Распределение «хи-квадрат». Вероятностно-статистические методы принятия решений

С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. Это распределения Пирсона («хи — квадрат»), Стьюдента и Фишера.

Мы остановимся на распределении («хи — квадрат»). Впервые это распределение было исследовано астрономом Ф. Хельмертом в 1876 году. В связи с гауссовской теорией ошибок он исследовал суммы квадратов n независимых стандартно нормально распределенных случайных величин. Позднее Карл Пирсон (Karl Pearson) дал имя данной функции распределения «хи — квадрат». И сейчас распределение носит его имя.

Благодаря тесной связи с нормальным распределением, ч2-распределение играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике. ч2-распределение, и многие другие распределения, которые определяются посредством ч2-распределения (например — распределение Стьюдента), описывают выборочные распределения различных функций от нормально распределенных результатов наблюдений и используются для построения доверительных интервалов и статистических критериев.

Распределение Пирсона (хи — квадрат) — распределение случайной величиныгде X1, X2,…, Xn — нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение — единице.

Сумма квадратов.

распределена по закону («хи — квадрат»).

При этом число слагаемых, т. е. n, называется «числом степеней свободы» распределения хи — квадрат. C увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Плотность этого распределения.

Итак, распределение ч2 зависит от одного параметра n — числа степеней свободы.

Функция распределения ч2 имеет вид:

если ч2?0. (2.7.).

На Рисунке 1 изображен график плотности вероятности и функции ч2 — распределения для разных степеней свободы.

Рисунок 1 Зависимость плотности вероятности ц (x) в распределении ч2 (хи — квадрат) при разном числе степеней свободы Моменты распределения «хи-квадрат» :

M[ч2]=n.

D[ч2]=2n.

Распределение «хи-квадрат» используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных.