Параметрический синтез нелинейной стохастической системы

Задана структурная схема системы (рисунок 1)

Рисунок 1.

и передаточная функция детерминированной части:

.

Задающее воздействие детерминированное: .

Помеха — стационарная случайная функция с математическим ожиданием, равным нулю, и спектральной плотностью

.

Требуется:

1. Рассчитать зависимости математического ожидания и дисперсии ошибки системы от величины коэффициента передачи в установившемся процессе. Автоколебания в системе считаются недопустимыми.

2. Выбрать оптимальное значение из условия минимума границы значений по вероятности: .

Исходные данные представлены в таблице.

1. Порядок расчета установившегося случайного процесса в системе управления

Для расчета установившегося случайного процесса в системе при стационарных случайных воздействиях применяется спектральный метод.

Данный аналитический метод, называемый также методом передаточных функций, детально развит в рамках теории автоматического управления [1,2] и основан на использовании структурно-динамических схем систем и спектральных плотностей случайных процессов. Непосредственное использование спектральных плотностей возможно только для стационарных процессов. Поэтому данный метод позволяет строить модели процессов, соответствующих некоторым установившимся режимам в стационарных системах при стационарных воздействиях.

Применение данного метода основано на использовании двух свойств линейных систем:

1. Реакция линейной системы на совокупность входных воздействий может быть определена как сумма ее реакций на каждое из них в отдельности (принцип суперпозиции).

2. Случайный сигнал на выходе физически реализуемого линейного динамического звена имеет закон распределения, близкий к нормальному (свойство фильтра).

Второе свойство, строго говоря, имеет место при следующем соотношении между порядком знаменателя n и числителя m передаточной функции звена или системы: n - m ? 2. Однако его обычно используют во всех случаях, когда выполняется условие физической реализуемости n-m ? 1.

Благодаря указанным свойствам оказывается возможным изолированно рассматривать преобразование линейной системой детерминированных и центрированных случайных составляющих входных сигналов и ограничиваться для выходного сигнала или ошибки системы нахождением только математического ожидания и дисперсии, полностью определяющих нормальный закон распределения. Для оценки корреляционных свойств выходных сигналов используются корреляционные функции и спектральные плотности.

Каждый случайный входной сигнал преобразуется в сумму:

где m_g(t) — детерминированная составляющая, или математическое ожидание входного сигнала; - центрированная случайная составляющая входного сигнала (случайный процесс с нулевым математическим ожиданием).

Модель преобразования детерминированной составляющей строится на основе стандартного аппарата передаточных функций:

L[m_y(t)] = Ц (p) L[m_g(t)],

где L[m_g(t)], L[m_y(t)] - изображения по Лапласу детерминированных составляющих соответственно входного и выходного сигналов; Ц (p) — передаточная функция звена или системы.

Выходной сигнал в установившемся процессе может быть определен по теореме о конечном значении:

Например, при m_g(t)=const для асимптотически устойчивой системы получим: m_y=Ц (0) m_g=const.

Модель преобразования центрированной случайной составляющей строится для спектральных плотностей

S_y(щ)=|Ц (jщ)|²S_g(щ),

где спектральная плотность входного сигнала определяется по его корреляционной функции По полученной спектральной плотности выходного сигнала находят его дисперсию:

Этот интеграл обычно удается привести к форме:

где

h_n(jщ)=b₁(jщ)^2n-2 +b₂(jщ)^2n-4 + … +b_n, g_n(jщ)=a₀(jщ)ⁿ +a₁(jщ)^n-1 + … +a_n. (1)

Тогда:

(2)

где ?_n — n-й определитель Гурвица для многочлена g_n(p) [3], а ?'_n получается из ?_nзаменой 1-й строки коэффициентами многочлена h_n. Например, при n=4

. (3)

Для системы с несколькими случайными входными сигналами, если они не коррелированы между собой, математическое ожидание и дисперсия выходного сигнала определяются на основе принципа суперпозиции:

где и — математическое ожидание и спектральная плотность k-го входного сигнала (задающего или возмущающего воздействия);; - передаточная функция системы от k-го входа к выходу.

