Формула полной вероятности

В практике решения большого числа задач формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, являющиеся следствием основных теорем, находят широкое применение.

Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется.

P (A) = P (Hi) P (A Hi),.

где P (Hi) — вероятность гипотезы Hi; P (А| Hi) — условная вероятность события, А при гипотезе Hi.

Поскольку событие, А может появиться с одной из гипотез H1, H2, … Hn, то, А = АH1 H2… АHn, но H1, H2, … Hn несовместны, поэтому.

В виду зависимости события, А от появления события (гипотезы) Hi.

P (AHi) = P (Hi)· P (А| Hi).

Формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

Пусть есть некоторое событие А, которое может произойти в результате некоторого события В1, В2,…Вn и пока одно из этих событий не наступило его называют гипотезой. Гипотезаэто еще не наступившее, но уже возможное событие.

Для события, А формулу полной вероятности можно записать следующим образом Р (А)=Р (В1)*Рв1(А)+Р (В2)*Рв2(А)+…+Р (Вn)*Рвn (А).

При условии, что В1, В2,…Вn уже наступило.

Рвn (А) — это условная вероятность, которая означает, что уже наступило событие Вn и мы знаем или хотим найти чему равна вероятность события, А при наступившем событии Вn. Теперь представим, что наступило событие А. Так как событие, А и гипотезы В1, В2,…Вn связаны, то найдем вероятность наступления события В1 при наступившем событии А. Т. е. чему будет равна такая вероятность РА (В1) — ?

По теореме умножения Р (А*В1)=Р (А)* РА (В1) при условии что Р от, А уже наступило. Или же Р (А*В1)=Р (В)* РВ1(А) при условии что В1 уже наступило. Используя правые части формулы можем получить РА (В1)= Р (В)* РВ1(А) / Р (А). И теперь подставляем формулу полной вероятности Р (А), то мы и получим формулу Байеса. Чаще всего в примерах задач будут две или три гипотезы. Формула Байеса для двух гипотез выглядит следующим образом РА (В1)= Р (В1)* РВ1(А) / Р (В1)* РВ1(А)+ Р (В2)* РВ2(А).