граничное значение гармонической функции в точке вещественной оси (рис. 1.4).

Для нашего случая интеграл Пуассона принимает вид:

волновод интеграл пуассон конформный.

(1.36).

Если из точки M (рис. 1.4) провести пунктирные прямые к изолирующим точкам (-1; +1), разделяющим проводящие отрезки вещественной оси плоскости (на рис. 1. 3, в соответственно точки и) и обозначить углы, которые образуют эти прямые с положительным направлением вещественной оси через, то.

arctg=-, так как =arctg.

или.

arctg=; ().

Учитывая сказанное, уравнение (1.36) для потенциала произвольной точки с координатами и на плоскости можно записать в следующем виде:

.(1.37).

Eсли ввести углы образованные векторами ж1 и ж1 с действительной осью о, то последнее выражение упрощается:

()=и.

Линии равного потенциала в последнем уравнении есть и =const.

Углы и для очередных линий равного потенциала могут принимать различные значения от 0 до. Это говорит о том, что из изолирующих точек, разделяющих проводящие отрезки вещественной оси, исходят линии равного потенциала в виде лучей. Функция равна углу и, умноженному на, под которым отрезок (-1; +1) виден из точки M.

Отсюда делаем вывод, что геометрическим местом точек линий равного потенциала являются окружности, проходящие через точки -1 и +1, что несложно доказать. Для этого преобразуем (1.37) в уравнение окружности. Прежде из (1.37) найдем.

tg .

отсюда.

Последнее выражение можно представить следующим образом:

Откуда получим уравнение окружности:

Радиус окружности R=cosesКоординаты центра окружности — линии равного потенциала 0(0,ctg). Результаты расчета картины поля симметричного полоскового волновода в плоскости приведены на рис. 1.5.

Рисунок 1.5. Картина поля симметричного полоскового волновода в преобразованной плоскости.

Для определения напряженности поля в какойлибо точке плоскости воспользуемся известной формулой:

.(1.38).

Уравнение (1.38) позволяет при заданных потенциалах определить напряженность поля по величине и направлению в любой точке верхней полуплоскости Im при помощи простого дифференцирования.

Определив из формулы (1.38) производные и, получим напряженность электрического поля в произвольной точке верхней полуплоскости в следующем виде:

(1.39).

Из точек вещественной оси плоскости линии равного потока выходят под прямым углом к ней, и напряженность поля в них определяется по формуле.

.

Дифференцируя формулу (1.34), получаем:

Подставляя последнее выражение имеем:

(1.40).

где черта над выражением в круглых скобках говорит о том, что надо брать величину, ему сопряженную.

Формула (1.40) показывает, что максимальное поле будет на краях центральной полоски. Поэтому при конструировании полоскового волновода надо тщательно обрабатывать края центральной полоски, закругляя их.

Для определения поля в плоскости Z задаются величины и d, по ним вычисляется q (1.32). Далее задаются точки,; плоскости и по ним вычисляются точки х и у в плоскости Z (1.33) или (1.34). Используя выражение (1.40), производится расчет напряженности поля симметричного полоскового волновода без учета толщины центральной полоски.

Для расчета напряженности поля симметричного волновода с учетом толщины центральной полоски необходимо использовать выражение.

(1.41).

полученное аналогично (1.40) после дифференцирования (1.33)по .

Формула (1.9) была проверена экспериментально. Моделирование электрического поля симметричных полосковых волноводов с воздушным заполнителем проводилась так же, как и несимметричных на электропроводящей бумаге.

Для построения линий равного потенциала и равного потока формулу (1.9) приведем к параметрическому виду.

x=.

y=,.

где.

M=;

N=;

Q=;

По этим формулам рассчитано поле в плоскости Z. На рис. 1.6, показаны линии равного потенциала в поперечном сечении симметричного полоскового волновода с учетом толщины токонесущей полоски, где точками отмечены экспериментальные значения. Опытной проверке подвергались симметричные полосковые волноводы с различными геометрическими размерами. Эксперимент подтвердил правильность аналитических расчетов.

Рисунок 1.6. Линии равного потенциалу симметричного полоскового волновода (а) и теоретическая картина поля в поперечном сечении симметричного волновода (б).