Исследование и построение решения задачи

Математическая модель

В моей работе для моделирования жидких и газообразных сред я выбрала гибридный подход, в котором сочетаются решения уравнений для скоростей на трехмерной сетке и визуализация среды системой частиц. Точного решения система уравнений Навье-Стокса для интерактивных приложений не требуется. Ниже рассмотрим эту систему с точки зрения требований предъявляемых игровыми приложениями.

Уравнения Навье-Стокса

Представим, что мы моделируем жидкость, как систему частиц. Каждая частица — это маленький шарик воды, который имеет массу m, объем V и скорость .

Чтобы проинтегрировать систему вперед во времени, необходимо обрисовать действия сил на каждую частицу.

Второй закон Ньютона как раз говорит нам, как частицы ускоряются и откуда возникает движение.

D/D — Производная Лагранжа.

Рассмотрим, какие силы действуют на наши частицы.

Во-первых, в системе присутствует гравитация, т. е. на частицу действует сила тяжести. Во-вторых, области высокого давления давят на области с низким давлением. Нас интересует общая сила, действующая на частицу, потому что, например, если давление по всем направлениям одинаково, то общая сила будет равна 0. На самом деле, важны только те ситуации, когда с одной стороны частицы давление больше, чем с другой. В этом случае частица начинает двигаться в сторону, где давление ниже. Т. е. нас интересует изменение силы, которое проще всего посчитать, взяв отрицательный градиент давления. Также необходимо проинтегрировать по всему объему, что проще всего сделать домножив все выражение на V. В-третьих, возникает еще одна сила из-за вязкости нашей жидкости. Вязкие жидкости пытаются противостоять деформации. Эту силу можно рассматривать как некоторую силу, которая пытается заставить частицу двигаться со средней скоростью окружающего потока, т. е. она пытается минимизировать разницу в скорости между частицой и близлежащими к ней частицами. Дифференциальный оператор, который вычисляет как далеки значения в некоторой области — это лапласиан. Вот откуда появляется третье слагаемое в нашем уравнении. Далее нам также необходимо проинтегрировать по всему объему и домножить на µ - динамический коэффцифиент вязкого трения.

Разделим обе части уравнения на V.

И затем разделим на плотность с.

В данной системе принимают участие следующие величины:

V — вектор скорости,.

t — время,.

µ — коэффициент кинематической вязкости, с — плотность,.

P — давление,.

f — вектор плотности массовых сил,.

l — характерный размер

Re — число Рейнольдса — безразмерное соотношение, которое определяет стабильность системы Если рассмотреть одномерный случай, то не сложно убедиться на сколько Re важный параметр:

— в предельном случае, когда отсутствует диффузия (м=0), то изменение скорости по полю скоростей можно условно изобразить как показано на рисунке Уравнение вырождается в.

Как видно из графиков, процесс симуляции быстро ломается.

— в другом придельном случае, когда мы рассматриваем только диффузию и уравнение вырождается в.

Такое уравнение ведет себя устойчиво.

Это подталкивает нас к выводу, что для устойчивого моделирования необходима составляющая диффузии.