Таким образом, выходной сигнал определяется в форме, причем центрированная случайная составляющая описывается дисперсией D_y.

Аналогичный подход используется при нахождении ошибки системы. Она определяется в форме:. Пусть на систему действуют детерминированное задающее воздействие g(t) и несколько некоррелированных случайных возмущений, k=1,2,…, K.

Тогда математическое ожидание ошибки определяется в виде суммы:

где, , Ц_x(p) — передаточная функция системы по ошибке от задающего воздействия, — передаточная функция системы по k-му возмущающему воздействию, k=1,2,…, K.

Дисперсия ошибки совпадает с дисперсией выходного сигнала.

2. Статистическая линеаризация нелинейной части системы

Статистической линеаризацией называется построение линейной модели нелинейного звена системы управления с учетом характеристик преобразования случайного сигнала линейной частью системы (рисунок 2).

Методы статистической линеаризации основаны на допущении о наличии у линейной части системы свойства фильтра. Благодаря этому, сигнал на входе нелинейного звена, то есть на выходе линейной части (рисунок 2), рассматривается в форме, причем для описания центрированной составляющей ограничиваются дисперсией D_x или среднеквадратическим отклонением у_x. При нескольких входных сигналах для каждого используется аналогичное представление, а для описания совокупности центрированных составляющих — матрица моментов.

Для однозначной нелинейности общего вида статистически линеаризованная модель имеет вид: .

Для однозначной нечетной относительно входного сигнала нелинейности j (-x)=-j (x) коэффициент j₀ выражают через математическое ожидание входного сигнала: j₀ = k₀m_x.

Коэффициент j₀ называется средней статистической характеристикой нелинейности; коэффициент k₀ — статистическим коэффициентом усиления по математическому ожиданию; коэффициенты k₁ — статистическим коэффициентам усиления по случайным составляющим входных сигналов.

Значения коэффициентов статистической линеаризации определяют на основе критериев вероятностной эквивалентности. Обычно используют два критерия.

Первый критерий состоит в равенстве математических ожиданий и дисперсий сигналов на выходе статистически линеаризованного и исходного нелинейного звеньев. Для однозначной исходной нелинейности имеем:

где f(x) — ПРВ сигнала X на входе нелинейного звена.

Математическое ожидание выходного сигнала линеаризованного звена M[Y] равно j₀ (или k₀m_x для нечетной нелинейности), а его дисперсия D[Y] связана с дисперсией и среднеквадратическим отклонением входного сигнала в соответствии с (4.15):

В результате получим:

или, (4)

. (5)

Знак в формуле соответствует знаку производной в точке, соответствующей m_x.

Второй критерий состоит в минимизации среднего квадрата ошибки аппроксимации выходного сигнала нелинейного звена выходным сигналом линеаризованного звена:

.

Раскроем скобки в выражении для h² и применим к нему первое необходимое условие экстремума по j₀ и k₁:

.

Решение полученных уравнений дает выражения для определения j₀ и k₁, доставляющих минимум h²:

. (6)

Обычно рекомендуют вычислять k₁ как среднее арифметическое:

где — значение, получаемое на основе первого критерия по (4.20); - значение, получаемое на основе второго критерия по (4.21).

Все полученные расчетные соотношения для определения коэффициентов статистической линеаризации предусматривают использование ПРВ сигналов на входе линеаризуемого звена. В силу допущения о наличии у линейной части системы свойства фильтра, обычно используется ПРВ нормального закона распределения.

В курсовой работе задано нелинейное звено с однозначной статической характеристикой типа двухпозиционного реле (рисунок 3).

Его линеаризация выполняется в форме. Для определения k₀ применим формулу (4):

где — стандартизованная нормальная величина. И далее:

где Ф (u) — интеграл вероятностей, рассмотренный в разд. 3.

Аналогично на основе (5), (6) можно получить:

.

3. Расчет математического ожидания и среднеквадратического отклонения сигнала ошибки

Замена нелинейного звена линеаризованной моделью позволяет использовать принцип суперпозиции — провести раздельный анализ преобразования системой детерминированных и случайных составляющих входных сигналов. Особенность применения принципа суперпозиции на основе статистической линеаризации состоит в том, что для случайных составляющих нелинейное звено заменяется безынерционным звеном с коэффициентом k₁, а для детерминированных — безынерционным звеном с коэффициентом k₀ (при нечетной нелинейности) или постоянным сигналом ?₀.

Определяемые по полученным выше формулам коэффициенты статистической линеаризации оказываются функциями моментов распределения сигналов на входе нелинейности, которые, в свою очередь, вычисляются через передаточные функции системы, включающей в себя линеаризованное звено, то есть зависят от коэффициентов статистической линеаризации. Вследствие этого расчет стационарного процесса в статистически линеаризованной системе сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, требующему применения численных методов.

Для заданной системы (рисунок 1) передаточная функция линейной части:

.

Задающее воздействие изменяется по закону g(t)=g1 (t). На входе действует случайная помеха F(t) с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью. Требуется определить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение сигнала ошибки в установившемся процессе.

Выделим детерминированную и случайную составляющие сигнала ошибки:. С учетом характера входных сигналов и в соответствии с принципом суперпозиции составляющие сигнала ошибки в линеаризованной системе будут определяться следующим образом:

m_x(t)= x_gуст, .

Для расчета детерминированной составляющей сигнала ошибки после линеаризации используется структурная схема (рис. 4, а), а для расчета центрированной случайной составляющей — структурная схема (рис. 4, б), где

=k₁(m_x, у_x).

Для полученных структурных схем искомые характеристики сигнала ошибки определяются следующим образом: m_E=m_x, D_E=D_Y.

При расчете детерминированной составляющей передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид:

.

В результате: .

Среднеквадратическое отклонение сигнала ошибки в рассматриваемой задаче полностью определяется возмущающим воздействием и находится через дисперсию выходного сигнала и передаточную функцию замкнутой системы по возмущению, которая в рассматриваемом примере примет вид:

.

В результате: ,

Коэффициенты полиномов (1) примут вид:

a₀=T₁T₂,, ,

b₀=0, b₁=0, .

Определители (3) будут иметь третий порядок и получаются следующими:

=

.

В результате:

При заданных k, T и c для расчета характеристик ошибки необходимо решить систему нелинейных алгебраических уравнений:

m_E=,

.

4. Решение уравнений и построение зависимостей

С помощью программы, написанной на языке MATLAB, решив систему методом последовательных приближений, мы найдем зависимости коэффициентов статистической линеаризации, математического ожидания и среднеквадратического отклонения ошибки системы E(t) от величины коэффициента передачи k. Для нахождения зависимости M от k использована функция MATLAB fzero. Текст программы представлен в приложении А. Графики зависимостей представлены на рисунках 5−9.

Рисунок 5

Рисунок 6

Рисунок 7

Рисунок 8

Рисунок 9

Заключение

Оптимальным коэффициентом передачи линейного звена является такое значение, которому соответствует наименьшее значение параметра M. С настоящими исходными данными минимума для функции М нет, так как зависимость монотонно возрастающая.

Список использованных источников

1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. — СПб: Профессия, 2003.

2. Емельянов В. Ю. Методы моделирования стохастических систем управления: учеб. пособие для ВУЗов. — СПб: БГТУ, 2004.

3. Андриевский Б. Р., Емельянов В. Ю., Коротков Б. Ф. Теория управления: Лабораторный практикум в среде MATLAB/SIMULINK. — СПб: БГТУ, 2001.