Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.
Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция.
. (2.28).
Равенство (2.5) можно переписать в виде.
(2.29).
или, учитывая закон Дарси,.
. (2.30).
Здесь u — вектор массовой скорости фильтрации; grad — градиент, направленный в сторону быстрейшего возрастания .
Уравнение (2.30) — это закон Дарси, записанный для потенциального течения.
Подставляя (2.30)в (2.4), получаем.
(2.31).
а для установившегося течения.
. (2.32).
Уравнения (2.31) и (2.32) являются основными уравнениями потенциального фильтрационного течения и называются уравнениями Лапласа относительно функции, а оператор оператором Лапласа.
В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид.
.
где (a) — декартовые координаты; (b) — сферические координаты; (c) — цилиндрические координаты.
Уравнение Лапласа имеет два практически важных свойства:
- · сумма частных решений является решением уравнения Лапласа;
- · произведение частного решения на константу — также решение.
Данные свойства приводят к принципу суперпозиции — сложения фильтрационных течений.