Напряжения и токи электрических цепей

Реферат

Напряжения и токи электрических цепей

1. Электрическая цепь при последовательном соединении элементов с R, L и C

R, L, C — это параметры электрической цепи, причем активное сопротивление R характеризует активный (необратимый) процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии, а индуктивность L и емкость C — обратимый процесс преобразования энергии электромагнитного поля.

Под действием напряжения источника питания в цепи возникает ток i. Ток создает падения напряжения на элементах цепи: — на элементе с активным сопротивлением; - на элементе с индуктивностью; - на элементе с емкостью. По второму закону Кирхгофа для данной цепи запишем

или

В результате решения данного уравнения найдем .

Найдем частное решение данного уравнения, то есть ток установившегося режима. Так как правая часть этого уравнения — синусоидальная функция, то и частное решение следует искать в виде синусоидальной функции

.

Функция полностью определена, если известны амплитуда тока I_m и угол сдвига фаз ц между напряжением и током. Найдем эти величины.

Как было показано ранее, напряжение изображается комплексным числом; ток — комплексным числом; производная — комплексным числом; интеграл — комплексным числом .

Перейдем от дифференциального уравнения к алгебраическому уравнению в комплексной форме

.

После преобразования имеем, а разделив обе части уравнения на, получим аналогичное линейное алгебраическое уравнение для комплексных действующих значения:

Коэффициент является полным сопротивлением цепи в комплексной форме. Вещественная составляющая R полного сопротивления равна активному сопротивлению цепи, а мнимая составляющая X называется её реактивным сопротивлением. Реактивное сопротивление цепи равно разности индуктивного и емкостного сопротивлений:

.

; ,

откуда комплексное полное сопротивление

где модуль полного сопротивления

.

Таким образом, модуль полного сопротивления цепи равен отношению модулей действующих значений напряжения и тока, а аргумент комплексного сопротивления — сдвигу фаз ц между векторами напряжения и тока.

Модуль полного сопротивления цепи то есть, полное сопротивление цепи равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений.

Можем найти амплитуду тока, определяющую функцию

.

Теперь, если воспользоваться равенством

можно определить угол сдвига фаз ц

.

Таким образом, значение угла ц зависит от соотношения между реактивным X и активным R сопротивлениями. Чем больше реактивное сопротивление, тем больше угол ц. Знак угла ц зависит от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями. Если, то угол ц положительный и ток можно определить по формуле, откуда видно, что ток отстает по фазе от напряжения на угол ц. Если, то угол ц отрицательный и ток, то есть опережает по фазе напряжение на угол ц.

На рисунке показано, как изменяются напряжение и ток в цепи с последовательно соединенными активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями при условии :

При построении векторной диаграмм в качестве начального удобно выбрать вектор тока, так как при последовательном соединении ток во всех элементах один и тот же. Как было условлено, начальный вектор совмещаем с положительным направлением мнимой оси (здесь и далее оси обозначать не будем).

Падения напряжения в комплексной форме на участке цепи с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями соответственно

;; .

Вектор на участке с активным сопротивлением совпадает по фазе с вектором, и на векторной диаграмме его проводим в направлении тока. Падение напряжения на участке с индуктивностью опережает ток по фазе на угол р/2, причем поворачивать вектор надо против часовой стрелки по отношению к вектору. Падение напряжения на участке с емкостью отстает от тока на угол р/2, причем следует повернуть на угол 90^є по направлению вращения часовой стрелки по отношению к вектору .

По второму закону Кирхгофа можно написать уравнение

.

Для нахождения вектора полного напряжения цепи к концу вектора пристраиваем вектор путем параллельного переноса, а к концу вектора пристраиваем вектор. Вектор полного напряжения соединяет начало координат с концом вектора (последнего слагаемого вектора).

Поскольку векторная диаграмма построена для случая, когда (следовательно, и), ток в цепи отстает по фазе на угол ц от полного напряжения, комплексное значение которого .

2. Треугольник напряжений и сопротивлений

Если электрическая цепь состоит из последовательно соединенных элементов с активным и реактивным сопротивлениями, то векторная диаграмма напряжений имеет вид прямоугольного треугольника. Гипотенуза этого треугольника равна полному напряжению U, а катеты треугольника — активной и реактивной U_р составляющим полного напряжения, причем

Из треугольников напряжений можно получить ряд важных соотношений между напряжениями:

;

где

;

.

Если начальный вектор расположен горизонтально, то при треугольник напряжений находится сверху от него и снизу при. После деления всех сторон треугольника напряжений на ток I получим треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений:

;; .

Из треугольника сопротивлений можно получить соотношения

; ,

а также известные уже равенства

; .

3. Резонанс напряжений

При последовательном соединении элементов с R, L и C ток в цепи

.

Из всех возможных соотношений между индуктивным X_L и емкостным X_C сопротивлениями особый интерес представляет случай, когда эти сопротивления равны, то есть. В этом случае реактивное сопротивление цепи и полное сопротивление минимально. Тогда ток в цепи и при, значение его максимально.

Напряжения на индуктивном и емкостном элементах в комплексной форме, а по значению. Следовательно

; .

Таким образом, напряжения на индуктивном и емкостном элементах могут превышать напряжение сети в раз, если. Сдвиг по фазе между напряжениями и равен р, то есть эти напряжения находятся в противофазе.

Такой режим цепи при последовательном соединении с R, L и C, когда, а напряжения на индуктивном () и емкостном () элементах, находящихся в противофазе, равны по значению и могут превышать напряжение всей цепи, носит название режима резонанса напряжений.

Векторная диаграмма напряжений для режима резонанса представлена на рисунке.

Реактивная составляющая напряжения равна нулю; следовательно, полное напряжение, а угол сдвига фаз; .

Активная мощность такой цепи, а реактивная. Реактивные же мощности индуктивной катушки () и конденсатора () не равны нулю: их мгновенные значения в любой момент времени равны между собой, но обратны по знаку. Происходит непрерывный обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора.

Равенство индуктивного и емкостного сопротивлений можно добиться, изменяя угловую частоту щ, индуктивность L или емкость С. Угловая частота, при которой наступает резонанс напряжений

.

При этой, резонансной, частоте ток в цепи достигает максимального значения.

Явление резонанса широко используют в устройствах радиотехники, телевидения, автоматики и других электроустройствах. Если электрическая цепь имеет параметры L и C такие, что резонансной для цепи является частота, то ток этой частоты будет иметь максимальное значение. Поскольку резонансные явления связаны со значительным увеличением напряжения на элементах с индуктивностью и емкостью, это может привести к пробою их изоляции.

4. Электрическая цепь при параллельном соединении элементов с R, L и C

К цепи с параллельным соединением элементов с R, L и C подводим напряжение, под действием которого в ветвях создают токи (в ветви с R), (в ветви с L), (в ветви с С).

Соответственно действующие значения токов в ветвях

; ;

а действующее значение полного тока

где; ;; - активная, индуктивная, емкостная и полная проводимости цепи.

По первому закону Кирхгофа для данной цепи,

.

При построении векторной диаграммы токов за начальный удобно принять вектор напряжения. Векторы комплексных токов, и в ветвях направлены с учетом их сдвига по фазе по отношению к вектору напряжения. В соответствии с уравнением производят геометрическое сложение векторов токов на комплексной плоскости и находят вектор полного комплексного тока .

На предыдущем рисунке построен треугольник токов OAB, катеты которого равны активной I_а и реактивной I_р составляющим тока, а гипотенуза — полному току I. Активная составляющая тока совпадает по фазе с напряжением. Реактивная составляющая тока сдвинута по фазе относительно напряжения на угол р/2. Если, то I_р отстает по фазе от напряжения на угол р/2, а полный ток — на угол ц (0?ц?р/2). Если, то I_р опережает напряжение на угол р/2, а полный ток — на ц (-р/2?ц?0).

Из треугольника токов следует соотношения:

; ;

;

;

.

Таким образом, полная проводимость цепи равна корню квадратному из суммы квадратов активной G и реактивной проводимостей.

Полный ток в цепи при параллельном соединении элементов с R, L и C

.

Поделив стороны треугольника токов на напряжение U:; ;, построим треугольник проводимостей, из которого можно получить следующие соотношения:

; ;

.

Полная проводимость цепи в комплексной форме

где G и B — активная и реактивная проводимости соответственно.

Как видно из последней формулы, если угол ц положительный, то есть полный ток имеет индуктивную реактивную составляющую, то реактивная проводимость в комплексной форме отрицательна, и наоборот.

Активная и реактивная мощность цепи причем реактивная мощность отдельных ветвей, .

Полная мощность цепи .

5. Резонанс токов

В электрической цепи при параллельном соединении ветвей с R(G), L(B_L), C(B_C) ток определяется по формуле .

Особый интерес представляет случай, когда индуктивная и емкостная реактивные проводимости равны друг другу. Тогда полная проводимость цепи, так как, а полный ток

имеет минимальное значение и только активную составляющую. Следовательно, .

