Примеры динамических систем

Рассмотрим некоторые примеры динамических систем.

Первый пример — это модель хищник-жертва.

Модель взаимодействия «хищник—жертва». Два дифференциальных уравнения моделируют временную динамику численности двух биологических популяций жертвы x и хищника y. Предполагается, что жертвы размножаются с постоянной скоростью б, а их численность убывает вследствие поедания хищниками. Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной количеству пищи (с коэффициентом г), и умирают естественным образом (смертность определяется константой в). Рассчитываются три решения для разных начальных условий. Модель «хищник-жертва», описывается уравнениями:

где x — количество жертв, y— количество хищников, t — время, б, в, д, г — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Модель замечательна тем, что в такой системе наблюдаются циклическое увеличение и уменьшение численности и хищника, и жертвы, так часто наблюдаемое в природе. Фазовый портрет системы представляет собой концентрические замкнутые кривые, окружающие одну стационарную точку, называемую центром. Модельные колебания численности обеих популяций существенно зависят от начальных условий — после каждого периода колебаний система возвращается в ту же точку. [1].

Следующий пример, который рассмотрим это осциллятор Ван дер Поля. На этом примере рассматривается нелинейная система с предельным циклом.

Осциллятор описывается формулой приведенной ниже.

Где x — координата точки, µ - коэффициент нелинейности.

Осциллятор Ван дер поля описывает свободные автоколебания.

Физическая система представляет собой замкнутую в кольцо цепочку из нелинейного усилителя, RLCфильтра и инерционного элемента. Она является системой с запаздывающей обратной связью и может демонстрировать динамический режим хаотических автоколебаний. [3].

Параметры этого цикла позволяют определить амплитуду и характер колебаний в системе. При малых значениях параметра предельный цикл имеет форму, близкую к эллиптической, что соответствует синусоидальному характеру автоколебаний. При больших значениях? цикл деформируется, и колебания приближаются к релаксационным. [4].

Последним примером будет модель Лоренца Одна из самых знаменитых динамических систем предложена в 1963 г. Лоренцем в качестве упрощенной модели конвективных турбулентных движений жидкости в нагреваемом сосуде тороидальной формы. Система имеет три параметра: д, r, b. Поскольку неизвестных функций три, то фазовый портрет системы должен определяться не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Где д и b безразмерные константы, r — внешний управляющий параметр.

Формула взята из [5].

Решением системы Лоренца при определенном сочетании параметров является странный аттрактор (или аттрактор Лоренца) — притягивающее множество траекторий на фазовом пространстве, которое по виду идентично случайному процессу. В некотором смысле аттрактор Лоренца соответствует хаотическим автоколебаниям, которые поддерживаются в динамической системе за счет внешнего источника.