Матричная модель обобщенного комплексного числа

математика матричный комплексный Как известно комплексные числа строятся на базе четырех единиц:

i₀ = 1, i₁ = i, i₂ = - 1, i₃ = - i,.

которые перемножаются в соответствии с табл.

Индексы базисных единиц подчиняются закону сложения по mod (4). Этот закон сложения получается путем сдвига каждой последующей строки таблицы умножения на одну позицию влево относительно каждой предыдущей строки. Одновременно рассмотрим табл., в которой индексы базисных единиц также циклически сдвинуты на одну позицию вправо.

На основе табл. построим четыре 0,1 — матрицы:

i₀ =, i₁ = ,.

i₂ =, i₃ = .

Непосредственным перемножением убеждаемся, что в отношении этих матриц действует закон умножения, выраженный табл. 2.5:

i₀ = i₁· i₃ = 1, i₃ = i₁ · i₂ = - i и т. д.

Обобщенным комплексным числом x будем называть матрицу размером 4 · 4:

x = х₀i₀ + х₁i₁ + х₂i₂ + х₃i₃ = ,.

Формула умножения двух обобщенных комплексных чисел x и y вытекает из перемножения двух матриц вида (2.18):

xу = · =.

= (х₀у₀ + х₁у₃ + х₂у₂ + х₃у₁) i₀ + (х₀ у₁ + х₁у₀ + х₂у₃ + х₃у₂) i₁ +.

+ (х₀у₂ + х₁у₁ + х₂у₀ + х₃у₃) i₂ + (х₀у₃ + х₁у₂ + х₂у₁ + х₃у₀) i₃.

При перемножении обобщенных комплексных чисел положительные и отрицательные компоненты результирующего числа не перемешиваются. Если принять обычные действия в отношении положительных и отрицательных единиц, которые мы обозначим как j₀ и j₁, то из (2.19) получим:

• (х₀у₀ + х₁у₃ + х₂у₂ + х₃у₁) j₀ + (х₀у₁ + х₁у₀ + х₂у₃ + х₃у₂) j₁ —
• — (х₀у₂ + х₁у₁ + х₂у₀ + х₃у₃) j₀ — (х₀у₃ + х₁у₂ + х₂у₁ + х₃у₀) j₁ =

= [(х₀ — х₂) (y₀ — y₂) — (х₁ — х₃) (y₁ — y₃)] j₀ +.

+ [(х₀ — х₂) (y₁ — y₃) + (х₁ — х₃) (y₀ — y₂)] j₁. (2.20).

Введя новые обозначения для координат традиционных комплексных чисел, а и b, образованных на базисе j₀ и j₁, будем иметь знакомую нам со школы формулу умножения. Итак, обозначим а₀ = х₀ — х₂, а₁ = х₁ — х₃, b₀ = y₀ — y₂, b₁ = y₁ — y₃, (2.21).

тогда из (2.20) имеем.

(а₀b₀ — а₁b₁) j₀ + (а₀b₁ + а₁b₀) j₁ = (а₀j₀ + а₁j₀) · (b₀j₀ + b₁j₁) = ab.

Из равенств (2.18) — (2.21) вытекает возможность представления в матричной форме действий над комплексными числами. Возьмем для примера два конкретных комплексных числа a и b; их произведение дает число c в соответствии с традиционной формулой:

ab = (-3 + i) · (1 — 2i) = -1 + 7i = c.

В матричном представлении будем иметь:

ab = =.

= = с.

Здесь для числа с положительное и отрицательное матричные числа вычитались: 2 — 3 = -1. При перемножении же обобщенных комплексных чисел x и у, как уже было сказано, отрицательные и положительные компоненты не будут перемешиваться, как того требует формула (2.19):

xy = (1i₀ + 3i₁ + 4i₂ + 2i₃) · (2i₀ + 3i₁ + 1i₂ + 5i₃) = (27i₀ + 31i₁ + 28i₂ + 24i₃) == = z.

Геометрический смысл умножения двух комплексных чисел хорошо известен — это поворот в комплексной плоскости. «Вращательность» числам сообщается за счет цикличности базиса (табл. 2.2), которая проявляется еще и в том, что последовательное возведение в степень мнимой единицы даст все четыре типа единиц:

i⁰ = i, i² = -1, i³ = - i, i⁴ = i⁰ = 1,.

Мнимая единица называется образующей циклического базиса комплексного числа. Любые четыре 0,1 — матрицы, обладающие свойством цикличности в смысле (2.22), будут давать изоморфные структуры. В частности, 0,1 — матрицы вида:

i₀ = = e,.

i₁ = = i,.

i₂ = = - e,.

i₃ = = - i,.

которые мы обозначим как (2.23). При перемножении эти матрицы дадут табл. 2.5.

Базис (2.23) подобен базису (2.17), т. е. одни матрицы можно получить из других путем перестановки 2-го и 3-го столбцов и соответствующих строк с одновременным переобозначением базисных единиц табл. 2.6. Эту процедуру, однако, можно осуществить и с помощью трансформационной матрицы T, которая участвует в преобразовании подобия (2.8), для i₁ будем иметь.

i₁ = T-¹ · i'₁ · T =.

= .

Матрицы T и T-¹ одинаковы, так как они симметричны.

Два базиса 0,1 — матриц (2.17) и (2.23) образуют изоморфные циклические группы, поскольку имеют одну и ту же таблицу умножения (табл. 2.5). Положительная (+1) и отрицательная (-1) единицы и соответствующие им 0,1 — матрицы (2.16) также составляют изоморфные группы из двух элементов. Можно сконструировать такую систему «комплексных» чисел, базис которых будет обладать свойством цикличности, но с периодом, равным не 4, а 3, 5, 6, 7, 8 и т. д. Все они будут группами. Соответствующие таблицы циклических сдвигов на позицию влево и на позицию вправо с периодом, равным 6, представлены табл., в которых выписаны только индексы базисных единиц, так как именно они несут всю информацию о строении группы.

Вид обобщенного комплексного числа на базе шести единиц и формула их перемножения аналогичны выражениям (2.18) и (2.19); ничего принципиально нового в них нет.