Токи в ветвях с проводимостями B_L и B_C

; ,

то есть равны по значению () и могут превышать полный ток в цепи в раз, если. Векторная диаграмма токов для рассмотренного случая имеет вид

Режим цепи при параллельном соединении элементов с R, L и C, когда, а токи в ветвях с реактивными проводимостями I_L и I_C равны по значению и могут превышать полный ток цепи, называется режимом резонанса токов. Для этого режима характерно, если ;

;; ;

;

;; .

В режиме резонанса токов рассматриваемая цепь ведет себя по отношению к источнику питания так, как будто она состоит только из элементов с активной проводимостью. В действительности же в параллельных ветвях L и C могут протекать токи, даже превышающие полный ток, протекающий в источнике питания. Но эти токи всегда противоположны по фазе друг другу. Это означает, что через каждую четверть периода происходит обмен энергиями между магнитным полем индуктивной катушки и электрическим полем конденсатора, который поддерживается напряжением U источника питания.

6. Повышение коэффициента мощности

Только активная составляющая тока определяет преобразование электроэнергии в другие виды энергии, то есть позволяет количественно оценить совершаемую работу. Реактивная же составляющая тока никакой работы не производит. Однако при её наличии увеличивается полный ток.

Представим электроприемник, потребляющий активную и индуктивную составляющие тока, схемой последовательного соединения элементов R_пр и X_Lпр.

На векторной диаграмме вектор приемника составляет с вектором напряжения угол ц_пр, причем

; .

В отсутствие емкости C, включенный параллельно с приемником Z_пр, ток в линии передачи равен току приемника. Если в проводах линии передачи (сопротивление которых R) протекает ток, то теряемая в них мощность. Так как в данном случае

то при и с уменьшением коэффициента мощности увеличивается ток в линии, а следовательно, и потеря мощности

.

Таким образом, для уменьшения потерь мощности в передающих устройствах необходимо увеличить коэффициент мощности приемников электроэнергии.

Конденсаторы емкостью C включают параллельно электроприемнику. Ток конденсатора является практически чисто реактивным, опережающим напряжение на угол р/2. Этот ток компенсирует реактивную индуктивную составляющую тока приемника, в результате чего общая реактивная составляющая тока уменьшается.

При емкости конденсатора, равной C₂, и токе ток в линии

или .

Угол сдвига фаз ц₂ между напряжением и током уменьшился, а коэффициент мощности увеличился ().

С увеличением емкости конденсатора ток увеличивается так, что при некотором значении емкости C₃ можно получить равенство (режим резонанса токов). В этом случае реактивная составляющая тока приемника I_Lпр полностью компенсируется и ток в линии достигает минимального значения, равного активной составляющей тока приемника I_а.пр. При дальнейшем увеличении емкости конденсаторов и реактивная составляющая тока в линии, а следовательно, и полный ток в ней увеличиваются. Наступает режим перекомпенсации, когда реактивная составляющая тока в линии носит емкостной характер.

Следует помнить, что при подключении конденсаторов потребляемая реактивная индуктивная мощность электроприемника остается неизменной, но её источником становится батарея конденсаторов, установленная вблизи приемника. В результате в линии передачи реактивные токи уменьшаются.

Для обеспечения заданного значения коэффициента мощности предприятия необходимо устанавливать конденсаторы определенной мощности или емкости. Если электроприемники имеют мощность и, то они потребляют из сети реактивную индуктивную мощность. При заданном значении, которое должно обеспечить предприятие (), потребляемая реактивная мощность .

Разность реактивных мощностей компенсируется емкостной реактивной мощностью конденсаторов

.

Реактивную мощность конденсаторов можно также определить по формуле

.

Приравнивая правые части этих уравнений, получим

.

При этом емкость выражается в фарадах, если мощность выражена в ваттах, а напряжение — в вольтах. Для полной компенсации () необходимо, чтобы электрический напряжение цепь резонанс

.

1. Алиев И. И. Электротехнический справочник / И. И. Алиев. — 4-е изд., испр. — М.: РадиоСофт, 2004 или 2006. — 383 с.

2. Березкина Т. Ф. Задачник по общей электротехнике с основами электроники: Учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений / Т.Ф.

3. Березкина, Н. Г. Гусев, В. В. Масленников. — 4-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2001. — 380 с.

4. Иванов И. И. Электротехника: Основные положения, примеры и задачи / И. И. Иванов, А. Ф. Лукин, Г. И. Соловьев. — Изд. 3-е, стер. — СПб.: Лань, 2004. — 191 с.

5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 2. Владимиров В. С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука 1982.

6. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.