Модель бесконечно малого промежутка собственного времени процесса

Рассмотрим одномерный колебательный процесс, состояние которого на интервале наблюдения / описывается непрерывной функцией x (h,), |e/. На графике этой функции отметим точки локальных максимумов и локальных минимумов и разобьем с их помощью весь процесс на отдельные участки, в которых процесс развивается эволюционно.

Подвергнем анализу эти формулы. В правых частях у них в качестве множителя присутствует натуральная мера времени е. Она показывает, в какой единице измерения (в каком масштабе или какой размерности) производится вычисление т. Если это запомнить, то е можно и не писать, по крайней мере в тех случаях, в которых не могут возникнуть недоразумения.

Правые части формул (4) и (5) содержат переменную g — акт наблюдения. В соответствии с постановкой вопроса о моделировании собственного времени процесса нам необходимо получить выражения Дт и йт, независящие явным образом от I и, в частности, от конкретных значений l = aw l = b. С этой целью введем новое обозначение для функции состояния = /(Ј). Полагая для простоты существование для всех хе [Л, В] обратной функции Ј = 1^-1. и исключая с ее помощью I в правых частях (4) и (5), мы можем записать, например, формулу (5) в следующем виде:

Напомним, что A=f (a) и B = f (b), см. рис. 8.

Уравнение (6) определяет однопараметрическое семейство интегральных кривых, которые, пользуясь терминологией специальной теории относительности, являются мировыми линиями процесса. Рассмотрим частные случаи (6), придавая функции состояния конкретный вид.

1. Процесс — линейный, х=а!; + р, |e[a, b] a, p — константы. Поскольку.

то после подстановки этих величин в (5) получим.

Легко заметить, что полученная формула как частный случай содержит в себе определение интервала времени в специальной теории относительности. Если же трактовать эту формулу как дифференциальное уравнение, то она будет характеризовать однопараметрическое семейство параллельных прямых, которые являются мировыми линиями линейного процесса.

Процесс описывается степенной функцией x — al^m, e[a, b] a, m — константы. Так как.

то формула (6) принимает вид:

Это уравнение определяет семейство интегральных кривых которые являются мировыми линиями данного процесса.

3. Процесс задается экспоненциальной функцией х = ае*1, I [a, b] a, 3 —константы. Имеем:

Поэтому (6) записывается в виде.

Несложно вычислить семейство мировых линий экспоненциального процесса:

Итак, интервал собственного времени линейного процесса определяется как выраженное в натуральной мере е отношение малого изменения состояния процесса к полному изменению за весь период наблюдения.

4. Процесс — синусоидальный, х = a sin р, Iee [0,л 2р]; а, р — константы. Так как или же (6) получим.

Однопараметрическое свойство мировых линий синусоидального процесса имеет вид:

c — произвольная константа.

Даже этих четырех примеров достаточно для того, чтобы понять, какое разнообразие понятий собственного времени и семейств мировых линий содержат в себе соотношения (5) и (6). Перед нами открывается необозримое поле деятельности, которое может оказаться таким же привлекательным, как, например, исследования в области специальной теории относительности. О конкретных продвижениях в этом направлении будет рассказано в последующих разделах.

Отметим также, что при получении формулы (6) мы предположили существование обратной функции l=f~^l (x) при всех х<�е [А, В]. Для рассмотренного нами участка процесса между локальным минимумом и локальным максимумом функция состояния монотонно возрастает и в общем случае может содержать точки перегиба и интервалы постоянных значений, т. е. такие множества, в которых нарушается наше предположение. Однако же, если вспомнить принятое нами положение о том, что на этих множествах собственное время процесса не меняется (остается постоянным), то становится ясным, что их присутствие не создает каких-либо дополнительных трудностей.

Подводя предварительные итоги сказанному, обратим внимание читателя на то, что изложенное здесь понятие промежутка собственного. времени процесса учитывает и циклический и эволюционный характер процесса. Из цикличности (в данном случае от повторений состояний, локальных максимумов и локальных минимумов) извлекается натуральная мера времени е, а от эволюционное исходит понятие сколь угодно-малой доли е. Следовательно, математическую модель времени можнр рассматривать как один из вариантов реализации концепции Ф. Вестера о совместном учете циклических и эволюционных процессов в развитии проблемы времени.