Метод двух узлов

Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла; на рис. 2.15 изображена одна из таких схем. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов. Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы, которое может быть найдено по формуле:

После определения напряжения Uab находят ток в любой (п-й) ветви по формуле.

Iп = (ЕпUab)gn.

Рис. 2.15.

Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме п узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с п до (п — 1).

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является менее трудоемким, чем метод контурных токов.

Обратимся к схеме рис. 2.16, которая имеет довольно большое число ветвей (11) и сравнительно небольшое число узлов (4). Если узел 4 мысленно заземлить, т. е. Принять = 0, то необходимо определить потенциалы только трех узлов:. Для единообразия в обозначениях условимся токи писать с двумя индексами: первый индекс соответствует номеру узла, из которого ток вытекает, второй индекс — номеру узла, в который ток втекает. Проводимости ветвей также будут снабжаться двумя индексами. Необходимо заметить, что эти проводимости не имеют ничего общего с входными и взаимными проводимостями ветвей, которые рассматривались ранее.

В соответствии с обозначениями токов на рис. 2.16 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

.

Или.

Перепишем последнее уравнение следующим образом:

Где.

Подобные же уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы. Если схема имеет п узлов, то ей соответствует система из (п -1) уравнений:

В общем случае Gkk — сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k, Gkm — сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы k и m, взятая со знаком минус. Если между какими-либо двумя узлами ветвь отсутствует, то соответствующая проводимость равна нулю. В формировании узлового тока k-узла Jkk участвуют те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и (или) тока. Если ЭДС Ер р-ветви направлены к k-узлу, то ее вклад в формирование Jkk равен Еpgp, а если эта ЭДС направлена от k-узла, то ее вклад составляет — Еpgp .Если к k-узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть введен в Jkk со знаком плюс, если этот ток от источника тока утекает, то он должен входить в Jkk со знаком минус. После решения системы относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

В том случае, когда в схеме имеются два узла, соединенных ветвью, в которой имеется ЭДС, а сопротивление ее равно нулю, перед составлением системы уравнений по методу узловых потенциалов один из этих узлов рекомендуется устранить.

Система уравнений может быть представлена в матричной форме записи:

Ее решение.